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Ueber Bearbeitungen älterer Tonwerke, namentlich Bach'scher und Handel'scher Vocalmusik. Geheftet. Preis: 12 Sgr. Hiller, Ferdinand, Aus dem Tonleben unserer Zeit. Gelegent- liches. Neue Folge. Mit dem Portrait des Verfassers nach einer Originalzeich- nung von Adolf Neumann. Geheftet. Preis: 1 Thlr. Hiller ^ Ferdinand, Ludwig van Beethoven. Gelegentliche Aufsätze. Geheftet. Preis: 20 Sgr. Elegant gebunden mit dem Portrait Beethovens. Preis: 1 Thlr. Liszt, Franz, Robert Franz. Geheftet. Preis: 10 Sgr. Lorenz, D7 Franzis W.; ;A. Mpisart als Olayi^ -Comppnist. Pehefict. Preis: 12 Bgr. ' ' ' \ Loreiiz, Dr. Franz, Haydn, Mozart und Beetho'^eh's Kirchen- musik und ihre Gegner. Geheftet. Preis: 15 Sgr. Mensch, Q-., Ludwig van 'Beethoven. Ein musikalisches Cha- rakterbild. Mit dem Portrait Beethoven's. Elegant geheftet. Preis: n/4 Thlr. Elegant gebunden. Preis: I72 Thlr. Oesterley, Hermann, Die Dichtkunst und ihre Qattungen. Ihrem "Niesen nach dargestellt und durch eine nach Dichtungsarten geordnete Mustersammlung erläutert. Mit einem Vorwort von Carl Goedeke. Geheftet. Preis: 1 Thlr. Elegant gebunden. Preis: \% Thlr. Schäffer, Julius, Zwei Beurtheiler Bobert Franz'. Ein Beitrag zur Beleuchtung des Unwesens musikalischer Kritik in Zeitungen und Bro- schüren. Geheftet. Preis: 71/2 Sgr. Viol, W., Carl Qottlieb Freudenberg. Erinnerungen aus dem Leben eines alten Organisten. Mit Portrait und^Facsimile. Zweite Auflage. (Billige Ausgabe). Geheftet. Preis: 15 Sgr. Westphal, Budolf, CatuU's Gedichte in ihrem geschichtlichen Zusammenhange übersetzt und erläutert. I872 Bogen gr. 8. Geheftet. Zweite billigere Ausgabe. Preis: I73 Thlr., elegant gebunden 1^/3 Thlr. Westphal, Budolf, System der antiken Bhythmik. Q-eh. Preis: 11/3 Thlr. Westphal, Budolf, Q-esohichte der alten und mittelalterlichen Musik. Erste Abtheilung. Geheftet. Preis: 1 Thlr. 22 V2 Sgr. Westphal, Budolf, Flutaroh über die Musik, gr. 8. Geheftet. Preis: IV4 Thlr. Wolzogen, Alfred von, Don Juan, Oper von W, A. Mozart« Auf Grundlage der neuen Text-Uebersetzung von Bernhard von Gugler neu scenirt und mit Erläuterungen versehen. 1869. Geheftet. Preis: 15 Sgr. ^xo^n BOETIUS UND DIE GRIECHISCHE HARMONIK. DES II FÜNF BÜCHER ÜBER DIE MUSIK AUS DER LATEINISCHEN IN DIE DEUTSCHE SPRACHE « ÜBERTRAGEN UND MIT BESONDERER BERÜCKSICHTIGUNG DER GRIECHISCHEN HARMONIK SACHLICH ERKLÄRT VON OSCAR PAUL. MIT VIELEN TABELLEN UND FACSIMILES. LEIPZIG, VFRLAG VON F. E. C. LEÜCKART (CONSTANTIN SANDER). 1872, HL 111 P3 ) k f. !• SR. EXCELLENZ DEM KÖNIGLICH SÄCHSISCHEN STAATSMINISTER A. D. . MINISTER DES KÖNIGLICHEN HAUSES HERRN PAUL lli GROSSKREUZ, COMTHUR UND RITTER HÖCHSTER ORDEN IN TIEFSTER YEREHKÜNG UND DANKBARSTER ERGEBENHEIT GEWIDMET VOM VESFASSEB. / i l/urch die Güte des Herrn Geheimen Hofrath von Gersdorf, welcher mir die Benutzung der auf der Universitätsbibliothek be- findlichen Handschriften des Werkes »De musicacc von Boetius ia wohlwollendster Weise verstattete, — femer des Herrn Ober- hibliothekar Dr. Naumann, dessen Fürsorge mir das Studium der griechischen Handschriften, des von Herrn Bibliothekar Dr. O. von Hkinbmann in Wolfenbtittel freundlichst tlbermittelten Codex des Boetius und vieler der Leipziger Stadtbibliothek angehörenden Dnickwerke ermöglichte, — sodann durch die gütige Unterstütz- ung, welche mir die Herren Bibliothekare der Universitäts- Bibliothek, sowie die Herren Stadtbibliothekare Alfred Dörffel und Dr. Wustmann, endlich Herr Dr. Hasper mit seltenen Wer- ken aus seinem trefflich geordneten Bücherschatze und mein sachkundiger Herr Corrector Kant gewährten, bin ich in den Stand gesetzt worden, die unternommene Arbeit durchzuführen und in der vorliegenden Form der Oeffentlichkeit zu übergeben. Allen den genannten hochverehrten Männern beehre ich mich hier- durch meinen wärmsten und ergebensten Dank abzustatten. Leipzig, im .Februar 1872. Dr. Oscar PauL I ■ I 1 Inhalt. I •: *' V /Seite Einfeitang. (Kurzer €eberblick über die alt^riechische Harmonik. Leben und musikalische Bedeutung des Bb^tins.) i . IX Uebeiseteiuigr der finf Bieher diB BoetivslllMr Musik. ■ • i ■ • Buch I. • . • .« ' •■ . ' I. Vorrede. Die Musik ist von Natur ans mit puw verbiind^ii und . vermag die Sitten scwohl zu veredeln lals auch |ZU verderben « ^. 4 II. Es giebt drei Arten von Musik, und es wird von <^er Bed^uti^ng der Musik gehandelt 7 III. lieber die Stimmen und die Elemente der Musik ....... 9 IV. Ueber die Gattungen der Ungleichheit 40 V. Welche Gattungen der Ungleichheit für die Consonanzen ge- schickt sind 42 VI. Warum das Cebertheilige und Vielfache für die Consonanzen pas- send ist ' : . ."'. . . 42 VII. Welche Proportionen zu musikalischen Consonanzen geeignet sind 4 3 Vni. Was Ton, was Intervall, "^as Harmonie ist .......'...' 43 IX. Nicht Alles muss dem Sinne überlassen werden, sondern der Be- rechnung ist mehr zu glauben , wobei über di^ TiiiUsbhunjg diefr Sinne gesprochen wird *. ^ .;..'..' . 44 X. Wie Pythagoras die Proportionen* der Consotiansen erforscH^t hit 45 XI. Auf welche Weise die verschiedenen Proportioneik dw>GoB^nän- zen vom Pythagoras abgewogen worden sind . i' ...... . 46 XII. C^iMr die Eintheilnng der Stimmen und defren^Eolwidkelung . . 47 XIII. Die Unendlichkeit der Stimmen hat die menschliche Natur be- grenzt . ......«'. 4 . -. «'..«. i . . 47 XIV. Wie die Art und Weise des Hörens ist ............ 48 XV. Ueber die Ordnung der Theoreme, d. h. der Speculatibnen . .' . 48 I XVI. Ueber die Proportionen der Consonanzen, über den Ganzton und Ualbton ......:.: :'...' 49 X Seite XVII. In welchen ersten Zahlen der Halbton besteht 20 XVIII. Diatessaron steht von Diapente uro einen Ganzton aus einander . 31 XIX. Diapason wird aus fünf Ganztdnen und zwei Halbt^^nen ver- bunden ... 21 XX. üeber Hinzufügung der Saiten und deren Namen 22 XXI. lieber die Klanggeschlechter 27 XXII. Ueber die Ordnung der Saiten und von den Namen in den drei Geschlechtern u . . 'i .i 28 XXIII. Was es für Proportionen der Klänge (Stimmen) in den einzelnen Klanggeschlechiem giebt 30 XXIV. Was Synaphe ist , 30 XXV. Was Diazeuxis ist . 31 XXVI. Mit welchen Namen Albinus die Saiten benannt hat 31 XXVII. Mit «Melohtli GMttrDta dilis» äbiton verglichen «^rden ..... 32 XXVIII. Welches Wesen die Consonanzen haben 32 I XXIX. Wo die Consonanzen gefunden werden 33 XXX. Was Pläto über di6 Bildung der Consonanzen meint ...... 34 ' XXXI. Was gegen Plato Nicomachus meint 34 XXXil Welche Cöhsonanz mit Recht vorausjgeht 35 XXXIII. Auf welche Weise das aufzunehmen ist, was gesagt wurde ... 35 XXXIV. Was ein Musiker ist 36 ■■■■',.,• Buch 11. • I . . . • I ; . ( » t , » i ' • ' < t • ■ t ' ff II. Was Pythagoras für Behauptungen über das Wesen 4ef. Philoso- phie aufgestellt hat , ^ • • 38 - III. Ueber die Differenipen der Grq^se^ ^nc^ welche Crfösse einer jedtn DiscipUn zukommt 38 JIV. Vj^f^r 41^ DjiKerenzea ()ar reUitivi^it Griisse ,,,.., 39 V. Warum die Vielfachheit voransteht ..... w ...... . 40 VI. Welche Zahlen Quadvatsahlen sind, und über deren EKortfehung 41 VIL.Diegaiiw 6ngleiob)ieit geht au« der Gleichheit hervor, und der Beweis dafür . ' 42 VIII. EioBRegeU beliebig viel stetige überiheilige ProportioB«* aufzn^ IX Ueber die Proportion von Zahlen , welche nach andern gemessen werden .........,.,,..,';«.. 47 X. Wpiphft Vjplh^Uw 9iqli ^ps d90 xifiWaohfin Hn4 Übprlh^eWigen Z^l^- leu ergeben , r •, * ^9 XI. Welche Uebertheilige Vielfache hervorbringen • . . 49 /^ t *4 Seite Xlt. Ueber dte arithidetf^che, geometrische Utid harmoniäöhe Mitte . 50 XIII. Ueber die stetigen und getrennten Jifitläh M .' . . . ..'.'.'.'. 54 XIV. Warum diö früher ei^Wtitertön Nfilteii äö geilÄtiA't ^ördfe&' Mtid" / . ii XV. Wie von der Gleichheit die vorhergenannten Miiten ausgegangen sind •.:■:.• .••'.'; :'J-;'';- :-';\ /'. '52 XVI. Debdf d!« bäf ihbni^Che Mitte, uticT füa^t die^elbef efne ^gbhey- ' dewPor^obung V 1 * . . >^ ... j . * t t .' ^ . . ; j-: .<-. 'ti6 XVII. Wie zTwischen zwei Zahlen die vorhergenannten Mitten wectis6i- seitig gesetoi werden ; . . v . « ^ . •. . ^ 4 < .- ;' . *v . '. (Id XVin. Ueber die BesdhaffenheH der Coii8oiM»it«n' nabh Nio^thadhns . \ Al XIX. Ueber die Ordnung der Consonanzen nach Eubuii(lM tüä Ht j^j[>a^s 58 XX. Was nach der Meinung des Kf 6ömäöhtts di^^täti'Cötii^ätlJBeii et^- XXI. Wai toräti^^stfhiekäii' rst, däfmit Bev^i^S^ft 'O^i'de, dass &fai[läs6t) im vielfaehenGe^chle<^hl;dioh vorfinde. .............. 1^ XXII. BeWei^ durch Negatiott, däss Diaf)^^offi' iin Vf^KaChen Gei^t^Ieclit liegt . . . . * i . ^ .' .■ « . . . Vi.. . . . . • . . . :. Il' XXIII. Beweis durch Negation, dass Diapente, Diatessaron und der Gaiir^- ton in der llbertbeiligen t^ropoFtion lie^A* t . . .>; . . J . . '. 62 XXIV. Beweis, dass Diapente und Diatessaron in den grö^steti üb^hei- lige« Preportioneh liegenl* ;...... i >. Gi XXV. tfiapenteüegc'imSeSt^falten Diatessaroh im Sesi^ulierif, derGanl- ton in der Sesquiocta^e . . .■•:■» i ."t* . . . . . .>. . H 49 XXVI. Diapason und Diapente liegen in dreifacher Proportion , Bisdiapa- son in vierfacher 65 XXVII. Diatessaron und Diapason ist nacti den Pythagoreera keine C^n-* sonanz •......,».. 65 XXVjU. Ueber den Halbtpn, in welchen kleinsten Zahlen. er besteht . . . , 67 XXIX. Beweise, dass S43 :2Si6 nicht die Hälfte, eip^s, .^anztones ist . < .,68 XXX. Ueber den grösseren Theil von einem Ganzton , imd ia welcl^en kleinsten Zahlen er besteht . . , |.^ . . , « . 69 XXXI. lo welchen Proportionen Diapente und Diapason bestellen,- und dass Diapason aus sechs Ganzt0nen nicht besteht , ... ^ . . . . 74 I '. ■• • i I" . P^ch III. , , , 1. Biewels gegetir Arfstoieniis , dass die tibertUeffige Proportiöd tiicht in Gleiches getheilt werden kann! , dhd dahei: auch tttdhi' der Gaoaton . < . . .^ .>^". .- . . ; . * . . ^ . ^ .■ i" j * .' 94 n. Wenn man von der Sesquiteri-t^röporliotf iWei Öanztdtfe' t(r^g- nimmt^ bloibt . nicht dte HsAfte«f des QadiCoiMtibr^ . ; 'v : . 77 lil. Beweise gegen Aristoxenus , dass die Consonan^ Diatessaroft aus XII Seite zwei (jfanztöQen und oiner Ganztonhälfte nicht besteht aiidaucb Dia- pason nicht aus sechs Ganzti^nen . . , \.. 7S IV. Der Qonsonanz Diapason fehlt zu sechs Ganztönea ein Compota^ uod welches die kleinste Zahl für die Commata ist *. . . 80 . V. Wie Philolaus den Ganzton eintheiit - • • 84 .... . . . . - ' « ■ VI. Dec Gaoztoa t>esteht aus zwei Halbtön^ und. einem Comma .* ..< . . 82 .VIT. Beweis., dass der Ganzton yon z^ei Halbtöneq um* ein Gomafia diffe- rirt sa VIII. Ueber die Intervalle, welche kleiner sipd, sks «ler. Halbton 83 IX. Ueber, . die. Thelle des Gasatones». wie dieselben durch Qonsonanzen zu nehmen ,^in4 r «.♦..•• * ^ ^ . , . . .... -j .j . /- 84 X. Regej, um einen .Halhton zu erhalten ,,.. , ..;... .., , . ^ .^. 86 XI. Beweis des Archytas» dass die übertheilige Proportion: mgleiobe Theile ^icl^t, gQthej^jt wejT^en könne^ un4 d,ie Wi4erlegi;u^ desselben • . . 88 XII. In welcher Zahlenproportion das Gamma besteht, »und dass es io der •besteht, welche grosser is^t al^, 7$ : 74 , d\e aber kleiner ist als 14:73 89 XIII. Dass der kleinere Halbton grösser ist als 20 :.4 9, und kleiner als 1:9 V2 ' ^72, . r , , .,„.,., , 92 XIV. Dass der kleinere Halbton grösser sei als drei Gammtita, kleiner aber als vier Gomm^ta . , , .^ . , . . . . 93 XY. Dass Apotome grösser als vier Commata ist, kleiner aber ai» fünf, un4 dass der Ganzton grösser als acht, kleiner als. neun Commata i^t 95 XVI. Beweis durch Zahlen für das früher Gesagte ....... i ... . 96 •j ■ ■ . . ' Buch IV. I. 'Däss die Differenzen der Stimmen in der (messbären) Gröäse be- stehen ..........'. ....'".'... 99 II. Verschiedetie Untersuchungen über die Intervalle .'*.' . . .' . . .400 III. Benennung der muslkälischeYi Not£}n' durch griechische tind latei- nische Buöhfiltaben.. .. ; ... . . .... .' ; . .-.'. . 105 ' IV. Eintheilung des regulären Monochordes im diatonischen IClaingge- schlecht . j ....;'....: i 'i. ..... 410 V. Eintheilung das Monochordes der Noten hyperbolaeon durch die drei Geschlechter \Kk VI. Beweis für die oben auseinandergesetzte Beschreibung \M VIL Ejptheilung /des Monochordes in Bezug ai(f die.I^eten diezeogme- nou durch ^ie drei Gesphlechter , • ,. • • v • " • ••«.i..' • • ^^^ VIII. Eintheilung des) Monochordes in Bezug auf die Noten .s^onemme- ];ion4ij^rch dte.df/si (»eschl^chfer ^ .....,..,.,,.,.,.*,. <23 ' IX. Eintheilung des Monochordes für d8is Teltachord oliedön ^dunth die dr^i Geschli^^hter . > ,.,. ^ .... 138 XIU Seite X. GioulhelluQg d^ Monochordb9& in Bezog auf da» Tetraqbord hype- ton in den drei Geschlechtern und die Aufstellung des ganzen Schemas 131 XI. Erläuterung des vorher aufgestellten Schemas . . , 434 XII. Ueber die feststehenden und bewegUchen Klänge AB5 XIII. lieber die Gattungen der Consonanzen 4 36 XIV. lieber die Anfänge der Tonarten , Wobei die Stellung der Tonzei- chen in den einzelnen Tonarten und Stimmen angegeben wird 4 39 XV. (Erklärung der nebenstehenden tabelle) HS XVI. Die früher {|ufges^Ufeen Beschreibnngop 4er Moden ....... 443 XVII. Beweis lör das hter aufgestellte Schema der Bfoden. 446 XVIII. Wie unzweifelhaft die musikaNsisbeW Consonanzen mit dem Ohre beartfaeilt werden können ..;..,.....• 446 Buch V. Eingang' 448 I. lieber die Gewalt der Harmonie, und welche Instrumente für deren Beurtheilang vorbanden sind, und wie weit man den Sinnen Glau- ben beimessen dürfe 448 II. Was harmonische Regel sei,, oder wie die Pythagore^r oder Ari- stoxenus oder Ptoleroäus die liarmonische Spannung erklärt (laben 454 s III. Wie Aristoxenus oder die Pythagoreer oder PtoJemäus festgestellt haben» W/orin Tiefe und Höbe bestehe , . 454 IV. üeber die Differenzen der KUinge nach der Meinung des Ptolemäus < 4 52 V. Welche Stimmen für die Harmonie passend sind 4 52 f VI. Welche Zahl der Proportionen die Pythagoreer feststellen . . . ., 453 VII. Dass Ptolemäus die Pythagoreer in der Zahl der Proportionen an- , greift. .. 454 * ■ • VIII. Beweis nach Ptolemäus für die Consonanz Diapason und Diatessa- ron .,,...,.. 454 IX. Welches. die E^genthüuMidikßit der Consonanz Diapason ist. . . . 455 X. Auf welche Weise Ptolemäus die Consonanzen aufeteltt 456 XI. Welche Stimmen ^hnlichtönend, welche conSoiifVend urid Welche melodisch sind ..;..' '457 XII. Wie Ari^toxemiä das Intervall betrachtet . .' 4 87' XIII. Beschreibung des Oclachordes, worin gezeigt wird, dass die Con- sonanz Diapason kleiner ist als sechs Ganztöne ^. ....... . 458 XIV. Dass die Consonanz Diaj^saron in einem Teti:4chord enthalten .ist 459 XV. Wie Aiiatoxenus d«»GaQzioA und.dieKlanggeechtecbter ei»tbeiH, nebst der Aufstellung dieser BiBitt)eUuD|u ..,...«. 459 Seite XVI. Wi(ä Archytos die Tetrachordb «iiftb^tt, und di«f HesehfeüMfog defselbetk. .....:.'....... 464 XVII. Wie Ptolemäus die Teträchordeitittieilungen des Afistoxenüs und Arc^ytas tadelt •. ;..;..... 463 XVIII. Wie er sagt, dasi» diefiinthefTtfilgfd^rTetnichot^giriseheli^iiftti^s^e 464 SaeUielie SrUftrumgen. Allgemeine Betrachtungeft übef WahMiähmung'UAdl&McerfMtni^^ d^rDihge. .^ Plato's Analyse des Sehens; seine An siebten' iibetf Stimme,' GeJMir^ Harmonie .und Rhytbmus. Piato's und ^n^^^^l'^s' Amqhauuntfßn über die Musik als Erziehungsmittel , über den Zweck der Mu^iK aa4 über ihren Einfluss auf den Charakter. Olympus. Musikpädagogen : Thale- tas von Gortyna , Timotheus aus Milet. Pythagoras. Terpander , der Componist kitharodi scher Nomo!. Arion. Ismenias. Empedocles. De- mocrit. Hippocrates. Trauerlieder : der Olophyrmos, der lalemos und der Lines öder Ailinos 4 65 Die Musik des Weltalls. Plato*s Theorien übei* die akustische Proportiona- lität; Die Tetraktys und Dekas der Pythagoreer. Die Heptas Plato's . 477 Die Instrumentalmusik. 4 ) Saiteninstrumente : Lyra (= Kitharis, Phorminx, Cbelys) und Kithara. Üie Magadis (Pektis) und ihre Abarten : Psalte- rion, Nabla und Trigonon. Das Barbytön (Barmos, ^arymfton) , die Sambtrca, das Lyrophönikion , die Patidura, das ' EpfgoAion , daf) ' Simikion u. a. 2) Blasinstrumente: die Tibi» (Aülo^). Die Atten der Tibien hei dmk Lateindrn (Rechte- und Links -Tibieit) und bei den Griechen. Ihr Tonum&ing,. Ihre Aebnlicbkeit mit den P16ckfl9ten/#e9; 46. und 47. Jahrhunderts. Die Tuba (Salpinx) und das Hörn. 3) Die Wasserorgeih. 4) Scbfaginstrutnente : Cymbal, Tympanum, Sympho- nie 479 Consonanzen und Dissonanzen. Die fabelhafte Consonanzen- Erfindung des Pythagoras ein aküslischei^ Iri-thum. Efforsöhung der Saitfen- Schwingungen und des Wesens der klingenden Luftsäule in deri Pfei- fen ; Berechnung der Intervalle mit Hülfe de6 Cyatfend utld de!s kd^i»- bulum. Pythagocafi' Theoria des Schalles und de0' mtiflikallschei» Klanges. , Die antike Theorie ^er Consqnanzen in Uebereinstfi^nMing mit der modernen Akustik ..,., y ,, ^ .... 493 Die menschliche Stimme. Stetige und intorvallartige Be;^egui)g ^^r Stimme. Höhe und Tiefe. Klanghöhe. Des Albinus Annahme einer dritten Art von Bewegung der Stimme, nämlich der bei Recitation von Gedichten üblichen. Antike Ansichten über die Natur des menschlichen Stimm- organs: Galerios, Aristoteles, d^öetlus' Anschauungen übef die Art und Weise d^s Hörens in Uebereinstimmong' mit den Sdh^lngwfgs-> ' gesetzeu der modernen Akustik (Üelmholts) 496 XV t Seite Die Proportionen dar <iOR6oiianzeii (Octav , QuiBt, Quart) , des Gtaatones und des HalbtoMs . i ;...... 202 Die Erfinder uod Verbesserer musikalischer Systeme. Orpheus , Torr^us, Hyagmsi TerpeiHler, Lichaon. Die Kitharstiimiiung des Orpheus und Terpander. WestphBl's abweichende Meinuog. Das System dieseug»- naanoD. Das System synemmeoon . ; . 203 Die Mnstk (im Allgemeinen) und die Harmonfk nach den Definitionen der antiken Theoretiker. Das Tetrachord als Grundsystem; dessen Ein* tbeilung in die drei Klanggeschlechter. Die Klänge in ihren Beziehun- gea zumdiatonisoben, chromatischen und enharmonischea Qesobledit. Die griechischen Namen der Klänge übersetzt ins Lateinische und Deutsche. Astronomische Symbolik, Wesen der Coosonanz. Boetius' Definitioiieine^ Musikers, übereinstimmend mit Plato's Ansicht . . . 209 Die antiken Akufitiker und ihre Ti»eorien der Consonansen : Pyihagoras, Nicomachus, Eubulides, Hippasus, Aristbxenus 217 Die KlangmessungendergriecfaisebenTlieoretiker. Die Teäraklys der Py- thagoreer. Die Intervalle: Diapason, Diapente, Diatessaron, Ganzton, Limma oder Diesis, Apotome, Trihemitonium , Ditonon u. a. Die Systeme (d. i. Gomplexe mehrerer Intervalle) : Tetrachord , Hepta- chord, Octachord, das kleinere und das grössere vollkommene System, das unveränderte System. Die Klanggeschlechter: das diatonische, chromatische und enharmonische. Die Färbungen der Klanggeschlech- ter. Feststehende und bewegliche Klänge. Sectio canonis. Die Octaven- gattungen. Der Helikon 219 Cebersetzung der Introductio harmonica des Pseudo-Euclid 280 Die Tonarten. Die Aristoxenischen Scalen. Die Naipen der Octavengattun- gen. Irrige Annahme Friedrich Bellermann's. VermutbungWestphars. Die drei ältesten Transpositionsscalen : Dorisch , Phrygisch , Lydisch. Bedeutung des Ausdruckes dp(M}Nla. Gharaktere der Tonarten. Schwan- ken der Namen der Transpositionsscalen im Alterthum. Sprachlicher Irrthum Bellermann's. Die zwei phrygischen und zwei iydischen Transpositionsscalen 244 Die Bezeichnung der Klänge durch Noten. Bellermann's willkürliche und aicusiisch falsche Annahme des Proslambanomenos = F ; Bellermann's irrige Conjecturen bezüglich der Vertauschung der Namen der Trans- positionsscalen im Mittelalter. Der dynamische Proslambanomenos der bypodorischen Transpositionsscala = A, historisch begründet durch die directe Ueberlieferung von den Griechen bei Hucbald und Guido Areiinus. Entstehung der hypodorischen Transpositionsscala 257 Die antiken Notenzeichen (Singnöten und Instrumentalnoten). Westphal's sprachlich -historische Forschung. Veränderungen der antiken Noten- zeichen. Meibom's Ausgabe. Die Transpositionsscalen des Alypius . . 261 Die Transpositionsscalen nach Ptolemäus. Bellermann's willkürliche chro- matische Scale. Bellermann's irrthümliche Darstellung des chromati- XVI Seite sehen« KUinggeBchleohls. Unlersohied des diatonisclien und dng cfaro- matischen Trihemitonium. BeUemiann*s irrige Ansicht aber die Od»- veDgaUimgen S73 UeberselXQDg des Ptolemins (Harm. II, S — 44) nebst gneebisebem Text. Thettsohe und dynamiscbeBenemiiingen der Klänge. Tonarten (Tnns* positionsscalen) nnd Tonsysteme naeb der Tbeevie des PtoIemiiiB. Belletrmann's inrtbtaiVche Anscbaunngen über diese Theorie. West* pbafs Ansichten über die Sysienae des Ptolemios. Ein Angriff auf die »Absolute Harmonik« w.. S7B Tak>ellen der Tonsyslene innerhalb der Transpesitionsscalen nach Pteie- maus" Theorie 328 Die drei Kanonia (d. b. akustische Zablengesetze für die drei Geschfechter) desArcbytas, Arrstoxenus, Eratosthenes, Did>'mus und PtoYemSus. Die Fiirbungen der Klanggeschlecbter nach Ptolemäns. Die Titeläbep- Schriften der Cap« 19 — 8» des S. Buches des Boetlus 353 Tabellen der Färbungen nach Ptotemäus mit beigesetzter ErkUtarvng ... 3m Einleitung. Das Fundament jeder theoretischen Entwickelung ist die Erkennt- niss der historischen Wahrheit. Der Theoretiker kann nicht eher ein neues System erfinden, bevor er nicht das frühere genau erfasst und verstanden hat ; keine Lehre wird in sich den rechten Organismus tragen , wenn sie nicht von dem Verständniss bereits vorhandener Anschauungen Zeugniss ablegt ; — ein Hauptmann wäre nicht ohne einen Fux, Rameau uod Kimberger erstanden. So wächst in der Wissenschaft aus dem Alten das Neue hervor , welches berichtigend , ergänzend , weiterführend immer das Streben nach wahrheitsvolier Darlegung des Stoffes bekunden uod die LauteiiLeit der Gesinnung im Behandeln desselben offenbaren ^11. Auf solchem Princip erwuchsen auch die glänzenden Resultate der verehrungswürdigen Männer, welche das antike musikalische Wesen ihrer Zeit zu vermitteln suchten. Hätten Meibom, Wallis, Bürette, Marpurg, Foricel, G. Hermann, Boeckh nicht unablässig in ihren Studien nach ^rüudlicher Erkenntniss der in den Quellen enthaltenen Gedanken gerun- gen und dadurch den Boden für die fernere Forschung bebaut , gewiss würden wir nicht die herrlichen Errungenschaften auf dem Felde der antiken Metrik besitzen , welche durch das Genie und die Arbeitskraft «•ines Ritschi, Westphal und anderer hochachtbarer Denker ge- wounen worden sind. In rein musikalischer Beziehung ist namentlich durch Rudolph Westphal die Rhythmik und Metrik der Alten mit solchem Scharfsinn, mit so lichtvoller Klarheit und genialer Durchdrin- gung der schwierigen Materie behandelt worden, dass man diesem hoch- verdienten Erklärer der Aristoxenischen Analysen nicht genug danken B06ttlU. b XVIII kann ; denn seine durchaus genialen Arbeiten brachten nicht allein der Wissenschaft ausserordentlichen Nutzen, sondern dieselben beweisen auch mit nnumstösslicher Sicherheit, wie die rhythmischen Elemente und metrischen Formen der modernen Musik auf das Grundsystem für den Periodenbau der griechischen Kunst zurückzuführen sind. Wie sich stets das Alterthum als eine unversiegbare Quelle für den Wissensdurst der späteren Zeiten erwiesen hat , so wird es auch nach solchen bedeu- tungsvollen Reconstructionen des geistreichen Philologen Westphal sei- nen Einfluss auf die lernenden Kunstjünger ausüben , wenn die gewon- nenen Resultate mehr und mehr in die praktische Unterweisung über- gehen. Bezüglich der Harmonik hat der Genannte seinen Mitforschem noch Manches übrig gelassen , weü dieses Gebiet dem wissenschaftlichen Musiker jedenfalls näher liegt, als dem musikalischen Philologen, und daher finden wir denn auch, dass gerade unter den deutschen Ge- lehrten die Fachmusiker zuerst die genauere Entwickelung der grie- chischen Harmonik unternahmen. Vor Allen ist Galvisius als der gründ- liche Sammler zu nennen, welcher den Anfang und Fortgang der Musik ^) mit scharfen Blicken betrachtete, wodurch jedenfalls die weitere ünter- 1} »De initio et progressu artis musicae, Lipsiae 1600.« Diese lateinische Schrift ist wenig bekannt und citirt ; ein Beispiel, die Wirksamkeit Terpander's betreffend , ^ird genügen , um darzulegen , mit welcher Sorgfalt Calvisius die hebräische und griechische Musik zu vergleichen suchte : »Boethius«, sagt Gal- visius , »versichert mit einigen andern , dass Terpander aus Lesbos zuerst die Lyra von 7 Saiten hergestellt und die lyrischen Moden aufgeschrieben habe. Terpander aber war, wie einige wollen, der Sohn des Urenkels vom Dichter Homer, wie andere behaupten, der Sohn des Heslod. Er lebte zur Zeit des Propheten Jesaias , ungefähr hundert Jahre vor der Einnahme Babylons , als einige Olympiaden verflossen waren, über 400 Jahre nach der Zerstörung Trojas. Aber Homer selbst, welcher hundert Jahre vor der ersten Olympiade lebte, hat zur Zeit des Propheten Elisa , hundert Jahre nach dem Ableben Salomons, im Hymnus des Mercur, der Lyra 7 Saiten beigelegt. Daher muss nothwendiger- weise der Gebrauch von 7 Saiten auf der Lyra viel älter sein, als dass Terpander der Erfinder von jenen sein könnte. Wegen seiner ausgezeichneten künstlerischen Fertigkeit vielleicht, und weil er zuerst die Musik bei den Lacedämoniern am vortrefiFlichsten ausübte , ist ihm die Erfindung von 7 Saiten beigelegt worden. M^n glaubt, dass die Siebenzahl unter den Saiten der Lyra entweder wegen jener 7 Atlantiden, zu weichen man die Mutter Mercur's Maja rechnet, oder wegen der 7 Planeten beobachtet worden sei. Es erkennt aber auch hier der Musikhistoriker, wieviel älter und vollkommner die Musik bei den Hebrttern, als bei den Heiden war.« Wir haben jetzt natürlich genauere Kenatniss von der griechischen Musik. XIX sucbuog grosse Anregung und Förderang erhielt. Das schon vor ihm voQ Glarean ^) und nach ihm von Meibom ^) und Wallis ^) gebotene 1) Bezü^ich der griechischeB Mufiik ist besonders die von Glarean besorgte Ausgabe der iS Bücher über MusiU des ]3ioetblus«, Basel 1570 hervorzuheben. i] Meibom hat sich ein unsterbliches Verdienst durch die Herausgabe von nmsikalischen Schriften über griechische Musik erworben, welche unter folgen- lien Titeln erschienen sind : i. Aristoxeni harmonicorum elementorum libri III; 2. Euclidis introductio harmonica, and Sectio eanouis ; 3. Nicooaacbi Geraseni Pythagonci harmonices manoale; 4. Alypli introductio xnusica; 5. Oaudentü Philosophi introductio barmonica; 6. Bacchii senioris introductio artis musicae ; 7. Aristidis Quiqti- hm de masica libri III ; hierzu noch 8. Martiani Capellae de musica Über IX. Denoptiis Philolog.). Die ganze Sammlung tragt den Titel : »Antiquae musicae aactores Septem. Oraece et latine. Marcus Meibomius restituit ac Notis expU- cavit. Amstelodami , apud Ludoyicum Elzevirium 4662.« In neuester Zeit sind YOD dieser ^amoaluag die harmonischen Elemente des Aristoxenus erschienen und zwar unter dem Titel : »Die harmonischen Fragmente des Aristoxenus. iiriechisch und Deutsch mit kritischem und exegetischem Commentar und ''ioem Anhang, die rhythmischen Fragmente des Aristoxenus enthaltend, her- iQsgegeben von Paul Marquard. Beriin, Weidmännische Buchhandlung, <&S8.c Jedenfalls ist eine solehe Unternehmung, bei welcher der geistreiche Alogische Forseber Professor Dr. Studemund in Marburg durch Samm- 'utig des Quellenmaterials hülfreiche Hand leistete, mit besonderem Danke an- iuerkeooen. Holfenttiofa ist es uns bald vergönnt, auf diese verdienstvolle Arbeit an einem andern Orte näher einzugeben ; nur möchten wir hier unsere VerwDQderuog nicht zurückhalten, dass Paul Marquard die Ausgabe des Goga- Yious «nirgends auftreiben« konnte. Die Leipziger Stadtbibliothek, %dche die Ausgabe besitzt , würde sich gewiss zur Uebermittelung bereit er- ^ii haben. Auob eitint Paul Marquard diese Ausgabe nicht genau. Denn sie '{^bien nicht 4 542,. sondern 4562 und führt folgenden Titel : »Aristoxeni Musici 'ntiquiss. harmonicorum elementorum libri ill. Gl. Ptolemaei harmonicorum "^ <Ie inusica libri m. AriSitoteiie de objecto auditus fragmentum ex Porphyrii 'ommentaräs ; nmnia nunc {irimiam latine eonscripta et edita ab Ant. Gogavino '^viensi. Venetiis, apud YicentiumValgrisium 4562.« Besonders hinsichtlich ^^r Defaersetzung und Erklärung des geschätzten Forschers Mar- quard dürften sich manche abweichende Ansichten bei näherer Beurtheilung 'f^ben, und wir glauben dann zuversichtlich , dass der Philologe Marquard >^>i die Meinungen des Fachmusikers einer BetrachUuig unterziehen wird; ^i'OD offei^r ist es erspriesetich , wenn sieh bei der musikhistoriscfaen For- <bung Philok>gie und Musik die Hand reichen. Dies kann aber nur durch um- ^i^ode KrRik geschehen , weil beide unabhängig von einander Resultate zu '^«ionen suchen müssen. 3) 4ohannis Wallis operum natheoielicorum voLumen tertium , quo con- <'>fBiur Claudii Ptolemaei , Porphyrii , Manuelis Bryennii harmonica, Oxoniae *^^S • In einem Anhang (Appendix) entwickeU Wallis auf Grund der von ihm b* XX Material würde von Bürette 1) , Marpurg^) und ForkeP) bereits so aus- gebeutet , dass der gründliche Boeckh ^) für seine Auseinandersetzungen fachmännisch gesichteten und theilweise auch systematisch geordneten Stoff vorfand. Mit Gewissenhaftigkeit wies er auf seine Vorgänger hin, wo er ihre Anschauungen zu den seinigen machte, und in klarer Ausein- andersetzung ergänzte er die Lücken , so weit dies seine Zwecke ver- langten. Offenbar hatten diese Arbeiten den Erfolg, dass sich überhaupt die Philologen zu den musikwissenschaftlichen Erörterungen hingezogen fühlten, — und dieser Neigung haben wir auch gewiss die Werke von Fortlage*), Friedrich Bellermann^) und R. Westphal') zu danken. Ganz besonders gelang es Friedrich Bellermann, sich unter den Philologen als musikalische Autorität festzusetzen , ohne dass man die Haltbarkeit seiner der Oeffentlichkeit übergebenen Ansichten untersucht hätte . In meiner Habüitationsschnft »Die absolute Harmonik der Griechentt wies ich schon darauf hin , wie so manche Punkte in der griechischen Harmonik von dem verdienstvollen Friedrich Bellermann nicht recht klar gestellt worden seien und wie sich die Darlegung seiner Tonsysteme als eine vielfach ganz unhaltbare herausstelle. Der Hinweis auf die ange- deuteten Irrthümer erschien um so wichtiger, als sich auch die Ausein- andersetzungen späterer Historiker von der Bellermann' sehen Theorie be- besorgten lateinischen Uebersetzung des griechischen Textes von seinem Stand- punkte aus die Hauptsachen der griechischen Harmonik. 4) Bürette in den aM6moires de littörature« tom. IV, p. 4 16 ff. V, p. 452 ff. VIII, p. 27, p. 44, p. 169, X, p.8, XHI, p. 473, XV, p. 298, XVII, p. 34, p. 64, p. 83, p. 407. 2) Marpurg in seiner »Kritischen Einleitung in die Geschichte und Lehrsätze der alten und neuen Musik, Berlin 4 759«. 8) Forkel, »Geschichte der Musik, 4. Theil, Leipzig 4788«. 4) Boeckh, hauptsächlich in seiner Ausgabe des Pindar, Leipzig 4844, in den Studien von Daub und Creutzer, in den Heidelberger Jahrbüchern für Literatur u. a. a. 0. 5) Fortlage, »Das musikalische System der Griechen, Leipzig 4 847«. 6) Friedrich Bellermann, »Tonleitern und Musiknoten der Griechen, Berlin 4 847«; »Anonymi scriptio de musica, Berlin 4844«; »Die Hymnen des Dionysios und Mesomedes, Berlin 4840«. 7) Rudolph Westphal, »System der antiken Rhythmik, Breslau (jetzt Leipzig) F. E.G. Leuckart f€on8tantin Sander) 4864«, ein geniales Werk hinsichtlich der Vergleichung harmonischer und rhythmischer Messungen. Die rhythmischen \6'^oi sind in demselben herrlich entwickelt. »Plutarch über die Musik, grie- chisch und deutsch nebst Anmerkungen«, in denaselben Verlage 4 866; »Rhythmik und Harmonik nebst der Geschichte der drei musikalischen DiscipUnen, zweite Auflage, Leipzig bei Teubner 4 867«. XXI fiinflusst zeigten, und zwar nicht aliein in Bezug auf geringfügige Kleinig- keiten, sondern in Rücksicht auf die Elemente und Kernpunkte der griechischen Musik. Als erstes und wichtigstes Element zur Bildung der Tonarten stellen die Griechen das Tetrachord auf^ ohne welches überhaupt die Klang- verbindung der Alten ganz undenkbar ist. Diese Folge von vier Klän- gen besteht im diatonischen Geschlecht aus zwei festste- henden und zwei beweglichen Klängen, von welchen wir die prsteren durch fettere Schrift hervorheben. Die Klangfolge ist so geord- net, dass von der Tiefe nach der Hohe zu gerechnet, Halbton, Ganzton und G^nzton auf euiander folgen z. B. h c' d' e' 1 -' g > « g Nehmen wir an, es sei dieses Tetrachord das tiefste in einer bestimmten Tonart, so heissen die Klänge : Hypate hypaton = h' Parhypate hypaton = c' Lichanos hypaton = d' Hypate meson = e' Die erwähnte Folge reprasentirt das diatonische Klangge- •ichlecht, welches auch in derselben Weise von Friedrich Beller- mann dargestellt worden ist. Darauf folgt nun das chromatische Klanggeschlecht, dessen BUdung mit grosser Bestimmtheit von den .:rie<!hischen Schriftstellern so vorgeschrieben wird, dass der mit Lichanos hypalon bezeichnete Klang sich einen Halbton abwärts zu bewegen habe. Alle griechischen Autoren über Musik stimmen mit Boetius und Ptolemäus tiberein 9 dass die Lichanos im chromatischen Geschlecht einen Halbton ab- wärts und im enharmonischen Klanggeschlecht an die Stelle der diatonischen Parhypate zu treten habe , wie dies namentlich sehr ausführlich und an- schaulich bei der Erklärung von den feststehenden und beweglichen Klän- gen, sowie bei der Berechnung des Monochordes von Boetius auseinander- ;:esetzt ist. ^) Nach praktisch musikalischer Anschauung kann diese Bewe- gung um einen Halbton nicht anders geschehen, als dass z. B. die Lichanos ^i> paton =d' nach des' schreitet und das chromatische Klanggeschlecht so- <lanu in folgender Gestalt erscheint : hc' des' 6 = wobei die Lichanos ==: des' den Zusatz chromatice erhält zum Unter- s» 1; Boetius im vierten Buche; hierzu sind zu vergleichen Ptolemäus lib. 4, 0. 43 — 16; Euclid p. 6 ff. u. a. a. 0. XXII schiede von der diatonischen Lichanos = d'. Friedrich Bellermann stellt nun das chromatische Geschlecht aber so dar : m^ ^ -<5>- woraiis hervorgeht, dass er nicht nach Vorschrift der griechischen Auto- ren die Lichanos abwärts, sondern die Parhypale aufwärts bewegt hat. Zu diesem Irrthiira wurde er jedenfalls durch die bereits von Bürette, Marpurg, Forkei, Boeckh entwickelte Angabe der Griechen verleitet, dass im diatonischen Klanggeschlecht ein zusammengesetztes^ im chromatischen ein unzusammengesetztes Trihemitonium vor- handen sein müsse. Das diatonische Trihemitonium finden wir in den Klängen h c' d', wo das Intervall h-d' in den Halbton h-c' und Ganzton c'-d' getheilt erscheint. Friedrich Bellermann meint nun mit seinen Vorgängern ganz richtig, dass dem diatonischen Halbton der Griechen h-c' das Zahlenverhältniss S143 : 256 und dem Ganzton die Proportion 8 : 9 zukomme. Beide Verhältnisse in ein Intervall h-d' zusammengefasst ergeben die Zahlenbestimmung 27 ; 32. Das chronia- tische Trihemitonium müsste nun ein gleiches Verhältniss aufweisen, wenn Friedrich Bellermann für seine Darlegung nur einen Grund geltend machen wollte ; praktisch war sie schon den Quellen widersprechend, weil der genannte Schriftsteller offenbar die Parhypate hypaton nach Oben und nicht, wie vorgeschrieben , die Lichanos nach Unten bewegt hatte. Aber auch akastisch lässt sich die Aufstellung Friedrich Belle r- mann's, welche uns das chromatische Trihemitonium als ein dia- tonisches zeigt, nicht vertheidigen ; denn nach d^r Berechnung des regulären Monochordes wurde der Lichanos hypaton chromatice die Zahl 7296 und der Hypate meson die Zahl 6144 zugetheilt. Beide Zahlen mit einander verglichen 61 44 : 7296 ergeben aber das Verhältniss 4 6:19, mithin ist das »un zusammengesetzte chromatische Trihemitonium« auch akustisch ein anderes Intervall , als das »zusammengesetzte diatonische Trihemitonium«, und muss folglich in anderer Weise für das Gefühl aus- gedrückt werden , als letzteres. Eine durchschlagende Bestätigung er- hält diese Angabe noch durch den von Boetius über Archytas ^) ausge- 4) Boetius sagt über Archytas Im 6. Buche, Cap. 46: »Archytas, der Alles in der Berechnung zu begründen suchte, vernachlässigte nichtnur die Beobach- tung des Gehörssinnes bei den ersten Consonanzen , sondern er folgte bei Ein- theilung der Tetracborde nur der Berechnung. Ja er machte es sogar so, dass weder er die Berechnung, welche er erforschle, wirksam entwickelte, noch auch die von ihm aufgestellte Berechnung mit dem Sinne übereinstimmte«, XXIH ^prochenen Tadel, weil dieser für das chromatische Trihemitoniam das VerbältDiss von 27:39 aufgestellt hatte , gleichwie auch alle übrigen Theoretiker Aristoxenus , Didymus , Eratosthenes , Ptolemäus sich von einer solchen dem Chroma ganz unnatürlichen und sinnwidrigen Propor- (loa entfernt hielten. Ganz bestimmt drückt sogar Aristoxenus, welcher dem diatonischen Halbton 7^ zuerkennt, auch das tonisch-chromatische fi R 4 8 Klanggeschlecht durch 75 + 7^+7^ aus/ mithin ist im chromatischen Klanggeschlecht die Entfernung von der Parhypate zur Lichanos auch als ein Yerhältniss zu fassen , das unserer Anschauung vom diatonischen Halbton entspricht. Ein solches besteht aber von der Parhypate hypaton = c' zur Lichanos hypaton = des' und nicht von c' zu eis', welches im griechischen Sinne eine Apotome , d. h. ein chromatischer Halbton, wäre ^) . Mithin ist Friedrich Bellermann sowohl in einen praktisch-mu- sikalischen, als auch theoretisch-akustischen Irrthum verfallen , der um so folgenschwerer erscheint, als dadurch die ganze Aufstellung seiner chromatisch -enharmonischen Scala als gänzlich nichtige in sich zusam- menrällt. Bei Ausdruck des enharmonischen Klanggeschlechts, für dessen Bildung die Griechen vorschreiben, dass die Parhypate eine Diesis (Vier- lelston) abwärts bewegt und die Lichanos an Stelle der diatonischen oder chromatischen Parhypate gesetzt werde , verfällt der Forscher in den Fehler, den feststehenden Klang, die Hypate hypaton, zu verletzen, in- dem er vor h ein Doppelkreuz stellt ; er bewegt mithin die feststehende Hypate hypaton, welche in keinem Geschlecht verändert werden durfte. ■■$ ^ei Apotomen aufwärts in dieser Gestalt . ^n] 1 1 j Wenn wir nun auch keinen Klang in der modernen Musik besitzen, wel- cher dieser enharmonischen Parhypate entspricht , so dürfen wir doch i^einenfallsden feststehenden Klang aufwärts bewegen ; unbedingt müssen ^if die Darstellung so wählen , dass die Parhypate zwischen der Hypate ^ Licbanos erscheint. Dies geschieht, indem wir d' um zwei Apoto- «ooach BoetiQS die sinnwidrige Aufstellung der Klanggeschlechter von Seiten desArchytas dar)egt. Mit Boetius stimmt Ptolemäus vollständig überein. Verg). Nem. härm. lib. 4, cap. 43 flf. 2) Trotz dieser Irrthümer giebt Friedrich Bellermann ebenso wie sein Vor- §^nger Boeckh ganz richtig an , dass die Apotome ein chromatischer Halbton c"-ci8" oder des"-d", dasLimma ein diatonischer Halbton sei, z.B. c"-des" «lerci8"-d". Vergl. Fr. Bellermann, Toni, und Musikn. der Griechen, Seite 4 7. XXIV men erniedrigen. Denn da im griecUischen Sinne zwei Apotomen ein grösseres Verhältniss ausmachen, wie ein diatonischer Ganzton, so ist desdes' etwas tiefer als c', fällt mithin zwischen h und c' oder zwischen Hypate hypaton und Lichanos hypaton enharmonios. . Weil aber die Messung in der modernen Musik doch nicht ganz genau ausgedrückt wer- den kann, so fügen wir ein Sternchen für diesen nicht genügend zu be- zeichnenden Klang hinzu. Diese Darstellung habe ich in der folgenden Abhandlung gewählt, z. B. in dieser Form: Hypate hypaton = h Parhypate hypaton = desdes' * Lichanos hypaton = JL ' — 1 *^ — \ enharmonios = c' ^ :j^W^ Jk ^ Hypate meson = e' Weniger ist dieser Irrthum Friedrich Bellermann's von Bedeutung, als der hinsichtlich des chromatischen Geschlechts, welcher sofort er- kennen lässt, wie der verdiente Forscher die musikalischen Systeme nicht gehörig auseinanderzuhalten vermochte. Noch schlimmer gestaltet sich jene Reconstructionsschwäche bei Aufstellung der Tonarten, für welche er eine ganz merkwürdige Folge annimmt, die leider auf seine Nachfolger theilweise übergegangen ist. Obgleich die Griechen keine chromatische Scala in unserm Sinne besassen, sondern einzig und allein in jeder Ton- art die drei vorgenannten Geschlechter in den einzelnen Tetrachorden zur Bildung der diatonischen, chromatischen und enharmonischen Scalen annahmen, hat Friedrich Bellermann doch eine chromatisch-enharmoni- sche Scala construirt , um daraus seinen tiefsten Proslambanomenos der hypodorischen Tonart zu entwickeln. Er meint dann, dass er diesen in dem Klange F gefunden habe , eine Errungenschaft , die wir leider nur als eine vom Dilettantismus dictirte bezeichnen können. Jenes F entstand nämlich durch die Vorausnähme Friedrich Bellermann's, dass die lydische Scala ohne Vorzeichen notirt werden müsse, wie ich dies in meinen sachlichen Erklärungen vollständig nachgewiesen habe ; Friedrich Beller- mann's Proslambanomenos = F ist somit nicht erforscht, sondern ledig- lich durch eine falsche Voraussetzung entstanden. Gern wollten wir nun von jeder Polemik absehen , wenn einzig und allein seine chro- matischen Verhältnisse falsch wären , jedoch die Tonartendarstellung an sich nicht gelitten hätte. Jetzt notirt aber der geehrte Forscher die An- fangstöne seiner Scalen mit seinem vermeintlichen »einzig richtigen« Proslambanomenos = F in folgender Weise : XXV F = Hypodorisch eis = Aeotisch Fis = Hypoioaisch d = Lydisch G = Hypophrygisch dis = Hyperdorisch Gis== Hypo'äolisch e = Hyperionisch A == Hypoiydisch f = Hyperphrygisch Ais = Dorisch fis = Hyperäolisch H = Ionisch g = Hyperlydisch c = Phrygisch Die falsche Notirung dieser Anfangsi^länge und demgemäss auch die aller übrigen Klänge in den einzelnen Scalen leuchtet sofort jedem ein, welcher die Quellen genauer kennt. Nach Aristoxenischer Auffassung giebt es nur eine Dorische ^) und auch nur eine hypodorische; nimmt Dun Friedrich Bellermann den Proslambanonemos der hypodorischen Ton- art=F an, so darf er ihn in Rücksicht auf die beiden hypophrygischen, ^on welchen die tiefere auch hypoionisch oder hypoiastisch heisst, nicht chromatisch erhöhen ; er hätte also für die hypoionische Tonart den Klang Ges und dann für die hypophrygische den Klang G als Proslambanome- nos wählen müssen ; derselbe Fehler zeigt sich nun auch im Yerhältniss der übrigen Scalen, unter denen man z.B. die dorische = Ais 2) als eine erhöhte hypolydische=A findet, obgleich sie doch in ihrer Darstellung Kanz unabhängig von allen übrigen bestehen soll. Diese Unabhängigkeit wird nicht allein von den Aristoxenern vorgeschrieben, sondern auch die anderen griechischen Theoretiker erklären auf das Bestimmteste : die do- rische Scala liegt um ein Li mm a^], d.h. um einen diatonischen Halbton, höher, als die hypolydische. Da nun auch Friedrich Bellermann nach dem Vorgange Boeckh*s mit Recht das Limma als diatonischen Halbton und die Apotome als chromatischen hinstellt , so dürfte klar bewiesen sein, dass seine Notation der Tonarten eine ganz unrichtige ist. Die do- rische Scala liegt bei ihm eine übermässige Terz höher, als die hypodo- rische, während sie doch um ein unversehrtes Diatessaron, d.h. um eine i) Yergl. Euclid pag. SO : hfhpioz eU. 2) Da Friedrich Beüermann seine dorische Tonart in Aismoll nolirt, so ist daraus die Folgerung zu ziehen, er meine, dass die »einfachen, kräftigen« dori- Khen Tonweisen (nach Plato) alle in Aismoll notirt worden sind. Möchte man vielleicht für unsere einfachen ältesten Volkslieder in Moll eine Tonart mit ^ Kreuzen, also Aismoll wählen? In der That eine merkwürdige Erfindung Fr. Bellermann's ! 8) Ptolem. barm. lib. 2, cap. 10 : To6tou (&iroXu^iou) hi nphz t6v Bcopiov if) XXVI reine Quart, höher zu notiren gewesen wäre ^) . Desgleichen erweisen sich in Folge seiner grundlosen Entwickelung der Transpositionsscalen auch die anderen Verhältnisse als ganz irrige ; denn Ptoiem'aus schreibt ausdrück- lich vor^) , dass die tiefere mixolydische , von den Aristoxenem auch hyperdorisch genannt, ein Limma von der lydischen entfernt sein müsse. Friedrich Bellermann beginnt jedoch die lydische Ton d', die hyperdori- sche aber von dis aus, mithin stellt er fälschlich die Differenz (uirepo^Vj) in der Apotome dar, gleichwie seine lydische Transpositionsscala von der dorischen unrichtigerweise um eine verminderte Quart, oder im griechi- schen Sinne: um ein »Trihemitonium und Limma« entfernt ist. Aus- drücklich heisst es aber in den griechischen Quellen , dass die dorische Transpositionsscala von der lydischen um eine grosse Terz differirt^). Da nun Fr. Bellermann nach Boeckh die pythagoreische Terz unserer grossen Terz gleich setzt, so mösste er doch auch hier zwischen der dorischen und lydischen eine pythagoreische Terz annehmen. Vielleicht verleitete ihn das moderne Ciavier mit seiner erst im IS. Jahrb. n. Chr. sicher festgestellten Temperatur zu Jener Notirung ; der Musiker weiss aber genau, dass zwischen dem Verhäitniss von Ais^, d. h. der vermin- derten Quart, und dem vonBni, d.h. der grossen Terz, ein bedeutender Unterschied stattfindet. Eine ähnliche Differenz kannten auch die Gne- chen ; denn ihr »Trihemitonium und Limma«, z. B. Ais-d, hatte das Ver- hällniss von - X ^rr = ^«Ta > ^^ ^^^ Dilonon, z. B. B-d, bestand aas 8 8 64 zwei Ganztönen« d. h. aus tt X ^ = ^ * Dieses Ditonon wird nun von den griechischen Autoren zwischen der dorischen and lydischen Trans- posilionsscala verlangte welche Forderung jedoch von Fr. BeUennann nicht erfttUl ist ^ da er die Entfernung Ai»-d und nicht B-d annimmt, 64 65$4 . zwischen welchen Tonverhiltnissen die Proportion ^ • ^i^^ besteht. Es (d^u»;. ÜM^; Td>M|i' tou ^ i^cQ>.*j^ioo (ix^^' 'coo ^ $«»(2io(i $«i tsrndS^orv* 2} Ploleiii. iMurv. üb. S> c. I», paig. 74 beieieksel die hypol^diseli« bü t^, die do«ts«lie mit ^ die lydische mit C mid die ttelere miiol>disi*iie » hypeido- nsehe mit «. Er $*gt daim, dass rvisdieii r^^ «nd *« der Vatersirhied von einem limma sein müi>$e : tä^ ^^-jaspo^f^n) ^« "cäm t^ J »ai * « -rou «oA^oaii^»«» % ftolem« hanDL IIb. % c. 4», pa^. T» is^ zm^ Im^mo 4ai x«» A.io«m It iaw i - XXTII stelll sich daher zwischen Ais und B der unterschied des Gomma heraus in dem Yerh'ältmss 6S4SIS8 : 534441, sodass also, wie man auch aus den Klanggeschlechtern des Ai*lstoxenus sieht , Ais durchaus nicht = B nach griechischer Anschauung ist. Mithin ist nicht allein die chroma- tisch-enharmonische , sondern auch die aus den Transpositionsscalen gewonnene chromatische Scala und sogar die einfache Aufstellung der diatonischen Transpositionsscalen von Seiten Friedrich Bellermann's eine gänzlich verfehlte , selbst wenn man die Vorausnahme des verdienten Schriftstellers , die hypolydlsche Scala sei als ein Moll ohne Vorzeichen und der Proslambanomenos der hypodorischen Tonart als das grosse F anzunehmen , nicht weiter angreifen wollte, da ja als Hauptsachen die Systeme an sich und ihre Beziehungen erscheinen, nicht aber die absoluten Tonhöhen, von welchen man ausgeht. Dennoch hat man auch hinsichtlich ihrer Notirung triftige Gründe , die hypodorische Scala mit AmoU ohne Vorzeichen hinzustellen ; denn I . ist es angemessen , dass dem einfachen Alten' in der modernen Musik das Einfache entspreche, und dies geschieht, sobald man die ältesten Systeme, d. h. die beiden dorischen, in folgender Weise schreibt : a) d I e f g a h c' d' e' I b) d I e f g a b c' d' I Unier a) finden wir das dorische Diapason mit der alten Hyperhypate = d, unter b) aber das Grundsystem der dorischen Tonart (Transposi- tionsscala) , gebildet durch die beiden verbundenen Tetrachorde meson und synemmenon mit der alten Hyperhypate, welche Aufstellung sowohl den in den saclilichen Erklärungen mitgetheilten Entwickelungen des Claudias Ptolemäus als auch der von den anderen Autoren aufgestellten Theorie entspricht. 2. Nimmt aber auch das frühere Mittelalter, wel- ches sich auf die Definitionen des Boetius stützt, die Transpositionsscalen dieses Eklektikers sammt den Octavengattungen auf ; die letzteren machen die mittelalterlichen Schriftsteller deswegen in umgekehrter Ordnung namhaft, weil Boetius meint , man könne die Ordnung anstatt mit dem Diapason von Hypate hypaton bis Paramese auch vom Diapason : Mese bis Nete hyperbolaeon anfangen, welches das hypermixolydische Diapa- son sei, woraus sich die sogenannten Kirchentonarten ergaben. Daneben bestanden aber auch die Transpositionsscalen, von welchen die hypodo- rische als Ausgangspunkt diente und diese bezeichnet bereits Hucbald mit A B (quadratum = H) CDEFGABCDEFGA; man wird da- her den Zusammenhang mit dem früheren Mittelalter richtig hergestellt haben, wenn man die hypodorische Transpositionsscala als Moll ohne XXVIII Vorzeichen, mithin als AmoII notirt. Die Friedrich Bellermann'sche No-" tirung steht , abgesehen davon , dass sie an sich erwiesenermassen ganz irrig ist und das von den griechischen Autoren geforderte akustische Verh'ältniss nicht respectirt, ausser allem historischen Zusammenhange, — um so merkw^ürdiger ist es , dass sich sonst scharfsinnige Philologen durch jene dilettantische Aufstellung täuschen lassen konnten. Gleichwie nun die Tetrachorde und die Transpositionsscalen in ihrer Beziehung zu einander von diesem Forscher irrthümlich verzeichnet wrorden sind, ent- behrt auch seine Hypothese von den Octavengattungen mit Bezugnahme auf Plato und Aristoteles jedes Grundes. Zur Yergleichung habe ich in den sachhchen Erklärungen die Entwickelung Friedrich Bellermann's in einer Anmerkung beigegeben, vs^oraus man ersieht, dass derselbe die technischen Ausdrücke der griechischen Autoren nicht immer richtig er- fasste. Denn bei Aufstellung der Octavengattungen verwechselt der ver- ehrte Forscher die Tetrachorde mit den Quartengattungen, indem er ganz ruhig Tetrachorde mit beweglichen Einschlussklängen bildet, welche erweislich nur mit feststehenden gebildet werden durften, d. h. der tiefste und höchste Klang eines jeden Tetrachords waren stets fest- stehende, in allen Klanggeschlechtem unabänderliche. Femer versteht er unter einer ap|j.ov(a irapaiüX7]a{a eine Octavengattung, welche zu einer anderen die Plagaltonart bildet, wogegen doch darunter ein harmoni- sches System ^) zu verstehen ist , welches »in der Nähe« (itapairXiQoia) 4) Ueberhaupt ist es ganz irrig, unter olp^ovCa schlechthin Octavengattung verstehen zu wollen ; denn Plato und Aristoteles sagen ausdrücklich , dass ap- (Aovia ein harmonisches System sei, in welchem das symphonische Melos gebil- det werde; daher könnten auch Männer und Knaben zusammen eine Antiphonie singen und zwar vermittelst der Symphonie Diapason. Vrgl. Piatode legibus lib. 2, pag. 665 : xig h-^ T?j5 xivifjoeoDC Tdi?et ^u&(i.ö( 6sQ\t.a elt], ttq S' ai> Ti\^ ^cov^C; toü xe iiioi Sp.a xal ßap£oc ouYxepawufiivoov, dpfiovCa ^vo(jt.a Trpo^aYOpeOoiTO, yopeii hk to Suva(i,96Tepov xXTjdeCT]. Ferner folgende Stellen bei Aristoteles : Moucix*?] hk iZeU £fx.a xal ßapei^, (M(xpo6c re xal ßpa^etc (p^YT^^^ (xl^iaa is Sia^^poic ^tovatc, (j.(av dmnikeoes dpfiovlav . . . T6 [t.is dlvTl^mvov o6|4.^aiv6v £on oiä naodv . . . i% itaiSoiv Yotp v£a>v xal dlvSpcöv y^^s^^i '^o divTlcpinvov ot SieoTaoi toTc tövoic, Äc vifj-nr) TTpö; t^ üTtotTiQV. 8iÄ xi fjötov t6 dvrlcpoivov tou oufjt,^(6vou ; ?) 5ti fiaXXov SiÄ S^Xov '^[•^erat xö oufJiQpwveiv tJ 8Tav Ttpöc r^jv oufi^oivtav qi^iQ, divölTaTQ T°^p '^'^ iripav 6fjLOcp<DV6rv' ßore 86o irpöc fjiiav cpojvi?|v '<(is6\i£>iai dopavllouot t?)v ex^pav. . . Aid xi Sic (Acv 5t^ ö^etwv, xal &U Sid XEXxoprav o6 ouficpoveT , 5lc Siöt Trao&v S£; MaYa&CCouoi y^P Ta6x7)v 5tdt i:aod>v öufi^poivtav, dfXXtjv 6e o65ep.(av. — MaYa- ^(Couoi hk £v x^ hiä. Traaoiv oufi^oivla. Aid Tiivxe xal hiä xeoodpoov o6x qi5ouoiv dvxi^wva. — 'H 5id Tcao6>v oupt^oiNCa ^Sexai pi^vT). XXIX eines anderen liegt ; denn für das Plagiale wie überhaupt für die »har- monische Verwandtschaft« durch Quarten, haben die Griechen einen und bei Athenöus 44, 635 : Atöirep xcxl ülv^apov e{pT]x^vai iv tc{) i:p6^ 'Upaiva oid icaomv l)^etv t?Jv auvtp5(av, dlvSpdiv xe xal iraiSoiv, Wenn also griechische Männer und Knaben zusammen in Octaven sangen, so konnten sie doch nicht auf einer Octave stehen bleiben, sondern sie brauch- ten dazu eben ein harmonisches System ((ipp,ov(a) , welches grösser war , als ein Diapason. Deshalb bedeutet dp(i.ovla in der Verbindung mit Tonartennamen ^opiorC, ^piifiori etc. nicht Octavengattung, sondern dorisches, phrygisches etc. Tonartensystem , in welchem man antipbonisch , also auch in verschiedenen Octavengattungen singen konnte. Man erkennt aus den mittelalterlichen Schrift- stellern , wie die Ansichten der griechischen Autoren noch lange in der christ- lichen Zeitrechnung ihre Geltung behaupteten ; ich erinnere nur an einen frü- heren Aufsatz über Hucbald, in welchem ich Folgendes mittheilte: »Indem Hucbald die drei verschiedenen Quartengattungen erklärt, welche sich durch den Sitz des Halbtones unterscheiden, z. B. H c d e, c d e f, d e f g, und diesen auch die vier Quintengattungen nach denselben Grundsätzen hin- zufügt, bemerkt er zugleich, dass vermittelst dieser Symphonien, nämlich der Quarten und Quinten , das Organum bewerkstelligt werden könne. Das Orga- num, meint er, sei eine Antwort, welche der Principalstimme nachfolge, und zwar könne eine einzige Stimme einer vorhergehenden Principalstimme auf der Quarte oder Quinte als »Organum« antworten, oder auch zwei durch Octaven verdoppelte Stimmen dürften die Antwort bewirken, ja, es wären sogar zwei durch Octaven verbundene Stimmen berechtigt , ein »Organum« zu zwei durch Octaven verknüpfte Principalstimmen herzustellen. Organum*) be- deutet eben weiter nichts als »Nachahmung«, »Nachfolger«, »Antwort« auf der Quarte oder Quinte. Z. B. stellt er ein Exempel in vier Zeilen auf, welches wir durch Buchstaben in unserer Tonbezeichnung aufschreiben und jedem Tone die ihm zugehörige Silbe beisetzen : 4. Principalst. 3. Organum. 2. Principalst. 1. Organum. d' V g' g' g' g' g' Tu pa tris sem pi ter nus a' r e' d' es fi li US a c' d' d' d' d' d' Tu pa tris sem pi ter nus e' c' h a es fi li US d f g gr 8r fi) ST Tu pa tris sem pi ter nus a f e d es fi li US A c d d d d d Tu pa tris sem pi ter nus e c H A es fi li US Knabenst. Knabeust. Mftnnerst. Männerst. *) OrgaBon, griech. = Werkzeug, Ansdracksmittel, äussere Form, musikalische Kunstform. A>^^ bestiiomten technischen Ausdruck (o^oioc seil, xovoc) oder (ofjLotov seil. ouaT7]fta) , worüber uns namentlich Claudius Ptolemäus genauen Auf- »Hierzu sagt Hucbald Folgendes : »»Möge man nun dem einfachen Gesänge (der einfachen Principalstimme) ein doppeltes Or- ganum hinzufügen, welches die erste und dritte Zeile bezeichnen kann , die (beide zu- sammen) zur zweiten Zeile den Wechsel des Organums festhalten (den Wechselgesang be- wirken) ; oder möge man auf den doppelten Gesang (auf die verdoppelte Principalstimme) ein einfaches Organum beziehen, welches Ver- fahren die zweite und vierte Zeile kennzeichnet, die in ihrer Mitte (d. i. zwischen sich) das Or- ganum enthalten , oder möge man sowohl das Organum , als auch den Gesang (die Princi- palstimme) verdoppeln oder auch beide verdrei- fachen, so consonirt es wechselseitig auf die beschriebene Weise. Denn es können sowohl Menschenstimmen, als auch Instrumentalstim- men nicht nur je zwei und zwei, sondern auch je drei und drei in dieser Verbindung sich mischen, indem jedenfalls, sogar wenn drei Stimmen auf einerlei Weise thätig waren, eben- soviel Stimmen auf einen Antrieb (d. h. zu- gleich) als Organum antworten. Hierbei ist zu^ beachten, dass die zwischen beiden liegende mittlere Stimme sich nicht in gleichem Zwi- schenraumsverh&ltniss zu beiden befindet, weil nämlich in der 8. Zahl die Mitte der Einheit nicht ist ; sondern wenn von der Tiefe aus ge- rechnet dem Gesänge (der Principalstimme) im Zwischenraumsverhftltniss einer Quarte geant- wortet wird, dann von der Höhe aus gerechnet im Zwischenraumsverhfiltniss einer Quinte. Und damit dies den Nichtwissenden ohne Ue- berdruse der Wissenden deutlicher eingeprägt werde: wenn nämlich durch eine Männer- stimme zugleich mit einer Knabenstiaune orga- ni^irt wird, so sind diese beiden Stimmen sich selbst in der Octave consonirende ; zu der Stimme aber, welche sie zwischen sich als die mittlere halten, der nämlich beide als Organum antworten, zeigt sich die höhere, nämlich die Knabenstimme, auf der fünften Tonstufe als die höberei die Männerstimme auf der vierten Ton- »»Sive namque simplici can- tul duplex Organum adjungas, quod potest significare primus versus ac tertius, qui ad se- cundum versum vicem tenent organi ; sive ad duplicem can- tum Simplex Organum refe- ratur, quod versus secundus designat et quartus, Organum in suo medio continentes, seu et Organum gemines et can- tum, sive etiam triplum utrumque facias, descripta ad invicem consonat ratione. Possunt enim et humanae vo- ces,et in aliquibus instrumen- tis musicis non modo binae et binae, sed etiam ternae ac ternae hac sibi collatione mi- sceri, dum utique uno impul- su, vel tribus in unum vocibus actitatis, totidem voces re- spondent Organum. Ubiatten- dendum , ut vox media inter duas ne aequo spatio se ad utrasque habeat, quippe cum in octavo numero unitatis medietas non sit; verum si ab inferiori latere ad cantum diatessaron spatio respondea- tur, a superiore vero spatio diapente. Et ut hoc clarius insinuetur nescientibus sine fastidio scientium, si voce vi- rili organizetur simul cum voce puerili, sunt hae duae voces sibi per diapason con- sonae ; ad eam autem vocem, quam inter se mediam con- tinent, ad quamscilicet utrae- que Organum respondent, acutior, quae est puerilis, quinto extat loco super ior, ea XXXI schkiss giebi. Dieser letztgenanste griechische Autor ist oua auch dunoh die Friedrich BdienoanQ'sche Theorie am aUerschlimmsten bedacht wor- quae virilis, quarto ioco gra- stufe als die tiefere. Denn so vereinigen sich vier. Sic enim cognato nexu durch verwandtschaftliche Verbindung wech^ sese muiuo symphoniae \i- selseitig die Symphonien, so dass jedweder gant : ut quicumque sonus ex Klang , der auf der einen Seite in Quartenbe- hac parte quartana collatione ' Ziehung zu einem andern steht, auf der andern sese habet ad alium , ex iila Seite in der Octave auf der fünften Stufe zu parte per diapason quinta re- demselben zurückblickt (d. h. das Quintenyer- gione ad eondem respiciat.«« hliltniss zeigt) .«c »Hucbard sagt also , dass ein Gesang , eine Principalstimme gegeben sei, wie ich sie in dem aufgestellten Exempel durch fettere Schrift in Nr. 2 ausdrücken konnte. Zu dieser Principalstimme könne man ein doppeltes Orga- num setzen , z. B. Nr. i und Nr. 3 , welche zusammen den Wechselgesang herstellen , d. h. nach dem Vortrage der Principalstimme beginne der Wech- selgesang , welcher nichts Anderes sei , als eine durch die tiefere Octave ver- doppelte Nachahmung auf der Quinte , so dass natürlich die tiefste Stimme des Organum um eine Quarte tiefer lag, als die Principalstimme und von dieser die höchste Stimme des Organums um eine Quinte entfernt war. Aber auch die Principalstimme dürfe man verdoppeln , wie es Nr. 2 und 4 darstellen , wo dann Nr. 8 , wenn eben nur drei Stimmen vorhanden sind, als Organum, d. h. als Nachfolger, als Antwort erscheint. Endlich sei man auch im Stande, so- wohl die Principalstimme , als auch das Organum , die Antwort , durch Octaven zu verdoppeln, ja zu verdreifachen, wo dann eben so viel Stimmen als Orga- num antworten , wie viele als Principalstimmen thfitig waren. Das Verhältniss des Gesanges beruht nämlich auf der Tbeilung der Octave. Die Octave A — a konnte eingetheilt werden in Quinte und Quarte A — e — a , oder in Quarte und Quinte A — d — a , wie ich es schon in meiner absoluten Harmonik der Griechen darlegte. Dem angeführten Beispiele liegt die Eintheilung A^d — a zu Grunde, mithin der mittelalterlich - hypodorische Ton, dessen authentischer Ton die Octavengattung d — a^— d' war. Wenn also die Principalstimmen auf deca au» thentischen Tone die Melodie vorgetragen hatten , so begannen dann die Stim- men des Organums ihre Antwort auf dem Piagaltone , und zwar wurden die beiden Principalstimmen eben so vom Manne und Knaben in der Octave, mit- hin in ttquisonen Klängen ausgeführt, wie die beiden Stimmen des Orga- nums. Hucbald findet es also passend, wenn Knaben- und Männerstimmen in Octaven den Gesang vortragen, wonach in der Quarte oder Quinte, wiederum durch Octaven verbunden , Knaben - und Männerstimmen als Organum ant- worten. Die Octave hatte eben gleichklingende Stimmen (voces aequisonae), wo die tiefere Stimme zugleich mit der höheren Stimme (simul cum voce) eine Melodie vortragen konnte. Im Diatessaron und Diapente , d. h. in der Quarte und Qointe, konnte aber nur der Wechselgesang, die Diaphonie, stattfinden, weil diese Sinfonien bei genauer Beobachtung der Klangstufen berechtigt waren, den Wechsel des Organums (vicem organi teuere) , den Wechselgesang zu be- haupten und aus dieser Verknüpfung, d. h. aus der Aufeinanderfolge des •xxxn den, ja nach den Auseinandersetzungen des Berliner Gelehrten müsste man unbedingt giauben, Ptolem'äus sei ein schlechter Dilettant gewesen, welcher die Tonarten seiner Vorgänger nur zu nutzlosen Spielereien verwendet habe. Natürlich ^ habe ich nicht versäumt , die ganze An- gabe Friedrich Bellermann's in einer Anmerkung beizufügen , damit man erkenne, wie sich die eigentliche Theorie des Ptolemäus zur Bellermann'schen verhält. In den »Tonleitern und Musiknoten« des Berliner Forschers wird nämlich behauptet , Ptolemäus habe den Um- fang der menschlichen Stimme auf eine allgemein sangbare Octave beschränkt und zwar (natürlich dem Bellermann'schen Proslambano- menos=F zu Liebe] auf die Octave von f zu f'; auf diese hätte er alle Octavengattungen bezogen und diese in jenem Tonumfange aus- gedrückt. Die ganze Musik zur Zeit des Ptolemäus hätte also nur folgende Systeme i) gekannt : f g as b c' des' es' f = Hypodorisch f g a b c' d' es' f' = Hypophrygisch f g a h c' d' e' f = Hypolydisch f ges as b c' des' es' f' = Dorisch f g as b c' d' es' f = Phrygisch f g a b c' d' e' f = Lydisch f ges as b ces' des' es' f = Mixolydisch. Durch diese üebertragung auf eine Octave wird Alles umgeworfen , was Gl. Ptolemäus über die feststehenden und beweglichen Klänge , über die TetrachordbUdung , über Klanggeschlechter, über die harmonischen Uebergänge in Rücksicht auf das Melos , und über die Modulationen in Bezug auf die harmonisch verwandten Transpositionsscalen mit so bewun- dernswerthem Scharfsinn exponirt hat. Ptolemäus war sicherlich kein Dilettant, sondern jedenfalls der grösste Theoretiker des Alterthums, welcher mit eminenter Combinationsgabe die sieben Octavengattungen Gesanges und der Antwort (organale responsum) eotstand dann eine ange- nehme Melodie (suavisconcentus).a Auch Aristoteles sagt, dass nur in Octaven Männer and Knaben zusammen singen können. Die mittelalterliche Theorie ist also ursprünglich eine griechische. 4) Friedrich Bellermann bedachte nicht, dass im hypolydischen Diapason die Klänge a, h, e' feststehende sind ; wenn dieses das Grundsystem sein soll, so müssten jene Klänge nach der Vorschrift des Ptolemäus doch unveröndert bleiben. Das Beilermann'scbe System ist mithin erweislich eine ganz unmusi- kalische Erfindung, aber keine Forschung. xxxin zu zweioötävigen Systemen innerhalb der sieben Transpositionsscalen verwerthete and in diesen die harmonischen Verhältnisse zur Anwendung brachte. Er unterschied dabei die dynamischen und thetischen Benennungen ; von ersteren sagt er , dass sie durch die Transpositions- scala festgestellt seien , weil in dieser jeder Klang seine Dynamis be- sitze. Die thetischen Benennungen beziehen sich aber bei ihm lediglich auf die Octavengattungssysteme , indem eine jede Octavengattung als mittleres Diapason gesetzt wird,- damit im ganzen System die harmo- nische und arithmetische Theiiung der Octave zur Geltung komme, — eine geniale Theorie, die um so mehr Gewicht erhält, als sie für alle sieben Transpositionsscalen gilt , deren einzelne Systeme wechsel- seitig zu einander in Beziehung treten. Der genauere Beweis ist in den sachlichen Erklärungen gegeben ; hier wird es genügen, an zwei Trans- positionsscalen den Bildungsprocess vorzunehmen. Die hypodorische Transpositionsscala heisst : iHcdefgahc'd'e'f'g' a'. Die Octavengattungen sind : H-h, c-c', d-d', e-e', f-f, g-g', a-a'; wenn man jede derselben als mittleres Diapason setzt, so erhält man fol- gende Systeme : EFGAHcdefgahc'd'e' = Mixolydisch I 1 FGAHcdefgahc'd'e'f'= Lydisch I 1 G A H c d e f g a h c' d' e' f ' g' = Phrygisch I I A H c d e f g a h c' d' e' f ' g' a' = Dorisch I 1 H c d e f g a h c' d' e' f ' g a' h' = Hypolydisch I I c d e f g a h c' d' e' f ' g' a' h' c" = Hypophrygisch I I d e f g a h c' d' e' f ' g' a' h' c" d" = Hypodorisch. I I Die hypophrygische Transpositionsscala ist : H eis d e fls g a h eis' d' e' fls' g' a' h' Die Octavengattungen sind : ete-Cis', d-d', e-e', fis-fls', g-g', a-a', h-h'; Bocttu. c XXXIV dieselben zum mittleren Diapason verwandt ergeben nachstehende Sy- steme : FiBG AHcisd eflSgahcis' d' e' fls' = Mixolydisch I I GAHciSdeflSgallcis'd'e'fls'g' = Lydisch I I A H eis d e fls g a h Cis' d' e' fls' g' a' = Phrygisch I I H eis d e fls g a ll cis' d' e' fis' g' a' h' = Dorisch I I eis d e fls g a h cis' d' e' fls' g' a' h' Cis" = Hy polydisch I I d e fls g a II eis' d' e' fis' g' a' h' Cis" d" = Hypophrygisch I 1 e fls g a ll eis' d' e' fls' g' a' h' cis" d" e" = Hypodorisch . I I In jeder der beiden Transpositionsscalen heissen die Klänge der Reihe nach Proslambanomenos , Hypate hypaton , Parhypate hypaton, Ltchanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos mesou, Mese, Para- mese, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Netediezeugmenon, Trite hyperbolaeon , Paranete hyperbolaeon , Nele hyperbolaeon , und diese gelten als dynamische Benennungen, welche hier im diatoni- schen Klanggeschlecht ausgedrückt sind. Diese dynamischen Benennun- gen werden jedem Klange beigegeben und zwar so, dass bei Bildung der Octavengattungssysteme unterhalb , wo die Transpositionsscala in ihrem Umfange überschritten wird , das Tetrachord hyperbolaeon auch in der Tiefe, und oberhalb das Tetrachord hypaton auch in der Hohe ganz oder zum Theil erscheint. Zugleich aber hat jedes Octavengattungssystem von unten nach oben dieselben Namen als thetische Benennungen, d. h. jedes zweioctavige Octavengattungssystem fängt hinsichtlich der thetischen Be- nennung mit Proslambanomenos in der Tiefe an und hört in der Hohe mit Nete hyperbolaeon auf. Wie wichtig für Ptolemäus diese Theorie ist, zeigt er nicht allein durch seine Erörterungen über dasMelos, wo er besonders die durch Quarten verwandten Transpositionsscalen und die durch Quarten verwandten Octavengattungssysteme im Auge hat , sondern er weist dies auch an einem Beispiele nach, dass gerade die Büdung der zweioclavigen Systeme innerhalb der verschiedenen sieben Transpositionsscalen von der grössten Bedeutung sei. Er vergleicht nämlich das hypodorische Octavengattungssystem innerhalb der hypodorischen Transpositionsscala mit dem hypophrygischen Octavengattungssystem innerhalb der hypo- XXXV pbrygischen Transpositionsscala , weil diese beiden gerade von einerlei KianghÖhe ausgehen ; dieselben heissen : A. Hypodoriflcher Ton in der hypodorischen Transpositionsscala. Steltungen (Thetisch) Bedeutungen (Dynamisch) KUngo Nete byperbolaeon Paranete byperbolaeon Tritc byperbolaeon \e(e diezeugmenon Paranete diezeugraenon Trite diezeogmenon Haramese Mese Lichanos meson Parb^pate meson H)pate meson Lirhanos hypaton Pirh^pate hypaton 4\pate hypaton Proslambanomenos <v» <v«. 4V8 <V7 <V9 iVa, <V7 <v« <Va) <V8 11/7 <V9 1V20 1V7 Lieb an OS hypaton bew. Parhypate hypaton bew. Hypate hypaton steh. Nete hyperb. od. Prosl.Ä/eÄ. Paranete hyperbolaeon bew. Trite hyperbolaeon bew. Nete dlezeugmenon sieh. Paranete dlezeugmenon bew. Trite dlezeugmenon bew. Paramese steh. Mese steh. Liciianos meson bew. Parhypate meson bew. Hypate meson steh. Lichanos hypaton bew. c I e d c h a 9 f e d Ton ZP' Ton 801-3 Soff B. Hypophrygischer Ton in der hypopbrygischen Transpositionsscala. Stellungen Bedeutungen Klänge Nete byperbolaeon Paranete hyperbolaeon Tnie hy'perbolaeon N>te dlezeugmenon Hsratieie dlezeugmenon Trite diezeugmenon Paramese Hese Lichanos meson Parhypate meson Hvpate meson Lichanos hypaton ^rb)pate hypaton Hxpate hypaton Pro!»lambanomenos i'/m <V8 <V7 <V9 0/20 <V7 <V9 IV20 <V8 <V7 0/9 <Va) 1V7 1'/« Parhypate hypaton bew. Hypate hypaton steh. Nete hyperb. od. Prosl. steh. Paranete byperbolaeon bew. Trite hyperbolaeon bew. Nete diezeugmenon ^h Paranete diezeugmenon bew. bew. steh. steh. bew. bew. steh. bew. l)ew. Trite diezeugmenon Paramese Mese Lichanos meson Parhypate meson Hypate meson Lichanos hypaton Parhypate hypaton eis. h a e Z h g e Ton gSoff Ton is^ff SS 2*« 2 ff XXXVI Man sieht sogleich , dass beide Systeme eine gleiche tfaetische Mese haben , aber in ihrem Charakter verschieden sind. Wenn man nun von allen Transpositionsscalen , die nach Ptolem'äus von den Transpositions- stufen A, H, eis, d, e, fis, g gebildet werden, auch Octavengattungs- systeme ableitet , dann erhält man ein so reichhaltiges Material zur Modulation , dass nicht allein jede hohe , mittlere oder tiefe Menschen- stimme, sondern auch die Instrumentalmusik mit genügender theore- tischer Unterlage nach der Meinung des Ptolem'äus bedacht ist. Von einer Beschränkung auf eine bestimmte Octave sagt er kein Wort , im Gegen theil spricht er von den Transpositionsscalen (tovoi) , dass man sie zu höherer oder tieferer Stimmung für die Instrumente benutzen könne ; sie genügen ihm aber nicht zu den Uebergängen für das Melos , welches erst in den Octavengattungssystemen (tovoi xata to et8os) das rechte Fun- dament erhalten. Die Theorie des Gl. Ptolemäus ist bisher nicht musi- kalisch erklärt worden, weshalb ich es fürnothwendig gehalten habe, die Capitel 5 bis 11 aus dem 2ten Buche der Harmonik desselben griechisch anzuführen und dazu eine deutsche Uebersetzung nebst erläuternden Bemerkungen hinzuzufügen, wodurch ich eine endgültige Lösung be- wirkt zu haben meine. Als Vergieichungspunkte habe ich die Haupt- sache der Westpharschen Theorie und auch die Bellermann'sche Phan- tasie von der »allgemein sangbaren Octave« wörtlich mitgetheilt , damit man die Verschiedenheit der Ansichten leicht erkenne. Auch konnte ich es mir nicht versagen , jenen von einem nicht gehörig unterrichteten Gegner veröffentlichten Angriff auf meine »absolute Harmonik der Grie- chen« mitzutheilen , weil in demselben z. B. gesagt wird, meine Theorie sei mit der Westpharschen ganz gleich. Es sei ferne von mir, zu glau- ben, der Angreifer habe den Leuten »Sand in die Augen streuen wollen«, wie er dies von mir hinsichtlich meiner angeführten Schrift zu behaupten versuchte. Vielmehr ist guter Grund vorhanden, die Meinung auszuspre- chen, dass ihm überhaupt keine der früheren Theorien recht bekannt war ; denn sonst hätte er wissen müssen , dass R. Westphal gar keine Rück- sicht auf die feststehenden und beweglichen Klänge nimmt , auch seine Scalen von anderen Tonstufen aus aufbaut und dass die thetischen Benen- nungen bei ihm ein von meiner Aufstellung der Systeme ganz verschiede- nes Verhältniss besitzen. — Desgleichen ist gegen die Wahrheit in bereg- tem Angriff bemerkt , dass ich zu den Ansichten von Bürette und WaUis zurückkehre. Selbstverständlich weiss ich nicht, ob mein Gegner über- haupt ein Wort von Bürette und Wallis gelesen hat ; gewiss ist aber, dass ich die irrigen Anschauungen beider kannte, bevor ich die »absolute XXXVÜ Hurmonikff verfassle, welche schon bei aller . Verehrung vor dem älteren Schriftsteller die Fehler Friedrich Bellermann's andeutete. . Dass ein ihm Nahestehender für ihn und somit auch für sich selbst Einiges zu retten suchte, verargeich ihm nicht; nur hätte meiner Ueberzeugung nach die Darstellung des Gegenstandes eine wissenschaftlichere und sachlich be- gründetere sein müssen. Doch es war meinem Gegner nicht möglich, die- sen Ton der Wissenschaft zu treffen, wie er sich mit Hülfe der classischen Bildang ergreifen lässt. Zur Erklärung sei kurz gesagt , dass Westphal die feststehenden und beweglichen Klänge , von denen ich gerade auf Grund der Theorie des Ptolemäus meinen Ausgangspunkt nahm, bei Feststellung der dynamischen und thetischen Benennungen ganz und gar negirt und sie für »irrelevant« erklärt , dass ferner nicht ich , wohl aber Friedrich Bellermann zur Ansicht Burette's ^) zurückkehrt, wenn er ebenso wie seine Vorgänger die Klanggeschlechter in irrthüm- iicher Weise behandelt, und dass auch darin eine gewisse Ueberein- Stimmung zwischen dem verdienstvollen Schriftsteller Friedrich Beller- mann mit Wallis und Bürette stattfindet, wenn der erstere alle ver- meintlichen Systeme des Ptolemäus von einer einzigen Tonhöhe aus bildet, was aber sowohl der verschiedenartigen Natur der grie- chischen Instrumente und der Menschenstimmen , als auch den Worten des griechischen Autors ganz entgegengesetzt ist; Wallis hat uns zwar nach guten Manuscripten den Text überliefert , ihn jedoch an wichtigen Stellen nicht verstanden , wie aus seiner lateinischen Uebersetzung und manchen Erklärungen hervorgeht. Ganz besonders aber blieb er über die Octavengattungssysteme vollständig im Unklaren. Seine Tonarten, welche Bürette genau ausgeschrieben hat, sind nämlich mit Hervor- hebung der von ihm angenommenen Mitten (Meseo) folgende : Dorisch = A H c d e f g a h c' d' e' f ' g' a' Mixolydisch = A B c d e f g a b c' d' e' f ' g' a Hypolydisch = A B c d es f g a b c' d' es' f ' g' a' Lydisch = AsB p d es f g as b c' d' es' f ' g' as' Hypodorisch = A H c d e fls g a h c' d' e' fis' g' a' Phrygisch = AHcis d e fis g a hds' d' e' fis' g' a' Hypophrygisch = AHcis d eflsgiSah eis' d' e' fis'gis'a'. 1) Bürette hat das chroma tische KlanggeschlechtebeQSO dargestellt, wie Frie- drich Bellermanii, was folgende Stelle aus Bürette beweist (Mämoires de Htt^ra- toreTom. V,a. Abth., p. 474) : »En effet, dans le genre enharmonique, lamodu- XXXVIII Dies sind dmL Wallis [Plolcm, liHriii. pafi. T5 ff.) und Biirelle ') die viTinüiiillicIiPii Sciilen des PloleraUus , welche mein Herr Gegner niciil kiiiiiito. Abecweheii davon, dass die Ueberlragung hinsichtlich der Klang- r»li;e lalfich ist, weil hier bei nichl gehöriger Beobachtung der Testste- lionden und beweglichen Klünge das Hixolydittch als dorische , Hypoly- dixTli als RilxolydJsche, Lydisch als hypolydische, Hypodorisch als phry- gischo, Plirygisch als hypophrygische , Hypophrygisch als lydischc Tonart crachoinl , hal aber auch Ptolemäus nie daran gedacht, eine soicti unmusikalische Theorie, welche das Seitenslück zur Bellennann'schen bil- det , zu entwickeln ; vielmehr hat er mit weiser Berücksichtiguug aller Mittel das, was er in Bezug auf Klanggeschlechtur, auf die Telrachord- bildung , den Stillstand und die Bewegung der Klänge auseinandersetzte, Huch auf die Tonarten übertragen. Ganz übereinstimmend mit seinen Analysen ist meine Reconstruction der Systeme , aus welchen man kbr zu erkennen vermag , wie keiner der feststehenden oder beweglichen KlUngc aus seiner ursprünglichen Bedeutung gedi^ngt wird, sondern wie man jedes Klanggeschlecht genau nach den Vorschrillen des l^oleinlius in jedem Ot^tavengallungssysteme in richtiger Weise ausdrücken ^ann. Es entsteht nun die Frage , aus welchem Grunde Claudius Ptole- tnUus die Tonarten, d. h. die Transpositiotisscalen, auf sieben bescliränkl, Ot^teich er sich selbst hierüber deutlich in den angeführten Capileln seiner Harmonik ausdrückt , wird es doch zum näheren Ver^länd- lation procMoil trois (ois de suite par deux quarts de Ion consteutifo, puls uoe tierce majeure ou deui tons en cet ordre; si, si-diise, ut , mi, mi-dltee, fa, la, la-diiso, si b^mol, rO : dans I« «bromalique l'inlonalioD se uondoisoit aassi trois tois de suite par Aeu\ demi-tons consöculifs, pois une tierce mineiuc □u un toD & demi: si, ul. ut-dtfese, mi, fa, hi-di6se, la, si b^mol, si, rö: eofln , dans le dialoniqiie , la voii moutoit encore trois fois de snile d'an deroi Ion, pois de deui tons Tun aprte l'aulre; si, ul, rä, mi, fa, sol, la, si b<^ mol , ut , r6.- \] Bürette sagt über die Tonarten des Plolemaus: iVoyons pr^sentenieni ii quelles de dos cordes ou notes r^pondent les ra^ses el les parsinöses de cha- CQD des sepl modcs da Ptolemee. Dans le dorien , L-e sodI le 1 a & le s i de ii.'ii' ; ■■ ! i'.- ! ."- ■■ ■:' \ .'iilion. ce sont le re & le mi de ootre 3' octavo; luais ii laut i biMitulisiT les sii dans l'bypotydioD , ce sout le sol & le la; lUHis il Taut > bt-mcil isiT les si & les mi: daas te lydien, ce sont Vul Alle re de la tioi^ieme notave; mais ii hut eucore > b^moliser les mi, ) )b & les si- (Uns rhvpodpriea, ce soul le mi & le fa; mais il bul > r les (s. daus le plir>i;iea, ce sont le si & l'nl; mais il bul y dieser B «t 4l les fa: enbu , dans tbypophrygien , ce soni le fa & le sol; mais il rr encor« les ul, les fa & les sol. • XXXIX niss nothwendig sein , die Nolenscalen des Alypius mit in Betracht zu zieben. Friedrich fiellermann hebt richtig hervor , dass in der griechischen Notation eine Inconsequenz liege , weil dieselbe offenbar zeigt , wie die Griechen bald für ein und dieselbe Klanghöhe verschiedene Zeichen ^ bald für verschiedene Klanghöhen gleiche Zeichen gebrauchten. Der verdienstvolle Forscher führt dafür unter Anderem einen Beweis mit dem hypodorischen Tetrachord hypaton an : »Diatonisch. P 3 e tigzg ä b UJ M P Chromatisch. genau : nach dem Alypius : ^ 3 € 3 € K-l* b UJ b UJ 9 - H E U' - 3' E £nharmonisch. 9-- genau : nach dem Alypius : 3 8 3 € ^=&? X b (JU b - Ui E U - 3 E« Mit der Bezeichnung »genau« will Friedrich Bellermann ausdrücken , wie die Griechen eigentlich hätten notiren sollen , und »nach dem Alypius« versucht er die Inconsequenz der griechischen Notirung darzustellen. 'Genau« ist seine eigene Bezeichnung auch nicht ; denn angenommen, sein tiefster Proslambanomenos = F möchte Gültigkeit haben , so wäre dennoch die Bewegung von As nach A im chromatischen Geschlecht eine irrige , weil die Lichanos B abwärts bewegt wurde, also nach BB, damit auch wirklich ein chromatisches Trihemitonium BB - c entstehe ; ferner ist es ganz verfehlt, im enharmonischen Geschlecht die feststehende Hypate = G durch ein Doppelkreuz zu erhöhen ; denn die enharmo- nische Parhypate soll zwischen dem Halbton G - As liegen, in der Beller- mann sehen Bezeichnung liegt ßie aber , da er selbst eine Kreuzerhöhung aisApotome annimmt, zwischen As und c, d.h. zwischen demenharmo- XL nischen Ditonon, welches nach griechischer Theorie als ein ungetheil- tes Intervall erscheinen soll. Wollte man akustisch annähernd das Dazwi- schenliegen der enharmonischen Parhypate ausdrücken , so müsste man in Rücksicht auf die Bellermann'sche Hypate = G für die enharmonische Parhypate BBB * 9^- fc fc ä— schreiben ; denn As ist einen Ganzton, also »eine Apotome und ein Limma« von B entfernt ; da nun , wie oben be- reits ausgesprochen , zwei Apotomen eine grössere Entfernung , als sie ein Ganzton darstellt , ausdrücken, so fällt dann BBB * zwischen G und As ; das hinzugefügte Sternchen zeigt an , dass die Klanghöhe nur als eine annähernde gelten soll. Gorrect auf die Klanghöhe von H aus über- tragen , die man ganz motivirt als hypodorische Hypate hypaton betrach- ten kann , ergi^bt sich folgendes Schema : Hypodorisches Tetrachord hypaton nach dem Alypius : Diatonisch gixr^ :^ Chromatisch Enharmonisch ^^^ 3 b e uu ü 3 :^ Wir wollen nicht scharf dagegen auftreten , dass Friedrich BeUermann für die Instrumentalnote der diatonischen Lichanos das Zeichen P an- nimmt, obschon Alypius ausdrücklich sagt : it SiicXoov (Fi duplex) und nicht hinzusetzt xal iXXeinic ^} , also auch kein Grund vorbanden ist. 4) Die Zeichen übersichtlich zusammengestellt sind folgende : JOk Am 'hV'^9^ icXeÜYtov diceotpa(i.(i.£vov . xal i^fAlopt nXi^eov •f T "Cttö icXci-yiov - Tau 6p(^v 3 C ol^fj« SiTcXouv diiceoTpa(A(A£vov . - olffia ^iicXouv b (JU 1^^ dveoTpa(Jt.(iivov - ol^^ka SinXouv dvcorpapipiivov 11 3 Tct dv60Tpapi|&lvov - 9if\kOL SiirXouv diceorpafipivov Q H w r.ixm tP«l*l*^^ ^X^^ .... - -^a XU den Strich recliU wegzulassen. Ueber die Herstellung der Zeichenßguren wollen wir aber , wie gesagt , nicht streiten , da selbst in den Hand- t M H ivdvu - Itt StTcXoUV V/ 1^ flu diveaTpafi.(jt,£vov ^ '^ta ^XXcitt^c V £ XofApoa diveoTpa{i(Jt.£vov .... - -^Ta iXXeiTt^C ^rXci^iov ^ rl tdnni dlv€OTpa{i.p.ivov - "^xa dXXeiit^c diteoxpapLfjilvov — E Iwra «Xd^tov - eT Tetpc^Yoivov m ili V^^'^°' " " TtTpc^Yowov öirtiov h 3 ^'^ dXXeiir£^ - et xerpdlYovov dl7ieoTpa(i.(A£vov 7 H C^a ^XXewiic - tau ^Xd^iov F I oiyo|xpLa - xaö dlveOTpa[i|ji,lvov 17 -{ S^Xxa dlveoTpa(jt,{i£vov - xau hX^yiov dlire9Tpa(ji(jt.^ov •^ r" YcififAa dl7:eoTpa(A(j.£vov - Y^f*!** 6p06v P L ß^*^* iXXcwci; - •^d[»,ika dveorpapifiivov V b dfX^a dv£OTpafj.(iivov - hi-^ainML dveoTpa{i(AeNov 12 y^ » - V^jAu y ^4*1 - •^fiCflü ÖICTIOV X ^ x^ " ^l^^i^^ ^^*^^ A p ^i - S^YttfAfia X IL^ " ^W*l*l** dlveOTpafjLjAdvov X ^ tau - hi-^ayLiML diteorpafAfiivov C C ^Wh« • " '^Tl** P O ^ö ~ oIyH'^' dveoTpa(A(i,£vov p O iti - üif[i.0L dlice9Tpa(i,(i,£vov O K ^ ** xölTCTra S ^ & - Tf-dizna dlveoTpa(i,(iivov N )l ^^ • • V ~ xaiCTia dliteoTpa(jt,fx£vov M n 1^^ - irt xa^eiXxuo|&lvov A 1^ XdfißSa - if)fi.C6€XTa Sirriov K 2^ xdlmia - "^(xCSeXTa xadEiXxuo(jivov I ^ l&Ttt - Xd{ißSa icXc^Yiov O V ^'ca - Xdifi.ß$a dlveoTpa(i.fJL£vov H > "^xa - XdpißSa irXaYtov ölircoxpafjifiivov Z C C'^'f* • - ^t TtXdlYWv E U ^ xexpaYODvov - iri dlveaxpap.(jt,£vov A "3 hiXxa - iit füXaYtov dlic€OxpQi(AfJi£vov I N Y^H^M^ ~ ^^ B # ßfjxa - 65eTa A \ ^^a - ßap6?a ;U Z « xexpd^Y">^o^ - C'H'^a Ai A 4^* *^« veOov - "fiikiahfix oe^ov xoExn veöov X ► X^ Ste^l^opö; - if)(A(aXcpa dlpiaxepiv xdxoi veöov 1^ 91 nX^Yio^ - ^OL dtieXTixixöv xa^iXxuofir^^ov :JL 1^ ITtdxm veuov - '^fx.CoXcpa dptoxepöv dEvo veuov •r XLII schriflen und zwischen den einzelnen Autoren zuweilen S0| unerhebliche Abweichungen vorkommen. Trotz derselben wiM h dennoch die Bedeutung der Zeichen in den einzelnen Fällen leicljces' wenn man noch mehrere mit griechischen Noten aufgea^^^ nen 4= Lieder vorfände , als die bisher veröffentlichten , deren Heraus! li mir für später vorbehalte. Die vollständige Reihe der Zeichen r ^ bei Aufzeichnung der Transpositionsscalen des Alypius Seite %i ben, woraus man ersehen kann, dass auch die enharmonisdces' chromatischen Lichanen und Paraneten bereits in den diatonisch!) F theilweise vorhanden sind , und zwar erscheinen dieselben in der nächst höheren diatonischen Scala , z. B. die chromatiss j^ enharmouischen Zeichen der hypodorischen und dorischen tionsscala unter den diatonischen Zeichen der hypoiastischen sehen Transpositionsscala , wo dann die enharmonischen Klang) tieferen Scala mit den diatonischen der höheren zusammentre eine Vergleichung der Scalen sogleich lehrt. Ferner sind die sehen und enharmonischen Zeichen einer Scala mit den chro und enharmonischen Zeichen ihrer vertieften Scala , sobald System diezeugmenon mit Hinweglassung des Tetrachord syni zu Grunde legt , ohne Ausnahme vollkommen gleich , es habe hyp elastische und hypophrygische , die hypoäolische und hy die iastische und phrygische, die äolische und lydische (d bei den chromatischen Zeichen der lydischen Scala war jede Merkmittel) ganz gleiche chromatische und enharmonische Zeicidces' anderes Verhältniss tritt jedoch nach der hyperdorischen (dP F ■ JL ^ Tau dv€OTpafjLfi.£vo'^ xal •/jji.taXcpa hz^ths äsm '^eDov? K' öü - xaTTira 3E ^' 5i . • • - if-diznoi dlveOTpajjLfi.£vov N' 51 ' vO - 'x.dmzoi diiteoTpafjL(xivov M T H-ö - Tri xa^etXxuofx^vov A ^ ' XdtfxßSa - i?||At8eXTa ötitiov K i^' y-dizTza - -^(xlSeXTa xaftetXxtiOfjiivov 1 <' löTa - XafAßöa O V' ^'ca - XafxßBa (i>^€OTpafi.fj.dvov H > ' riTOL - Xapt.ß5a Tzkdfios aireoTpai 2 C.' C*^"^* - irt TrXötYiov /^ "3* hi\ta - irt 7rXaYiov dl7te(jTpf3i[j.p.£vo r N' idixi).a - vü A V o^«p^ - ßapcta U Z' «» rex^d-^tn^tos - C'^'ca l»F ! 1 T Tri' > italnniBi-hBr. Tp.n.»~.i.i ,^|,^ ... .. in. Dks : h ces' es" gis" ' h. (►F 1 T Tf 1 b >F IT ' h »F T Tf h r l>F T'IT 1 f" T K A' h Bar 1 l> F- n' 1 <' ^ n< 1 P XLIII tieferen mixolydischen) nach der Höhe zu ein, wo zwar einzelne Zeichen gleich sind und zwar für enharmonische Klangstufen, z. ß. b = ais (hyper- dorLsch-enharraonisch b == X A , hyperiastisch -diatonisch ais = X A) , das Princip aber nicht durchgeführt ist, wie bei den chromatischen Ver- liefungen ^) . (S. beil. Tab.) üeberhaupl ist es der griechischen Musik ei- ^enthiimlich, dass bei Veränderungen der KianghÖhen das Princip der Ver- tiefung das vorherrschende ist , woraus sich auch leicht erkennen Jässt, aus welchem Grunde Claudius Ptolem'äus die Transpositionsscalen auf sieben beschränkte. Ausdrücklich meint er n'ämlich , dass Diejenigen sehr unrecht handeln , welche bei Bildung der Transpositionsscalen eine 4 ) Auf der Tabelle fehlen noch die Zeichen , welche Aristides Quintilian für die Klänge unterhalb des hypodorischen Proslambanomenos angiebt. Die Stelle ist jedenfalls verdorben ; sie lässt sich aber mit Rücksicht auf die Theo- rie dos Ptolemäus so herstellen : Toü jiiv ßapmatoü TtctvTojv (seil, tövwv) troBoptou hiä Teooeipaiv (anstatt x^^ov) inl t6 ßap6TEpov dvIvTe; , t6 ^ Xafjtßdtvojiev dlpX"^/^ '^^^ air)(jiefaiv ' iTteita tö [uxä TOÜTo : iv fjtev dpp.ov(qt, StioeoDC iizi-^o^ XÖYov, is he ^pi6fxaTt xal oiaxö'^tp, ifjpLiTovbu' £iTa To jirca toöto * etxa tö T^TapTov , t6vov lic^^^ew 6piCöfA€0a. Dann ist mit dieser i^telle das tiefste Tetrachord bezeichnet, weil unterhalb A das Telrachord E F li A liegt. In den drei Geschlechtern ausgedrückt, würden wir folgende Ein- theilung erhalten , wenn wir nach Aristides die Zeichen ^ ^ , ^ "€? XX» y ^ unterlegten : Diatonisch - E Sa CS 4 F i > -€ G Chromatisch : E i F i 3- ■€ Ges. XX Eoharmonisch : E SicS i GesGes* J 5- < F XX chrom. Trihemi- toninm Ditonon (Die Zahlen bezeichnen die Aristoxenische Messung.) Im Uebrigen bemerke ich, dass Meibom das Verdienst gebührt, die grie- « hischen Tonzeichen überliefert zu haben. Die Zeichen der Breitkopf & Här- tel'schen Officin, welche zur Herstellung dieser Schrift benutzt sind, sind den Meibom'schen nachgebildet , und auch Friedrich Bellcrmann richtete sich nach den Figurenbildungen Meibom's , wie aus der Vergleichung hervorgeht. Nur in ganz unwesentlichen und nicht einmal zu rechtfertigenden Kleinigkeiten reicht Friedrich Bellermann von Meibom ab. Z. B. hat Meibom das Zeichen n , Bellermann schreibt P , dieser lässt mithin den Strich rechts weg ; fer- oer giebt Meibom (p , Bellermann Op , letzterer nimmt also den kloinen Buchstaben «pt für den grossen , wie es auch in Manuscripten vorkommt. Für das ti SiT^Xouv steht bei Meibom -ÄW, bei Bellermann ^. Man kann in diesen Abweichungen eine wichtige Forschung durchaus nicht erblicken. XLIV IheorelischiB Thcilimg in HalbtÖnc vornehmen, weil z. B. die tiefere hypophrygische Scala (hypoiastische Scala). ganz dieselbe sei , wie die höhere hypophrygische , man brauche ja nur die Instrumente etwas tie- fer zu stimmen. Die Natur der Instrumente verstattete also eine solche chromatische Halbtonvertiefung im Ganzen , ohne dass ihre Klangwir- kung besonders geschädigt wurde. Zugleich ersieht man auch daraus, dass Ptolemäus nicht allein die chromatischen und enharmonischen Zei- chen , sondern auch die diatonischen Zeichen für die chromatisch ver- tiefte Scala beibehalten will , weil hier nur auf ein und demselben In- strumente eine geringe Abänderung entsteht. Auch tadelt er Diejenigen, welche in Halb tönen bis zum Diapason vorschreiten, weil eine Tonart stets unharmonisch sein würde. Und in der That ist dies auch der Fall ; denn die höhere mixolydlsche = hyperiastische ist von gis aus gebildet und deshalb zu ihrer eigentlich harmonisch verwandten Scala , zur iastischen =s es unharmonisch, und wollte man die hyperiastische als eine vertiefte hypermixolydische = vertiefte hyperphrygische be- trachten , sie also von as aus notiren , so würde sie zur höheren phrygi- schen (eis) unharmonisch sein , weÜ im ersteren Falle kein reines Inter- vall Diatessaron, im letzteren kein reines Intervall Diapente vorhanden ist. Theoretisch consequent ist es also gehandelt, wenn Ptolemäus gegen die Aufzeichnung von mehr als sieben Transpositionsscalen eifert. Er gewinnt dadurch eine bessere Uebersicht der Notenscalen , ein reineres, harmonisches System , ein regelrechteres Verhältniss der einzelnen Sca- len zu einander und eine klangschönere Praxis. Gewiss wusste der scharfsinnige Theoretiker genau, dass Instrumente mit offenen Saiten eine üble Klangwirkung hervorbringen, wenn sie z. B. für ges und fis und für andere enharmonische Klänge ein und dieselbe Saite besitzen ; dies ist aber in Anbetracht der Scalen des Alypius und der alten Kithara ganz sicher anzunehmen , wenn man zur Zeit des Ptolemäus Instrumente baute , auf welchen wo möglich alle Transpositionsscalen dargestellt wer- den konnten. Die einfachen Instrumente waren gewiss so gebaut , dass nur die harmonisch verwandten Transpositionsscalen auf denselben zur Erscheinung kamen, z. B. die hypodorische, dorische und mixolydlsche, oder die hypophrygische und phrygische etc. , welche Systeme sich stets am leichtesten verbanden. Zieht man jedoch einen Vergleich mit unseren älteren Harfen , für welche ja dieselbe akustische Basis vorhan- den ist , wie für die alte Kithara , , so findet man , dass eine nach dem älteren System gebaute Harfe, deren Grundtonart in Es ist , die nächsten sechs Tonarten am leichtesten besitzt, welche in Quarten abwärts XLV gewonnen werden , also es - B - F - C - G ^ - D^ - A^^ , oder auf eine Octave übertragen es-B-F-c-G-d-A. Geht man nun bei der alten Kithara von der mixolydischen Transpositionsscala in gleicher Weise au3, so findet man die sieben Transpositionsscalen-g-d-A-e-H-ßs-cis, die auf einem Instrumente ausgedrückt werden konnten. Durch akustische Experimente und mathematische Consequenzen gewann dann Claudius Ptolemäus die verschiedenen Färbungen (xpoai) , welche den Kitharoden und Lyroden zu Gebote standen. Wir haben 'ähnliche Färbungen auch in der modernen Musik, wenn wir z. B. einen plötzlichen Uebei^ng von F-dur nach D-dnr bewir- ken, als: Hier treten also die Systeme nach einander auf : B d F a G e G und G h D fis A eis E ; das Terz-^a von F geht mithin über in ein Quint-A von D , oder akustisch zusammengestellt finden wir j dass in der Reihe PaCeGhDfisA der Klang A, d. h. die vierte Quint in die Klang- region von a gebracht, zu F die pythagoreische Terz d. h. 64 : 84 er- giebt, während a die moderne Terz mit F bewirkt, d.h. das Verhältniss von 4 : 5. In dem Uebergange vollzieht sich daher eine Färbung im Klange a , welche noch viel feiner ist , als eine enharmonische Färbung, z. B. zwischen eis' und des', es' und dis' etc. , denn zwischen a und A ist nur der Unterschied von 80 : 84 . Moritz Hauptmann hat die Unter- schiede der modernen Tonverhältnisse in seinen Artikeln »Klang« und • Temperatur « in Chrysander's » Jahrbüchern für musikalische Wissen- schaft«, sowie in seiner »Natur der Harmonik und der Metrik« geistvoll auseinandergesetzt, gleichwie wir nicht unterlassen wollen, auf den neuerdings von M.W. Drobisch veröffentlichten Artikel : »Ueber ein zwi- !«hen Altem und Neuem vermittelndes Tonsystem« (Allgem. Musik. Zei- tung Nr. 49 ff. Jahrg. 4 874) hinzuweisen, in welchem die Gleichsetzung der Schwingungsverhältnisse äusserst scharfsinnig behandelt worden ist. Die musikalische Theorie des Claudius Ptolemäus , welche in jeder Beziehung das vollständigste Verstandniss für die Praxis der damaligen Zeit bezeugt und als eine Reinigung, ja wesentHche Verbesserung der oft acooseqaenten älteren Theorie der Aristoxener und Pythagoreer er- XLVI scheint , liegt unbestreitbar dem Werke »Ueber die Musik« des Bootius zu Grunde. Diesem verdanken wir zugleich die Aufzeichnung der sieben Transpositionsscalen des Ptolemäus , welche so oft zu Muthmassungei> und falschen Erklärungen Veranlassung gegeben haben. Das Verständ- niss für dieselben und für die im Ptolemäus befmdUchen Capitel über Tonartenbildungen wird ganz besonders durch die Eutwickelungen des lateinischen Schriftstellers erleichtert, dessen ganze Erziehung seinen Geist frühzeitig auf die philosophischen , mathematischen und daher auch auf die musikalischen Schätze der Griechen hinlenkte. Dies bezeu- gen die Zeitgenossen Cassiodorus, der Kanzler Theodorichs des Grossen, Ennodius, der Bischof von Ticinum (Pavia) , Procopius, ein byzantinischer Geschichtsschreiber , und jener Chronist Anonymus Yalesianus, dessen Bericht in den Ausgaben des Ammianus Marcellinus ^) veröirentlicht ist. Aus den Schriften der Genannten und aus den eigenen Werken unseres Autors kann man mit Wahrscheinlichkeit schliessen, dass Anicius Manlius Severinus Boetius zwischen den Jahren 473 und 485 geboren wurde, wogegen frühere Historiker ohne Grund die Zahl 455 als Bezeichnung des Geburtsjahres aufstellten 2) . Mit Recht glaubt man wohl , dass die einzelnen Namen vom Geschlecht und von der Familie 1) Der angeführte Chronist lebte höchst wahrscheinlich zur Zeit des Boe- tius; die Gebrüder Valois veranslalteten eine Ausgabe des Ammianus Marcel- linus (Lugd. Batav. 4693), welche wiederum durch Grono vi us zum Abdruck beautzt wurde (Lipsiae 4773). 9) Vergl. Baur, die cbristl. Lehre von der Dreieinigkeit; Obbarius in der Ausgabe der Schrift de consol. phil. von Boetius, Jena 4843, pag. IX; Ennod. eucharist. de vita sua in Migne Patrolog. curs. complet. Tom. 63, Paris 4 847, p. 248, wo Boetius als der Jüngere in Bezug auf Ennodius angesehen wird, welch Letzterer 473 geboren ist. Mithin hat Boetius nach 473 das Licht der Welt erblickt. 540 war er Consul, also weniger als 87 Jahre alt. Seine Klagen über vorzeitige graue Haare (De consol. philos. I Metrum I) geben keine An- haltepunkte zur Beurtheilung seines Lebensalters , wohl aber die Angabe, dass seine beiden Söhne in sehr jungen Jahren Consuln gewesen seien [522]. (De consol. phil. II, prosa III, IV; Baur p. 43, not. 43.) Jedenfalls war er daher bei seinem Tode älter als 40 Jahre. In der vita Boetii (De consol. philos. , edrtio Paris. 4695) wird ungeföhr das Jahr 475 als Geburtsjahr angegeben : »Boetius na- tus Romae (Consol. philos. Hb. I, p. 5: Tuae civitatis antiquissimam legem), circa annum Domini quadringentesimum septuagesimum quintum, aequaevus Joanni Summo Pontiiici, Justino imperatori, Fulgentio, Ennodio et Cassiodoro doctoribus ecclesiasticis. « »Ohne Grund« tadelt z. B. Forkel (Gesch. d. Musik) den Cellier (Hist. ^6n<^r. des Auteurs sacr. T. XV, pag. 555), dass dieser 470 als Geburtsjahr anDimmt. XLVII hemihren ^) , ohne stichhalttgea Grund hat man jedoch die Schreibart Boethios angewendet, weil man von der Ansicht ausging, der Name stamme von poY]Oo?, d. h. Helfer. Sowohl in den Manuscrlpten der Schrift »De musica« als auch in den Zeugnissen der Zeitgenossen ist aber stets die Schreibart Boetius gewählt 2) , weshalb man gar keine Veranlassung findet, irgendwelche Veränderung einzuführen; denn auf Grund der Quellen möchte wohl sicher anzunehmen sein, dass Boetius selbst ohne den Buchstaben h seinen Namen geschrieben hat. Möglicher- weise trat hierzu noch der in die Familie eingeführte Name Torquatus und vielleicht auch Flavius hinzu , ohne dass für beide ganz unzweifel- hafte Beweise beigebracht werden könnten. Dem hoch angesehenen und reichen Geschlechte der Anicier entsprossen , Sohn des Anicius Manlius Flavius Boetius , welcher im Jahre 487 die Consul würde bekleidete 3) , Enkel eines angesehenen, 454 als Praefectus praetorii fungirenden Staats- bürgers ^) , hatte er das Unglück , frühzeitig den Vater durch den Tod zu i) De cons. phil. ed. Paris, vila Boetil cap. 2 : »ülautem saepe praenomen nomini, et nomen cognomini olim anteponetatur, sie non raro inverso ordine, Qt nanc, positis nomine et cognomine, praenomen subjiciebatur. Sic ergo au~ ctor noster nomine gentis dicitnr Anicius, quod ex antiquissima nobilissima- qae Anic^orum gente esset prognatus. Sic nomine familiae dicitur Manlius Severinus, quia ex Manliis Severinis ortus erat: sive fuerint duae familiae, quarum alteram, nimirum Manliorum per patrem, alteram videltcet Severino mm per matrem attigerit : sive eadein fuerit familia cognomine altero dicta Severinorum, propter illam severitatem, qua T. Manlius, qui ob detractum Gal- lorom duci a se occiso torquem, inde Torquati cognomen in familiam intu- iit, filium securi caedijussit, quod contra edictum , ductorem Tusculanorum singulari certamine provocantem interfecerit.« 2) Allerdings sagt schon Fabricius »Bibliotheca latina« Tom. 3 pag. 202 : »in veteribus lapidibus et monumentts jam Boethius jam Boetius scriptum inveni- tur, ut notavit Sirmondus ad Ennodium p. 31.« Die Manuscripte haben aber Boe- tius, desgleichen die Zeitgenossen Ennodius epist. 13, Hb. 7, Cassiodor. epist. 45, Hb. 4, derselbe epist. 40, lib. 2, und so auch die Musiker des Mittelalters Au- relianus, Hucbald, Guido etc. — Massgebend ist vor Allem der griechische Text des Procopius, welcher Hist. Gothic, lib. 1 , i schreibt : Su[jLfi.a)^oc %a\ BoItio;, h TOUTou fafjißpöc , e6itaTpi8ai [jtiv xö dv^xa^ev ^otyjv etc. und weiterhin : r^jv i^ I6(A|Aaxöv Te xai Boixio^ dfiocprctoa 6.V.Xatev (Procop. edit. Byzant. Vol. 2, 11, 9 u. 2, 12 fr.). — Peiper's Ausgabe der »Consoiatio philosophiae« enthält fünf kürzere Vitae nach Handschriften, in welchen stets der Name Boetius, nicht Boethius, geschrieben ist; in der letzten wird der Name aus dem Griechischen hergeleitet. 3) Hagenbuch p. 98. 4) Der Grossvater Flavius Boetius wurde im Jahre 454 hingerichtet (Casslo- itorus in chronico ad consulatum Ai^tii et Studii anno Christi 454, Hagenbuch XLVIII verlieren. Der Fürsorge würdiger und durch Lebeiisstellung ausgezeich- neter Männer übergeben, unter welchen man Festus und Symmactius zu verstehen meint , wuchs der Knabe im Studium der griechischen Philo- sophen zu einem der gebildetsten Römer heran und vermählte sich spä- ter mit Rusticiana^) , der Tochter des Symmachus. Die zwar nicht in Athen ^) y sondern durch das Studium der Griechen erworbenen viel- seitigen Kenntnisse und das Geschick in der Yerwerthung seines Wissens^ der edle Charakter und die staatsmännische Klugheit erwarben ihm die Gunst des OstgothenkÖnigs TJieodorich im höchsten Grade, wie aus einem auf Befehl desselben von Cassiodor verfassten Briefe^) an p. 32, 88, 105, Hand in der Encyclop. v. Ersch und Gruber unter Boeth ins Anm. S.28S). 4) Rusticiana, die Gattin des Boetius war die Tochter des Symmachus; denn Procopius Histor. Gothic, lib. 8, 20 sagt: Kai 06/ '^xiora Touartxiotv^, t^ Boedou-^^ fafUTiQ fcvo^fv^, icat5t hz 2u(ii{id[)^ou etc. edit. Byzant. 2, 365. Die Erzählung, dass eine gewisse Elpis, nach Vallinus die Tochter des Festus, seine Gattin gewesen sei , beruht wohl auf Fabeln. Vergl. Hand a. a. 0. Fabricius Btblioth. lat. pag. 203 sagt (in Uebereinstimmung mit alten Ausgaben der Cons. phil.) : MÜxor Elpis Boöthium in exilium comitata est, ut constat ex ejus epi- taphio, quod exstat Romae in porticu S. Petri, affertque Gyraldus Dial. 5. de Poätis. Epitaphium illud etiam hoc loco integram apponere juvat 9z Prae- fatione RenatiVallini, quoniam illud in editione A. 4 674 est ommissum : Helpes dicta fui, Siculae regionis alumna, Quam procul a patria conjugis egit amor : Quo sine moesta dies, nox anxia, flebilis hora. Nee solum caro, sed Spiritus unus erat. Lux mea non clausa est, tali remanente marlto, Majorique animae parte superstes ero. Porticibus sacris jam nunc peregrina quiesco Judicis aeterni testificata thronum. Ne qua manos bustom violet, nisi forte jugalis Haec iterum cupiat jüngere membra suis, Ut thalami tumulique comes nee morte revellar, Et socios vitae nectat uterque clnis.« Mit Rusticiana erzeugte er die beiden so frühzeitig zu Consuln gewählten Söhne Aur. Anicius Symmachus und Anicius Manlius Severinus Boetius. Vergl. De consol. pbil. lib. 2, pros. S : »Duos pariter consules Uberos tuos domo provehi sub frequentia patrum, sab plebis alacritate vidisti«.. . und »viri consulares, quorum jam ut in id aetatis pueris vel patemi vel aviti specimen elucet ingenü«. 2) Man glaubte früher, Boetius habe zu Athen studirt, weil Cassiodor schreibt »Sic enim Atheniensium scholas longo positus introisti«. Cassiodor versteht darunter aber jedenfalls nur die wissenschaftlichen Systeme der Griechen, welche Boetius sich angeeignet hatte. 3) Cassiodori epist. 45, lib. 4: »Boetto viro illustri Pairicio Theodorious 4 XLIX Boetius hervorgeht, in welchem lobpreisend hervorgehoben wird, dass Boetius die Lehrsätze der Griechen zu einer Wissenschaft der Römer gemacht, durch seine üeberselzungen den Musiker Pytha- goras, den Astronomen Ptolemäus, den Arithmetiker Nicomachus, den Geometriekundigen Euclides, den Theologen Plato, den Logi- ker Aristoteles, den Mechaniker Archimedes so deutlich und schon in lateinischer Sprache habe reden lassen , ferner dass er mit der Phy-« sik und Mathematik , mit allen edlen Wissenschaften und Künsten innig vertraut sei und als Autorität betrachtet werden müsse. In Folge seiner Gelehrsamkeit und des Adels seiner Gesinnung erlangte er bereit^ im Jünglingsalter die •vornehmsten Ehrenstellen , unter welchen ganz be- sonders die Gonsulwürde ^) zu seiner Macht im Staate wesentlich beitrug. Diese erwarb er als Patricier bereits im Jahre 54 0, nachdem er schon durch seine Leistungen in den verschiedenen Gebieten der Wissenschaft Aufsehen erregt hatte. Fort und fort wuchs sein Einfluss durch das Ver- trauen , welches ihm der OstgothenkÖnig Theodorich schenkte , unter dessen Herrschaft über Italien sich das Talent des Knaben , Jünglings und reifen Mannes entfaltete. Die Regulirung des Miinzwesens^) wurde ibm übertragen , in der Astronomie und Zeitrechnung erbat man seine Hülfe, wie die an ihn gestellte Bitte des Burgunderkönigs Gundobald um eine Wasser- und Sonnenuhr beweist ^) , auf dem Gebiete der Musik überliess man seinem Urtheil die Wahl von praktischen Tonkünstlern zur Ergötzung der Könige^), und betrachtete ihn mit Rechtals den Erben Bex« worin u. A. geschrieben steht: »Trai\|SlatioDibus enim tuis Pytha- goras musicus , Ptolemaeus astronomus leguntur Italis. Nieomachus arithme- (icus, geometricus Euclides audiuntur Ausoniis. Plato theologus, Aristoteles logicos Quirinali voce disceptant. Mechanicum etiam Archimedem Latialem Siculis reddidisti: et quascumque disciplinas vel artes foecunda Graecia per Mutlos vires edidit, te uno auctore, patrio sermone Roma snscepit, quos tanta verborum luculentia reddidisti claros, tanta linguae proprietate conspicuos, ut potuissent et illi opus tuum praeferre, si utrumque didicissent.« 4) Hagenbußb de diptych. p. S4 ; Hand a. a. 0. 5) Cassiod. epist. var. 4, 10. , 3) Cassiod. ep. var. 4, 45. 4) Cassiod. ep. 40, IIb. 2: »Boetio Patricio Tbeodoricus Rex.« »Cum Rex Franconim, convivii nostri fama pellectus, a nobis cytharoedum magnis preci- biis expetisset, sola ratione complendum esse promisimus, quod te eruditionis musicae peritum esse noveramns. Adjacet enim vobis doctum eligere , qui di- scipltnam ipsam in arduo coUocatam, potuistis attingere. Quid enim illa prae- ^tantias, quae cooli machinam sonora dulcedine modulatur, et naturae conve- oientiam ubique dispersem virtutis suae gratta compreheDdit? . . . Sed quoniam Boetlu. d griechischer Musikwissenschaft , als den bedeutsamsten Theoretiker sei- ner Zeit ; ja selbst in der Mechanik schätzte man die Erfahrungen des Mannes , welcher inmitten einer Zeit religiöser und politischer Streitig- keiten seine schweren Pflichten mit strengster Gewissenhaftigkeit zu erfüllen und nicht selten den aus Parteisucht und Hass fälschlich Ange- klagten Recht zu verschaffen suchte. Auf der Höhe seines Ruhmes sollte der treffliche Mann bald erkennen, wie das Leben nur selten ein dauern- des Glück bietet und wie oft inmitten der glänzendsten Verhältnisse das Un- glücksschwert über dem ruhmgekrönten Haupte schwebt. Je mehr seine Popularität wuchs , je kräftiger er die Armen unterstützte und sich die Liebe des ganzen Volkes sicherte , desto mehr suchten die neidischen^ gewinnsüchtigen Höflinge seinen Charakter zu verkleinern und seine Königstrene zu verdächtigen. Wahrscheinlich hatten die Streitigkeiten der Arianer und der Vertheidiger des katholischen Glaubens wenig oder gar keinen Einfluss auf seinen Sturz ^) , obgleich es nahe lag , aus den Zeit-, umständen eine solche Folgerung zu ziehen. Der arianische König Theo- dorich gerieth nämlich trotz seiner geschickten Politik und tactvollen Haltung gegenüber dem griechischen Kaiserthum mit letzterem in einen Streit , als der griechische Kaiser Justinus die Kirchengemeinschaft mit Rom herstellte und dann ein Edict gegen die Arianer eriiess , nach wel- chem diese ihrer Kirchen beraubt , zu Staatsämtern nicht mehr zugelas- sen und mit Gewaltmassregeln zur Anerkennung des Katholicismns ge- trieben wurden. Theodorich verlangte Zurücknahme des kaiserlichen Erlasses und drohte vergebens mit Gegenmassnahmen. Die Sendung des römischen Bischofs Johannes L nach Constantinopel , wo dieser die Aufhebung der Verordnungen Justin's auswirken sollte , blieb ohne Er- folg y sie führte vielmehr zur Verhaftung dieses Gesandten , weil man nobis facta est voluptuosa digressio (quia seroper gratom est de doctrina collo- qui cum peritis) cytharoedum» quem a nobis dixinius postalatum, sapieniia ve^ stra eligat praeseiHi tempore meliorem ; facturus aliqäid Orphei , cum dttlci soDo gentilium fera corda domuerit. Et quantae nobis gratiae fuerint aclae, tan- tae vobis ex nostra aequabili compensatione refdrentnr, qui et imperio nostro paretis, et, quod vos clarificare possit, efßcitis.« 1) Hand a.a.O. gebt zu weit, wenn er demBoetius das Christenthum voll- ständig abspricht; erwiesen ist allerdings nicht, dass Boctius Christ war, weil sein eigentliches Gtaubensbekenntniss ans den philosophischen Schriften nicht klar ersehen werden kann. Aber anch Cassiodor und andere christliche Zeit- genossen legten das Hauptgewicht auf humanistische Studien , so wahrschein- lich auch Boetius ; denn das Geschlecht der Anicier hatte längst vor ihm das Christenthum angenommen. LI ihn der Gonspiration gegen Theodorich und des Einverständnisses mit dem griechischen Kaiser beschuldigte. Sein Tod im Gefängniss 526 war die Folge der unfruchtbaren Gesandtschaft. Aufgeregt durch jene widri- gen Verhältnisse , misstrauisch gegen seine Umgebung» bewahrte sich Theodorich nicht mehr den freien Blick, die vorurtheilslose Anschauung aus seinen früheren Jahren, und in leicht erklärbarer Ueberreizung wandte sich auch sein Herz von Boetius ab , der ihm so treu mit Hath and That zur Seite stand. Der römische Senator Albinus, vielleicht derselbe , welchen unser Autor in seiner Schrift »De musica« citirt , war des Hochverrathes angeklagt , — Boetius übernahm die Yertheidigung zu Verona , wo er auch den Senat vor ungerechten Anschuldigungen durch freimüthige Rede schützte. Von diesem aber mit Undank belohnt und bei Theodorich angeschwärzt, musste er den Verdächtigungen sei- uer Ankläger BasUius , Opilio und Gaudentius unterliegen. Sein Sehnen und Hoffen nach Wiederherstellung römischer Freiheit ging mit ihm unter. £r wurde , des heimlichen Einverständnisses mit Justin und des iiochverraths angeklagt, im Jahre 525 oder schon 524 hingerichtet, nachdem er zu Pavia im Kerker geschmachtet und während seiner Ge- fangenschaft das Werk vom »Tröste der Philosophie « verfasst hatte ^) . Von seinen zahlreichen Werken^) beschäftigt uns hier allein die Schrift I ) Ueber die muthmasslichen Anklagegründe und über die erzählten FabeUi vert;!. Hand a. a. 0. und Schröckh, Kirchengesch. Band 16. «] Die Schriften, welche unter dem Namen des Boetius existiren, sind: < Deconsolationephilosophiae, libri V. 2) De unitate et uno. 3) De arithmetica, libri H. 4) De musica, libri V. 5) Euclidis Megarensis geometriae libri II, ab An. Maol. Sev. Boetio translati. 6) Dialogi II in Porphyriüm a Victorino translatum. 7; Boetii commentarionim in Porphyriüm a se translatum libri V. 8) In catego- rias Anstotelis, libri IV. 9) In iibrum de interpretatione : editionis primae libri U; edütonis secundae libri VI. 40) Interpretationis priorum analyticorum Ari- stotells libri II. 44) Interpretationis posteriorum analyticorum Aristotelis libri II. 12) Introductioadsyllogismoscategoricos. 18) De syllogismo categorico, libri II. U) De syllogismo hypothetico, libri II. 45) Liber de divisione. 16) Liber de defintlione. 47) Interpretationis topicorum Aristotelis libri VIII. 48) Interpreta- tionis elenchorum sophisticomm Anstotelis libri IL 19) Commentariorum in toptca Ciceronis libri VI. 20) De differentiis topicis libri IV. 21) De rbetoricae cogjiatione. 22) Locorum rhetoricorum distinctio. 23) De discipUna schola- rium« 24) De unitate trinitatis. 25) Utrum pater et filius ac Spiritus sanctus de diviaitate substantialiter praedicentur. 26) Quomodo substantiae bonae sint. 17) Brevis ßdei christiaaae complexio. 28) Liber de persona et duabus naturis. Besonders die Aechtheit der theologischen Schriften ist stark in Zweifel gezo- gen worden. Der neueste Herausgeber des Werkes »De consolatione philoso- phiae«, welches bei Teubner unter dem Titel erschien : »Anicii Manlii Severini d* LH Über die Musik, welche in fünf Büchern abgefasst in vielen Manuscriplen vorhanden ist. Zu der von GodofredusFriedlein besorgten neuesten Ausgabe (Leipzig, bei Teubner, 1867) sind hauptsächlich die Münchner Handschriften, ein Bamberger Codex , der Codex Cantabrigiensis (Cam- bridge) und das aus Pariser Handschriften gezogene Beeret der Lacedä- monier (s. Seite 4) benutzt vsrorden. Dem genannten Herausgeber müssen wir gewiss sehr dankbar sein , dass er das Werk »De musica« nebst der Arithmetik und Geometrie des Boetius einem grösseren Leserkreise zu- gänglich machte und zum Theil auch einige correctere Lesarten aus den Handschriften anführte, als sie im Glarean zu finden sind. Hofl'entlich wird es mir bei meiner lateinischen Ausgabe der erwähnten Schrift ge- lingen, den Beweis vollständig zu führen , dass mir noch ein bei Weitem besserer Handschriitenapparat zu Gebote stand , als ihn die früheren Herausgeber aufzuweisen hatten. Die in Paris bei J. P. Migne erschienene Edition (1860) ist nur ein Abdruck der Ausgabe Glarean's (Basileac 1570, fol., SSBlätter von der Seite 1371 angefangen) , welcher die Baseler Ausgabe V. 1 546 voranging (Basileaeex ofiic. Henricpetriana 1 54 6, fol., 55 Blätter von der Seite 1063 angefangen, mit den Demonstrationibus Gla- rean's) . Ebenso sind die fünf Bücher über Musik des Boetius in zwei Ausga- ben enthalten , welche zu Venedig in den Jahren 1 492 u. 1 499 erschienen (l. Boetnopera. Venetiis, Joan. et Greg, de Gregoriis 1492. XVHI. Aug. fol. mit gothischer Schrift. 2. Boetii opera. ibidem 1499. XVHI. Jul. fol. ebenfalls mit gothischer Schrift), üeber die mir genau bekannten Boetii Philosophiae Consolationis Hbri quinque. Acoedunt ejusdem atquo in- certorum opuscula sacra. Recensuit RudolphusPeiper. Lipsiae in aedibus B. G. Teubneri MDCCCLXXl.« (LXVH und 245 S. in S«») glaubt in den theolo- gischen Schriften des Boetius den Verfasser der »Consolatio philosophtae« zu erkennen und ist geneigt, dieselben für jugendliche Versuche des Autors za halten, der späler von derartigen theologischen Studien , zu denen er keinen inneren Beruf In sich gefühlt, sich ganz der Philosophie zugewendet habe. Bekenntlich vertheidigt der italienische Gelehrte Giovanni Bosisio (»SuU' auten- ticitä delje opere teologiche de Anicio M. T. S. Boezioa. Pavia 1S69 in 40) die Aechtheit der theologischen Schriften mit grossem Eifer. Ausser den genannten haben wir Kenntniss von anderen Werken, welche Boetius verfasst haben soll , die uns aber nicht überiiefert sind , nämlich : 1) Commentaria in Aristotelis topica (nach de dififer. top. lib. H), 2) nach Cas- siodor Uebersetzungen aus griechischen Schriftstellern (Ptolemäus , Archimc- des, Nicomachus, Pythagoras d. h. Schule des Pythagoras, Plato), 3) mögli- cherweise die Hebdomades (nach Quomodo substantiae bonae sunt), 4) viel- leicht auch De praedicatione potestatis et possibilitatis und Epistolarum Über I nach Tritheroius). LIII Handschriften, unter welche auch die Münchner und die Pariser gehören, werde ich in meiner lateinischen Ausgabe sprechen, wo ich zugleich die bis jetzt vorhandenen Ausgaben zu würdigen gedenke. Letztere sind wenig- stens alle von der Art , dass dem Kundigen der Sinn des Inhalts bis auf die schlecht hergestellten Tabellen und Notenfiguren nicht verborgen bleiben konnte ; und dennoch haben alle Historiker bis auf die neueste Zeit das Werk für ein ungemein schwer verstandliches erkrärt , welches oft in einem nicht aufzuhellenden mystischen Dunkel gehalten sei. Eine Uebersetzung und sachliche Erklärung war somit das erste Erforderniss, weil aus derselben allein das VerstSndniss für die Sache her- vorgeht ; denn häufig werden Ausgaben auf Grund guter Handschriften und mit anerkennenswerther sorgsamer Vergleichung der verschiedenen Lesarten veranstaltet, ohne dass der Herausgeber immer die genaue Ein- sicht in den Gegenstand besitzt; sehr oft begnügt er sich nur mit sprachlichen Gründen und wählt für den Text aus dem Handschriflen- apparat oder aus den verschiedenen Ausgaben die Lesart, welche ihm als die grammatikalisch bessere erscheint. Ein Werk aber , dessen Inhalt die Historiker ganz besonders interessirte, weil sie die hohe Wichtigkeit desselben zur Erkenntniss mittelalterlicher Theorien wohl bemerkten, welches auch in der Ursprache mehrfach erschienen und dennoch als ein in derselben unverständliches hingestellt worden ist, musste zunächst in der deutschen Sprache auf Grund eines correcten Textes zugänglich werden, damit auch die Fachmusiker und diejenigen Männer der Wissen- schaft, deren Beruf das philologisch-musikalische Specialstudium ver- hindert, auf leichtere Weise , als durch mühsame Forschungen, einen Einblick in die akustisch-musikalischen Lehrsätze des Autors gewinnen können, welcher von den Theoretikern des Mittelalters immer mit höch- ster Verehrung genannt und als oberste Autorität angeführt wurde. Diese erste Uebertragung in die deutsche Sprache , für welche ich keine von einem Anderen herrührende Vorarbeit finden konnte, durfte ich aber nicht unternehmen , ohne das Lehrgebäude der griechi- schen Musik in genaue Erwägung zu ziehen ; denn Boetius selbst erscheint als musikalischer Schriftsteller nicht In productiver Kraft, sondern als ein Sammler und sorgfältiger Beurtheiler des vorhandenen Materials, welches er aus den griechischen Quellen mit emsiger Sichtung des Stoffes zog. um so wichtiger ist daher die Schrift , weil sie nicht allein den musikalischen Ausdruck ihrer Zeit repräsentirt , sondern auch zugleich die EntWickelungen der Vorgänger in logischem Zusammenhange der Nachwelt vermittelt, — ja kein anderes Werk über die griechische Musik- UV Wissenschaft gewährt einen so umfassenden Einblick in die verschiede- nen Methoden akustischer Forschung und Berechnung der Aristoxeuer und Pythagoreer. — Obwohl nun Boetius ganz besonders die Analysen des griechischen Schriftstellers Claudius Ptolemäus zu Grunde legt, auch die Systeme desselben aufnimmt und den von diesem zusammengetragenen Stoff in lateinischer Sprache reproducirt, erscheint dennoch die Art und Weise der Darlegung von Seiten des lateinischen Autors praktischer, ein» gUnglicher und deshalb , ganz abgesehen von dem im Mittelalter herr- schenden sprachlichen Ausdruck , den Nachfolgern werthvoUer , als die vor Boetius geschriebenen Abhandlungen über dieselben Gegenstände. Um nun aber einen genauen Quellenvergleich herzustellen, unternahm ich zugleich für die sachlichen Erklärungen die vollständige Uebersetzung der »harmonischen Einleitung« (Eha'^wn['i^ appovixr)) des Euclid (siehe Seite 230) auf Grund des in der Sammlung Meibom^s abgedruck- ten griechischen Textes, weil in dieser Schrift die Ansichten des Aristoxe- nus in übersichtiicbster und klarster Form hervortreten , und auch die Uebersetzung (mit beigeg^enem griechischen Text nach Wallis) der be- reits erwähnten sieben Gapitel (Gap. 5 bis Gap. H) aus der Harmonik des Claudius Ptolemäus. Jene Abhandlung des Euclid ist , so viel mir bekannt , ebenfalls noch niemals in die deutsche Sprache übertra- gen worden, und von den in gleicher Weise bisher nicht übersetzten Capiteln des Ptolemäus urtheilten Bellermann und Westphal, dass sie sehr schwer verständlich seien. Durch diese Uebersetzungen glaubte ich unumstössliche Belege für meine Auffassung der griechischen Har- monik zu gewinnen , in welche meiner Ansicht nach so viel Modernes hineingetragen worden ist , und deren Vorführung besonders in Bezug auf die Lehrsätze des Ptolemäus mir noch so lückenhaft erschien, dass ich dem Drange, einen ergänzenden Versuch zu wagen, nicht widerstehen konnte , nachdem ich zur Erkenntniss gekommen war , welch wichtige Stellung Boetius inmitten der historischen Entwickelung einnimmt. Er kannte die Meinungen des Plato und Aristoteles, des Archytas, Euclid, Nicomachus, Eubulides, Hippasus, Didymus, Aristoxenus, Claudius Pto- lemäus u. A., welche er in seinem Werke oft in erschöpfender Weise wiedergiebt. Leider scheint es ihm nicht vergönnt gewesen zu sein, das Werk zu vollenden, wie man aus der unterlassenen Ausführung der Ein- theilungen in Färbungen der Klanggeschlechter nach Claudius Ptolemäus schliessen mÖclite , zumal einige Manuscripte die Capitel-Ueberschriften zu den scheinbar beabsichtigten Divisionen enthalten. Deshalb entwarf ich zur Ergänzung erklärende Tabellen der Färbungen , welche sich genau LV an den griechischen Text anschliessen und die Beobachtungen des Ptole- mäus hmsiclHlich des Kitharspiels bezeugen. So dürfte also in meiner Abhandlung kein wesenthcher Punkt aus der Harmonik der Griechen feh- len, deren Fortpflanzung auf das Mittelalter dem Anicius ManliusSe- verinus Boetius zu danken ist. Wie er selbst zu seinerzeit als musi- kalische Autorität galt, bezeugt vor Allen der obenerwähnte Zettgenosse Cassiodor in den angeführten Stellen aus den Briefen Theodorich*s ; durch Cassiodor ist auch unwiderleglich bewiesen, dass die Schrift »De musica« von Boetius selbst herrührt, weil Cassiodor mit Bestimmtheit auf die Arithmetik desselben hinweist ^) und diese Schrift noch dadurch charakterisirt , dass sie eine lateinische Üebertragung der Arithme- tik des Nieomachus sei. Da nun Boetius selbst in den fünf Büchern über Musik häußg seine Arithmetik citirt und sich vielfach auf die Bnt- wickelungen des Nieomachus stützt, so unterliegt es gar keinem Zweifel, dass die in den meisten Punkten übereinstimmenden Manuscripte indi- recte Abschriften von einem Werke sind, welches Äoetius wahrscheinlich unmittelbar nacli der Arithmetik verfasste. Den mächtigen Einfluss seiner EntWickelungen auf die vornehmsten Lehrer des Mittelalters finden wir z. B. in den Schriften des Aurelianus Reomensis^) (9. Jahrhundert), Remigios Altisiodorensis ^y (9. Jahrhundert), des Hucbald^) (10. Jahr- i) Cassiodor pag, 555 edit. Venet 4 729: »Aritbipetica disciplina, quam apud Graecos Nieomachus exposuit. Hunc primum Madaurensis Apulcjus, deinde magnificus vir Boetius Latino sermone translatum, Homanis contu- tit lectitandum.« 2) Gerbert, scriptor. eccles. Tom. I, pag. S2: »A Bo^tio quoqoe viro eru*' dilissimo et aliis qaibusdam praecipoe aucta est« (ars musica). 3) Gerbert, scriptor. eccles. Tom. 1, pag. 77: »Singulae enim chordae habent suas notulas, sicut habetur in Boetio«. 4) Hucbaldi Monachi Ein. opuscula bei Gerbert, scriptor. eccles. Tom. T, pag. 108: »De quarum mentione vel ordine, seu vocabulis singularum, cum caeteri perplures ejusdem disciplinae scriptores tarn graecl quam latini , tum praecipue Doctor mirabilis, omnium prudentissimus artium liberalium perquisitor Boetius in primo suae institutionis Armonicae libro sufficienter edisserit«; pag. 110 : »Haec enim dis- iribtttio secundum Viri disertissimi Boätii dispositionem, qui commen- tmrabili concordia numerorum liacc omnia diligenti examinat ratione, est in- stitttta« ; pag. 111: »positionem Boätius a sammis vocibos ordiens« ; pag. 114: «Sic enim a Viro clarissimo Boetio rata eorum contexitur modulatio« ; pag. 117: »de quarum (chordarum) inventione vel adjectione plenius nosse voleniom primas harmoniere disciplinae Über Boetii diligentius instruere pote- nt«; pag. 118: (notae chordarum) »quae a Boetio per singulos octo modos binae singuUs cbordis apposttae tn CCI.XXXVIII tenduntur« ; von pag. 125—152 LVI huDdert) , dessen ganze Theorie sich in ihren Grundzügen auf die des Boetius stützt, bestätigt. Ferner ersehen wir denselben aus den Abhandlungen des Regino Prumiensis ^) , Oddo , welcher Auszüge giebt, Adelboldus, dessen Excerpte dem Wortlaute nach mit Boetius über- einstimmen, und anderer Musiker aus dem 9., 4 0. und \ \ . Jahrhundert. Auch Guido Aretinus , der nach Hucbald so berühmte Theoretiker und Lehrer im Mittelalter , führt den Boetius als Zeugen ^) und als Autorität an, um die eigenen Grundsätze zu befestigen, gleichwie fast alle musika- lischen Schriftsteller von Guido bis zu Glarean , Zariino und Calvisius (16. Jahrhundert) die Musikwissenschaft jenes römischen Gonsuls zur Unterlage für ihre Folgerungen benutzten. Der bedeutungsvolle, geist- reiche und in der Darstellung unübertrofiene Historiker Dr. A. W. Am- bros hat in seiner, bei F. E. G. Leuckart (Constantin Sander) erschie- nenen, so verdienstvollen Geschichte der Musik ebenfalls ausgesprochen, dass Boetius von mächtigem Einfluss auf das Mittelalter gewesen sei, weshalb wohl auf Grund aller der auch aus neuester Zeit herrübrenden Zeugnisse mein Unternehmen genügende Rechtfertigung findet. Möchte die mit wahrer Liebe zur Sache ausgeführte deutsche Ueber- tragung und die beigefügte Erklärung der griechischen Harmonik zum Ver- ständniss der antiken Tonsysteme beitragen , möchte diese aus redlichem Streben hervorgegangene That nicht ganz hinter dem guten Willen zu- rückgeblieben sein. Mit dem grÖssten Danke werde ich stets Berichti- gungen , motivirte Correcturen Berufener entgegennehmen ; gern und mit Freuden werde ich aber auch gegen Widersacher meine Principieii und Auseinandersetzungen vertheidigen. mehrfache Citate und Auszüge aus »De musica« von Boetius ; pag. 467 fT. wie- derum Auszüge u. 8. a. Orten. i) Gerbert, scriptor. Tom. I. pag. 234: »Haec secundum Boelium«; pag. 246 : die ganze Definition über die Bedeutung eines »Musicus« nach Boetius. 2) Gerbert, scriptor. eccles. Tom. U, pag. 6: »Gumque tarn paucisclausulis, teste Boetio« etc. u. a. a. Orten. BUCH I. VORREDE. I. Die Musik ist von üfatnr aus mit uns verbiinden und vennag die Sitten 8OW0I1I zu veredeln, als anch zn verderben. Das Auffassungsvermögen aller Sinne ist bei gewissen lebenden Wesen von selbst und von Natur aus vorhanden , so dass ohne diese Sinne ein lebendes Wesen nicht gedacht werden kann. Die Erkenntniss und die sichere Auffassungskraft derselben wird aber nicht auf gleiche Weise durch Forschung des Geistes erworben. Nun hat man erkannt, dass wir Menschen den Sinn bei Aufnahme von sinnlichen Dingen zur Anwendung bringen. Welche Natur aber den Sinnen selbst, denen ge- niäss wir handeln, und welche Eigenthümlichkeit den sinnlichen Dingen zukommt , liegt nicht gleich so zur Hand und Keinem kann es ganz klar sein, wenn ihn nicht eine umfangreiche und tiefe Erforschung der Wahr- heit bei seiner Betrachtung geleitet hat. Alle Menschen sind mit Sehkraft begabt. Ob diese nun durch Figuren, welche zu Gesicht kommen, oder durch Strahlen, welche auf die Sinneswerkzeuge gerichtet sind, hervor- gebracht wird : darüber sind die Gelehrten im Zweifel , die Laien be- rührt dieser Zweifel nicht. Femer : wenn Jemand einen Triangel oder ein Quadrat erblickt , so erkennt er wohl ganz leicht , was ihm seine Augen zeigen , die Eigenschaften eines Triangels oder eines Quadrates iDuss er aber noth wendigerweise von einem Mathematiker erlernen. Ganz ebenso steht es mit den übrigen Sinnen und ganz besonders auch mit dem Gehör, welches die Kraft besitzt, die Töne so aufzunehmen, dass es nicht nur über die Töne selbst ein UrtheU erhält und ihre Differenzen erkennt, sondern dass es auch öfter ergötzt wird, wenn es liebliche und schön geordnete Weisen veminmit , dai^ es aber ver- letzt wird, wenn ungeordnete und unzusanmienhängende den Sinn Boetiu. 4 quSlen. Daher Lommt es deua, dass von den vier Disciptinen der Be- rechnungskunde die übrigea auf Erforschung der Wahrheit hiDarbeiten, die Husik aber nicht dut mit dem Verstände , sondern auch mit dem Herzen verbunden ist. Denn es ist ganz besonders die Eigenschaft der menschlichen Natur, durch weiche Tonweisen beruhigt, durch enlgegen- gesetzte erregt zu werden, und dies liegt nicht nur bei einzelnen lodi- viduen in ihrem Studium oder Lebensalter, sondern es ist über alle Studien verbreitet. Kinder, Jünglinge, sowie auch Greiae werden so durch einen gewissen freien, natüilichen Affect von den Weisen der Musik ergriffen , dass es überhaupt kein Aller giebt, welches der Er- götzlichkeit einer süssen Melodie sich entziehen kann. Hieraus kann auch erkannt werden, was nicht unrichtig von Plato gesagt worden ist, dass die Weltseele aus einer musikalischen Harmome bestehe. Wenn wir nSmlich mit dem, was in uns verbunden und angemessen geordnet ist, das vei^leichen, was in den Tönen schon und geschmackvoll ver- bunden ist und wodurch wir ei^tzt werd«i, so erkenne wir, dass wir selbst auch mit eben dieser Aehnlictikeit gewissenaassen einen Ver- trag geschlossen haben. Denn Aeholtchkeit ist si(^ freund, UnXhalicl)- keit aber ist sich verhasst und feindlich. Hieraus wgeben sich auch am besten die Abweichungen des Charakters. Ein zügelloser Sinn n&mlicli ei^ötzt sich entweder s^st an üppigen Melodien, oder er wird, wenn er dieselben oft hört, schnell verweichlicht uod verdorben. Hingegen frent sich entweder ein härterer Sinn über aufgeregtere Weisen oder er wird selbst hart durch dieselben Weisen. Daher sind nun aucb die musikalischen Tonreihen (Hedi) mit einem Völkemamen bezeichnet worden, z. B. der Modus Lydius und der Modos Phrygius. Dean der Modus, über welchen sich ^eichsam irgend -ein Volk freut, wird mit dessen Namen selbst genannt, da sich das Volk an den Weisen wegeu der Aehnlichkeit mit den SUten ei^ötzt. Es ist ja auch unmöglich, daas sich das Zarte mit dem Rauhen, das Hauhe mit dem Zarten verbinde und das Eine über das Andere Freude oder Wohlgefallen empfinde ; sondeni es verbindet, wie gesagt, die Aehc^ichkeäi Liebe und Freude. Daher glaubt auch Plato, dass man sich am meisten vor Veränderungen in einer recht würdigen Husik zu hüten habe. Und ferner sagt er auch, dass im Staate nichts den Sitten so sehr schade, als wenn er sich oacli uni nadi von einer züchtigen und ättsamen Musik abwende. Denn es würden auch so^ich die Gemüther der Hörer darunter leiden, nach und nach schlechter werden und keine ^ur des Erhabenen und rechten Maasses festhalten , wenn durch lockere Weisen etwas Ungeziemende^ oder durch rauhere etwas Wildes und Unbändiges die Gemüther berällt. \>er Belehrung ist ja kein Weg mehr zum Herzen geöflhet , als der ver- laitteist der Ohren. Wenn also durch diese die Rhythmen und Weisen bis zum Herzen herabgestiegen sind, so kann man nicht bezweifeln, dass »e, ebenso wie sie selbst sind , deo Sinn lenken und bilden. Das aber hon sogar bei einzelnen Völkern erkannt werden. Z. B. gehören die Geten za den rauheren Völkern, diese werden auch durch härtere Ton- vBiseo eiigötzt. Die Völker aber von sanflen^ Charakter erfreuen sieh an gemässigiea Weisea, obscbon dies in dieser Zeit fast nii^ends stattfindet. Das Volk nun , welches in Sitten locker und wdchlich ist , das ist ganz oiid gar eingenommen von den Tonweisea, welche auf der Bühne und io den Theatern gesungen werden. Es war aber die Musik züchtig und iQSpmchslos , so lange sie mit einfachen Instrumenten ausgeübt wurde. Als man sie jedoch versdiiedenartig und vermiacbt behandelte , verlor sie den Charakter der Würde und Ehrbarkeit , und beinahe in Zügel- ioagiceit verfetlen, ist sie aus der alten ehrbaren Form ganz herausgetreten. Daher giebt auch Flato die Lehre , dass (iie Knaben durchaus nicht in lilen Weisen zu unterrichten seien , sondern nur in den kräftigen und dniachen. Hierbei muss noch ganz besonders erwähnt werden, dass, wenn nämlich in einer Melodie irgend etwas verändert wird, auch wenn <He$ in den kleinsten Abänderungen besteht, das Neue zwar augenhlick* lieh nicht so gefühlt und erkauE^ werden möchte, in der Folge aber einen grossen Untersdiied hervorbringt und vermittelst der Ohren bis zum Herzen dringt. Deswegen, meint Plato, müsse der Staat eine grosse Auf- merksamkeit darauf verwenden, dass die Musik der strengen Sitte und Zucht entspreche und deshalb in der würdigsten Weise componirt werde, sodass sie züchtig, einfach und männlich, nicht aber weibisch, wild und uns tat sei. Dies haben auch die Lacedämonier mit der grossten Mühe aufrecht zu erhalten gesucht^ so lange bei ihnen der €re- ter Thaietas aus Gortyna, nn\ eine grosse Summe gewonnen, die Knaben in der MusUc unterrichtete. Es gehörte dies nämlich bei den Allen zur guten Sitte, welche sich lange Zeit erhielt. Als aber unter amen Timotheus aus Milet zu den Saiten, welche er vorher gefunden hatte, noch eine Saite hinzufügte und so eine mannigfaltigere Musik in's Leben rief^ verbannte man ihn aus Lacedämon und verhängte über ihn aoen Senatsbeschluss. WeU dies nun in der Sprache der Lacedämonier bemerkenswerth ist , dass sie den Buchstaben S in R verwandeln , so habe ich eben diesen über jenen verhängten Senatsbeschluss, wie er in der griechischen Sprache lautet, hinzugefügt : 4* EnEIAH TIMOOEOP O MIAHCIOP nAPAri- NOMENOP EN TAN AMETE P AN nOAlN TAM HAAAIAN MU)AN ATIMACAE KAI TAN AIA TAN EÜTA XOPAAN KI0API3IN AÜOCT P E<t>0- MENOP nOAY<t>lüNIAN EICATlüN AYMAINE- TAI TAP AKOAP TtUN NEUJN AIA TE TAP nOAYXOPAlAP KAI TAP KENOTATOP TU) MEAEOP ATENNH KAI ÜOIKIAAN ANTI AÜAOAP KAI TETATMENAP AM<|)IENNYTAI TAN MUJAN Eni XPUJMATOP CYNEICTAME- NO P TAN TtU MEAEOP AI ACKEY AN ANTI TAP ENAPMONIUI nOT TAN ANTICTPO0ON AMOI- BAN nAPAKAHOEIC AE KAI EN TON APUUNA TAP EAEYCINIAP AAMATPOP AÜPEnH AIE- CKEYACATO TAN TU) MY0U) AI ACKEY AN TAN TAPCEMEAAP OAYNAP OYK ENAIKA TU) P NEUJP AIAAKKH AEAOX0AI <|)AnEPI TOYTOIN TU)P BACIAEAP KAI TU)P E<t>OPU)P MEM^AT- TAI TIMO0EON EnANATKASAI AE KAI TAN ENAEKA XOPAAN EKTAMONTAP TAP ÜE- PITTAP YnOAinOMENU)P TAP EHTA OnU) P EKACTOP TO TAP nOAlOP BAPOP OPUiN EYAABHTAI EN TAN CHAPTAN Eni<t>EPEN Tl TU)N MH KAAU)N EONTUJN MH TTOTE TAPAP- PETAI KAEOP ArUJNU)N« Dieser Senatsbeschluss enthält nämlich Folgendes : »Die Spartaner geriethen über Timotheus aus Milet deswegen in Zorn, weil er durch seine Erfindung der mannigfaltigen Musik dem guten Sinne der zur Erzie- hung angenommenen Knaben Eintrag thue und ihrer Tugend und Sitt- lichkeit hinderlich sei , und weil er die Harmonie , welche ihm als eine bescheidene überUefert war, in das weichere chromatische Klangge- schlecht verwandelte.« So gross war also bei ihnen die Liebe und die Sorgfalt für die Musik, dass sie sogar der Meinung waren, dieselbe fessele auch die Herzen und nähme sie ganz gefangen. Es ist ja auch bekannt, wie oft eine Cantilene den Jähzorn zurückgedrängt und wie viel Bewun- derungswürdiges sie in körperlichen und geistigen Zuständen bewirkt hat. Denn wer sollte nicht wissen, dass Pythagoras einem trunkenen Jüngling aus Tauromenium, welcher durch einen Ton der Phrygischen Tonweise in Raserei versetzt worden war , durch das Vorsingen eines SpoQdeas die Gemüthsruhe und Selbstbeherrschung wiedergab? Ein Nebeobuhler jenes Jünglings nämlich hatte die Geliebte im Hause einge- schlossen, wodurch dieser Jüngling so in Wuth gerieth, dass er das Haus verbrennen, wollte. Zu derselben Zeit in der Nacht beobachtete Pytha- goras nach gewohnter Sitte den Lauf der Sterne und bemerkte nun, wie dieser Jungling durch einen Ton der Phrygischen Tonweise so in Raserei versetzt worden sei , dass er sich trotz der vielföltigsten Ermahnungen seiner Freunde nicht vom Verbrechen abbringen lassen wollte. Pytha- {>oras gab daher den Rath, die Tonweise zu verändern, wodurch er das Gemüth des rasenden Jünglings auf die friedlichste Art in die voll- ständigste Ruhe und Mässigung versetzte. Das Nämliche erwähnt MarcusTulliusin seinem Buche »de con- jflliisa zwar mit andern Worten, aber doch in ähnlicher Weise. »Um aber das Kleinste mit dem GrÖssten, durch eine Aehnlichkeit darauf gebracht, zu vergleichen, so wUl ich erzählen, wie z. B. Pythagoras, als wein- trunkene Jünglinge, durch Flötenspiel angestachelt, die Thür, welche in das Haus eines züchtigen Weibes führte , zerbrechen wollten , den Flö- tenspieler ermahnt haben soll, einen Spondeus zu blasen. Als es dieser ooD in langsamem Tempo und mit der Würde eines Yorspielers gethan habe, so sei die rasende Ausgelassenheit jener Jünglinge vollständig zur Rnhe gebracht worden.« Aber um in Kürze noch einige ähnliche Bei- spiele anzuführen : so heUten Terpander und A r i o n aus Methymna mit Hülfe des Gesanges die Lesbier und lonier von den schwersten Krank- heiten , und Ismeniasaus Theben soll mehrere Boeotier, welche die Qualen eines Hüftschmerzes erduldeten, durch Tonweisen von allen Beschwerden befreit haben. Aber auch Empedocles soll, als Jemand den Gastfreund desselben wüthend mit dem Schwerte angriff, weil dieser als Ankläger seinem Vater eine YerurtheUung zugezogen hatte, einen Gesang angestimmt und so den Zorn des Jünglings zur Ruhe gebracht haben. Auch unter den alten Phüosophen war die Macht der Musik so bekannt , dass die Pythagoreer , wenn sie sich von den täglichen Sollen im Schlununer erholen wollten , gewisse Gesänge in Anwendung brach- ten, damit sie ein sanfter und ruhiger Schlaf befalle. Wenn sie dann am Norgen wieder erwachten, so rissen sie sich aus ihrer Schlaftrunkenheit durch andere Tonweisen heraus. Jedenfalls wussten sie auch^ dass die ^nze Verbindung unserer Seele und des Körpers in einer musikalischen Harmonie bestehe. Denn wie die Bewegung des Körpers ist, so werden auch die Schläge des Herzens durch die Bewegungen erregt. Dies nämlich M>ll Democritus dem Arzte Hippocrates erzählt haben, als dieser den f 6 Demöcritus, der von allen seinen Mitbürgern für wahnsinnig gehalten wurde, im Geföngniss der Heilung wegen besuchte. Aber wozu soll das Jiier*? Weil es nicht bezweifelt werden kann , dass unser geistiger und körperlicher Zustand gewissennassen nach denselben Proportionen za- sammengesetzt zu sein scheint, nach welchen , wie die spXtere Abhand- lung zeigen wird, die harmonischen Modulationen verbunden und ver- knüpft werden. Denn daher kommt es, dass sogar die Kinder an einer süssen Melodie Gefallen finden, etwas Rauhes aber und Unliebliehes dem Hörer alle Lust und Freude benimmt. Sicherlich zeigt sich diese Er- scheinung bei jedem Alter und bei jedem Geschlecht. In ihren Hand- lungen unterscheiden sich allerdings die verschiedenen Alter und Ge- schlechter ; in der Liebe zur Musik sind sie aber allesammt verbunden. Woher kommt es denn , dass Trauernde unter Weinen sogar Trauerge- sUnge anstimmen? Dies gerade liegt ganz besonders im Charakter des Weibes , dass mit dem Gesänge selbst der tiefe Schmerz in sanfte Weh- muth übergeht. So war es auch Sitte bei den Alten , dass Flötenspiel den Trauergesängen vorausging. Zeuge dafür ist Papinius Statius in folgendem Verse : »Bei dem Schalle des dröhnenden Horns and der lieblichen Flöte pflegt man in Liebe die Todten zur ewigen Kuh zu bestatten.« So singt auch der, welcher eigentlich nicht singen kann, ii^nd ein Stückchen, nicht , weü ihm das , wa^ er singt , irgend welches sinnliche Vergnügen verschafft, sondern weil man Gefallen daran findet, eine gewisse Herzensfreudigkeit, auf welche Weise dies auch geschehen möge, dem Gemüthe zu entlocken. Ist es denn nicht allbekannt, dass der Muth der Kämpfer durch das Schmettern der Trompeten zum Kriege entflammt wird ? Auch ist es gewiss, dass ein Jeder aus voHstündiger Gemtithsruhe in die heftigste Wuth und in den grössten Zorn beim Singen versetzt werden kann. Ebenso ist nicht zu bezweifeln , dass eine sanftere Ton- weise den Zorn eines aufgeregten Gemiithes oder allzu grosse Lüstern- heit und Wollust im Zaume hält. Wird man denn auch nicht , sobald man eine Cantilene gern mit dem Gehöre und mit dem Gemüthe erfasst, dazu aus freiem Antriebe gebracht, dass der Körper eine der gehörten Cantilene ähnliche Bewegung nachbildet, und dass überhaupt irgend welche gehörte Melodie der sich erinnernde Geist aufnimmt? Aus all dem Gesagten muss man also mit der vollständigsten Klar- heit einsehen können, dass die Musik von Natur aus in uns liegt und dass wir derselben, auch wenn wir es wünschten, nicht entbehren können. Deswegen nun muss auch die Kraft des Geistes darnach streben , durch 7 • die Wissenschaft das zu ordnen and zu befestigen , was uns von der Xatar als Angebinde gegeben ist. Denn gleichwie diejenigen , wcidie Farben vnd Formen zu erblicken gelernt haben, für ihr geistiges Atige kemoi Yoriheil haben, wenn sie nicht die innere Beschaffeidieit und EigentibömlichkeH derselben erfassen und erforschen, so hat man auch von der Ergötzung der musikalischen Tonveisen kein^i Gewinn , wenn man nicht lernt, nach welchen Regeln und Tonverhältnissen die Com- Position derselben zu bewerkstelligen ist. n. Es giebt dzei Arten Ton Xnsik, und es wird Ton der Bedeutimg der Hosik gehandelt. Yor allen Dingen, gjacibe ich , muss der , welcher über die Musik eine Abhandlung sehreibt, erwähnen, wie viel Gattungen der Musik Yon denen , weilte ökse Kunst zu ihrem Studium gemadit haben , zusam- mengefasst worden sind , soweit dieselben zu unserer Kenntniss gelang- ten. Es giebt nämlich drei Arten von Musik; und zwar ist die erste die Musik des Weltalls (musicamundana), die zweite aber die mensch* liehe, die dritte aber die, welche auf gewissen Instrumenten aasgeübt wird, z. B. auf der Kithar , oder auf der Tibia , kurz auf allen Instrumenten, auf denen man eme Melodie fielen kann. Zuerst nun' kann man die Musik des Weltalls an den Dingen am besten erkennen, welche man «n Himmd selbst oder in der Zusammenfügung de^ Ele- mente eder in der Verschiedenheit der Zeiten wahrnimmt 1 Wie könnte es denn sonst geschehen, dass die Maschine des Himmels so schnell und . in so schweigsamem Laufe bewegt wird? Obschon jener Ton zu unse* ren Ohren nicht gelangt — und dass es in dieser Weise geschieht , ist aus vielen Grandel nothwendig, — so wird dennoch nicht eine so unend- lich schnelle Bewegung so grosser Körper überhaupt keine Töne hervor- bringen, zumal da die Bahnen der Gestirne durdi eine so grosse Harmonie verbuBden sind , dass nichts so gesetzmässig Zusammengefügtes , nichts so Verschmolzenes erkannt werden kann. Man hält nämlich einige Bah- nen für h<^r, andere für niedriger und glaubt, es beiladen sich alle in so gleichmSssiger Schnelligkeit , dass sich die vernünftige Ordnung der Bahnen durch verschiedene Ungjachheilen hindurchziehe. Daher kann auch von dieser himmlischen Drehung eine vernünftige Ordnung der Modulation nicht abweichen. Nun aber, wenn nicht eine gewisse Har- monie die Verschiedenheiten der vier Elemente und die entgegenstehen- den Gewalten verbände , wie könnte es denn zugehen , dass sie sich in eioein einzigen Körper und in einer einzigen Maschine vereinigten? Diese ganze Verschiedenheit bringt ebenso auch die Verschiedenheit der Zeiten und Früchte hervor, so dass sie dennoch einen Jahreskörper bewirltl. Wenn man daher von dem, was den Dingen eine so grosse Verschieden- heit verschaSt, nüt dem Verstände und Denkvenn^n etwas wegnehmen wollte , so miichte vielleicht Alles untei^hen und nicht möchte sich , so 7.11 »;agen , etwas Consonircndes erhalten. Wie sich nun in den liefen Tönen das Gesetz der Stimme vorfindet, dass die Tiefe nicht bis zur Schweigsamkeit herabsinkt , und auch in den hohen Tonen das Gesetz der Höhe beobachtet ist , dass die wegen der Dünne des Klanges allzu- sehr angespannten Saiten nicht zerbissen , sondern dass Alles für sich vernimtlgemüss und harmonisch ist : so erkennen wir auch in der HiLsik des Universums, nie nichts so gross sein könne , dass es etwas Anderes durch die eigene Grösse auflöse. Jedes Ding bringt entweder seine eige- nen Früchte hervor oder es hilft andern Dingen zur Hervorbringung der- selben. Denn was der Winter zusammenzieht, lost der Frühling auf, dörrt der Sommer und bringt der Herbst zur Reife , und so bringen die Zeilen abwechselnd entweder selbst ihre Früchte hervor, oder sie sind eifianiler zur Hervorbringung dienstbar. Darüber soll spftler noch ein- gt<1iender gesprochen werden. Die menschliche Musik nun sieht Jeder ein, der in sich selbst einen Blick thut. Was ist es denn Anderes, was jene u n körperliche Lebhaftigkeit der Vemunll mit demKör- p e r vermischt , als eine gewisse Harmonie und Oi^anisalion , welche gleichsam eine einzige Consonanz von tiefen und hohen Stimmen be- wirkt? Cnd was ist es dena Anderes, was die Theile der Seele unter einander verbindet , welche nach der Meinung des Aristoteles aus einer vernünftigen und unvemünitigen zusammengesetzt ist ? Was ist es aber, was die Elemente des Körpers vermischt oder die Theile für sich durch eine vernünftige Verbindung zusammenhält? Auch darüber werde ich später sprechen. Die dritte Art von Musik ist die, von der man sagt, dass sie in gewis.sen Instrumenten bestehe. Diese wird ausgeübt ent- weder durch Anspannen , z, B. durch Saiten , oder durch Blasen, z. B. durch Blasinstrumente, oder durch die Instrumente, welche mit Gebrauch des Wassers bewegt werden, oder durch ein gewisses Schlagen, z. B. bei denen , welche in einem hohlen ehernen Gefässe mit dem Klöppel geschlagen werden . und daher werden auch verschiedene Töne hervor- gebracht. Es liegt uns die Aufgabe ob, über diese Musik der Instrumente zuerst zu sprechen. Nun ist es genug mit der Vorrede ; jetzt werde ich über die Elemente der Husik sprechen. m. lieber die Stünmen nnd die Elemente der Hnsik. Die Gonsonanz , welche die ganze musikalische Modulation regiert, kann ohne Klang nicht vorhanden sein ; der Klang aber wird ohne einen gewissen Schlag und Stoss nicht hervorgebracht. Der Schlag aber und der Stoss kann auf keine Weise da sein, wenn nicht eine Bewegung vor- hergegangen ist. Denn wenn Alles unbeweglich ist , so wird Eins mit dem Andern nicht zusammenlaufen können , so dass das Eine von dem Andern angetrieben wird. Wenn nun Alles steht und ohne Bewegung ist, so kann nothwendigerweise kein Klang vorhanden sein. Deswegen wird der Klang »als ein unaufgelöster Luft stoss, welcher bis zum Gehör dringt,« definirt. Einige von diesen Bewegungen sind schneller, andere langsamer, und von eben diesen Bewegungen sind einige seltner (rariores), andere dichter (spissiores) . Wenn nämlich Jemand auf eine fortwährende Bewegung schaut, so muss er dabei nothwendiger- weise entweder Schnelligkeit oder Langsamkeit wahrnehmen. Und wenn Jemand die Hand bewegt , so wird er dies entweder in einer häufigen oder seltnen Bewegung thun. Wenn nun die Bewegung langsam und zu^eich seltner ist , so müssen durch eben diese Langsamkeit und Sel- tenheit des Stosses tiefe Töne erzeugt werden. Wenn aber die Bewe- gungen schnell und häufig sind , so müssen hohe Töne zum Vorschein kommen. Wenn also die Saite mehr angespannt wird , so entsteht ein hoher Ton, wenn sie schlaffer gemacht wird, so gewinnt man einen tie- fen Ton. Denn wenn die Saite angespannter ist, so bringt sie einen schnelleren Stoss hervor und wird auch schneller in Ruhe versetzt und schlägt häufiger und dichter die Luft. Eine schlaffere Saite hingegen bewirkt lose und langsame Schläge, und indem sie sich durch eben diese Schwäche des Schlages selten bewegt , dauert auch die Bewegung län- gere Zeit. Nun muss man nicht glauben, dass nur eine einzelne Schwin- gung einen einzigen Klang hervorbringe, oder dass nur ein einziger Stoss in diesen Schwingungen sei, sondern die Luft wird eben so oft in Schwin- gung versetzt, als die zitternde Saite dieselbe stösst. Weil aber die Schnelligkeiten der Klänge verbunden sind, so nimmt man mit den Ohren keine Unterbrechung wahr. Nur einen einzigen Klang vernimmt man, sei derselbe tief oder hoch , obschon er in beiderlei Form aus mehreren Klängen besteht : der tiefe Klang nämlich aus langsameren imd selte- neren, der hohe jedoch aus schnellen und dichten. Gleichwie wenn 10 Jemand einen Kegel, den man gewöhnlich Kreisel nenni, sorgfällig aus- schmückt, indem er ihn mit einem Striche von rother oder anderer Farbe bemalt und ihn dann mit mäglidiRler Schneiligkeil in drehende Bewegung setzt : dann scheint der ganze Kreisel mit rother Farbe äberz(%en za sein; nicht weil er im Ganzen wirklieh roth ist, sondern weil die Schnel- ligkeit die unbemal(«n Theile des Kreisels mit dem rothen Striche xa- xammenfasst und diese ersteren nicht zur Erscheinung kommen iBsst. Hierüber jedoch später. Weil nun also hohe Töne durch dichtere und schnellere Bewegungen , hiog^en tiefe durch langumere und seltene erzeugt werden , so erhellt , daes man dnrcb Addition der Bewegungen von der Tiefe nach der Höhe gelangt , hingegen durch Subtraction der Bewegungen von der Höhe naA der Tiefe herabkooamt , da ja die Höhe aus mehr Bewegungen besieht, als es bei der Tiefe der Fall ist. Worin nun die Mehrheit eine gewisse Differenz hervorbringt , da ist es noth- wendig , dass eben diese Differenz in einer bestimmten Zahl besteht, indem sich jede Wen ^keit zur Mehrheit so verhält, wie es die Vcr- gleichung einer Zahl mit der andern ergiebl. Wenn man diese Ver- gleichung mit der Zahl nun vornimmt, so ergiebt sich Gleiches und Un- gleiches. Deswegen sind die Töne theils gleich, theils weichen ^e durch Ungleichheit von einander ab. In den Tönen nun, welche durch keine Ungleichheit von einander abweichen, kann überhaupt keine Consonanz Vorhandensein. Denn die Consonanz ist die zur Einheit ge- brachte Vereinigung der unter einander verschiede- nen Töne. üebet die Gattongeii dei TTngleioUieit. Was unter sich ungleich ist, bewahrt aot fünferlei Art die Momente der Ungleichheit. Denn entweder wird das Eine vom Andern durch das Vielbche überschritten, oder durch enizelne Theile, oder durch mehrere Theile, oder durch das Vielfache und einen Theil, oder dnrch das Viel- fache und mehrere Theile. Zuvörderst nennt man die erst« Gattung der Ungleichheit das Vielfache. Vielfach ist aber das, wenn eine grössere Zahl die kleinere in sich ganz enlhttlt, entweder zweimal, oder dreimal, oder viermal und so fort, nichts darf fehlen, nichts darüber sein, und dann nennt man es das Doppelte, Dreifache, Vierfache, und so schreitet diese Ordnung bis in's Unendbche fort. Die zweite Gattung der Üb- 11 gleichheit ist das, was man Uebertheilig ^) nennt, d. h. wenn die grös- sere Zahl die kleinere ganz in sich enthält und noch einen Theil der- selben, tind 2war die H&lfle, wie 3:2, welche Proportion Sesquialtera 2} genannt wird : oder das Drittel, wie 4:3, welche Proportion man Ses- quiterz^] nennt. Auf diese Weise ist auch das Yerhältniss in den ferneren Zahlen^ nämlich dass die grösseren Zahlen in irgend einem Theile die kleineren übertreffen. Die dritte Gattung der Ungleichheit ist die, wo die grössere Zahl die kleinere ganz in sich enthält und noch einige Theile darüber ; wenn sie zwei Theil^ darüber enthält, so wird sie superbipartiens (überzweitheiUg) genannt, z. B. 5:3. Wenn sie drei Theile darüber enthält, so wird sie supertripartiens (überdreitheilig) genannt, z. B: 7:4. Und in den übrigen kann dieselbe Aehnlichkeit vor- handen sein. Die vierte Gattung der Ungleichheit ist die , wo das Viel- fache und Uebertheilige (multiplex et superparticulare] verbunden wird, wenn nämlich die grössere Zahl die kleinere ganz in sich enthält, z. B. zweimal, dreimal oder irgend wievielmal und noch irgend einen Theil derselben. Wenn die grössere Zahl die kleinere zweimal und noch die Hälfte der letzteren in sich enthält, so nennt man die Proportion Doppel- Sapersesquialter (duplex supersesquialtera) , z. B. 5:2. Wenn aber die grössere Zahl die kleinere zweimal und noeb den dritten Theil der letzte- ren in sich enthält, so wird die Proportion Doppel-Supersesquiterz (du- plex supersesquitertia) genannt, z. B. 7:3. Wenn die grössere Zahl jedoch die kleinere dreimal und die Hälfte der letzteren in sich enthält, so nennt man es dreifachen Supersesquialter (triplex supersesquialter) , z. B. 7:2. Auf dieselbe Weise werden auch in den übrigen Zahlen die Ausdrücke für das Vielfaehe und Uebertheilige verändert. Die fünfte Gattung der Un- gleichheit nennt man vielfach übermehrtheilig (multiplex superpartiens) , wenn nämlich die grössere Zahl die kleinere mehr als einmal ganz in sich enthält und noch dazu mehr als einen Theü d^^lben. Wenn nun die grössere Zahl die kleinere ganz in sich enthält und noch zwei Theüe darüber, so nennt man es doppelt überzweitheiüg (duplex superbipar- tiens], z.B. 8:3, und wiederum dreifach überzweitheUig (triplex super- bipartiens), z. B. H :3. Hierfiber gebe ich deswegen nur eine kurze und bundige Bntwickehmg , weil ich den Gegenstand schon in meinen iü- rhem »über die arithmetische Institution« sorgfältiger dargestellt habe. K) superparticulare. 2) der mathematische Ausdruck für Quinte. 8) der mathematische Ausdruck für Quarte. 12 V. Welohe Ckttnngen der Ungleichheit für die Oonsonaiuien geschickt sind. Von diesen Gattungen der Ungleichheit übergehen wir die beiden letzten, weil sie mit den früheren vermischt sind. Ueber die drei ersten Gattungen wollen wir jedoch eine Untersuchung anstellen. In Betreff der Gonsonanzen scheint also das Vielfache und in der Folge auch das UebertheUige die grössere Herrschaft zu behaupten. Das Uebermehr- theilige jedoch (superpartiens) ist unpassend für den harmonischen Zu- sammenklang; wie mit Ausnahme des Ptolemaeus die Meinung gewisser Theoretiker zu sein scheint. VI. Warum das üebertkeilige und Vielfache for die Oonsonansen passend ist. Das wird zur Vei^eichung für vemunflgemäss erachtet, was von Natur einfach ist. W^eil nun die Tiefe und Höhe in der Grosse (quan- titas) bestehen, so scheint das am meisten dem Wesen der Harmonie zu entsprechen« was, von einander getrennt, die Eigenschait der Grosse bewahren kann. Denn da eine Grosse getrennt, die andere stetig ist, so endet die getrennte im Kleinsten, aber die stetige schreitet dordi Gros- seres bis in*$ Unendliche fort. Denn in dieser kleinsten Grosse ist eben die Einheit geendigt, bis ins Unendliche aber wird das Haass der Vielheit vermehrt , da die Zahl .. wenn sie von der geendigten Einheit anflbigt» im Wachsen kein Ende hat. Ferner ist die stetige zwar ganz geendigt, aber sie wird durch Ungeendigtes verringert: dem die ste- tige Linie virird immer in der ungeendigten Theüiing getheüt, da die Siunme dersdben ent«*eder zwt^ifussig oder von softsliger abgemessener Ausdebnuiig ist. Deswegen vrSchst die Zahl bis ins Unendliclie fort, die stetige Gr&ise aber wird bb in s üneodliche verringert. Weil also die TielBlIt^eit (das Tielfodie) im Wachsen keia Ende bat, so entspricht sie am besten dem Wesen der Zahl. Die Uebertheü^eil aber bewahrt, weil sie die kieinete Zahl bis in> Unendürbe verkleinert, die Eigensciiafl der steligen Gro^ise. Sie verringert aber die kleinere, indem sie die* kleinere Zahl immer in sich enthSIt und noeb einen Tbeil derselben. 1. B. die Hilfle. den dritten, den vierten, den fünften Theil. Denn der \on der gr^iss^enHi Zahl benannte Tlieil nimmt seihst ab. Da nun das Dnttel v^Mi drei, li^^ Viertel \^;>n vier benannt isl, :so findet man. da^is 13 vier grösser ist als drei, dass das Viertel kleiner ist als das Drittel. Das Uebermehrtheilige (superpartiens) aber verlässt gleichsam die Einfach- heil. Denn es hat zwei, drei, vier Theile darüber, und von der Ein- fachheit abweichend, wächst es zu einer gewissen Vielheit der Theile. Wiederum stützt sich jede Vielfachheit auf die Integrität. Denn das Doppelte enthält die ganze kleinere zweimal. Femer das Dreifache ent- hält die ganze kleinere dreimal und in dieser Weise weiter. Die Ueber- (heiligkeit bewahrt nichts Ganzes, sondern sie hat die Hälfte, den dritten, vierten oder fünften TheU mehr. Dennoch aber nimmt sie eine Thei- lung mit einzelnen und einfachen vor. Die übermehrtheilige Ungleich- heit aber bewahrt nichts Ganzes und nimmt auch nicht einzelne Theile hinweg. Daher wird sie auch nach der Meinupg der Pythagoreer für untauglich zum Ausdruck der Consonanzen gehalten . P t o 1 e m ä u s jedoch setzt auch diese Proportion unter die Consonanzen, wie ich nachher zei- gen will. VII. Welche Proportionen zu musikalischen Consonanzen geeignet sind. Das muss man erkannt haben, dass alle musikalischen Consonanzen in doppelter, dreifacher, vierfacher Proportion oder in der Proportion Sesquialtera oder Sesquitertia bestehen. Das, was in den Zahlen Sequi- terz heisst, nennt man in den Tonen Diatessaron (Quarte) . Was in den Zahlen Sesquialter heisst , nennt man in den Tönen Diapente (Quinte] . Was aber in den Proportionen das Doppelte ist, nennt man in den Con- sonanzen Diapason (Octave) . Das Dreifache aber nennt man Diapente , et Diapason (Quinte mit Octave] . Das Vierfache nennt man BLsdiapason iDoppeloctave) . Hier mag dies im Allgemeinen und ohne genauere Ent- wickelung ausgesprochen sein ; in der Folge aber wird die ganze Auf- stellung der Proportionen klar werden. VUL Was Ton, was Intervall, was Harmonie ist. Ton ist Fall der Stimme, wie er für den Gesang passend ist, auf eine einzige Tonhöhe. Wir wollen den Ton aber nicht im Allgemeinen definiren, sondern nur den, welchen man griechisch <p&0YY0c nennt, der von der Aehnlichkeit mit dem Sprechen {(fMy(&obai] so benannt ist. Das Intervall ist die Entfernung eines hohen und eines tiefen Tones. 14 Die Cousooaiaz ist die Mischung eines hohen und eines tiefen Tones, welche liehlidi und gleichsam als Einheit zu den Ohren gelangt. Die Dissonanz aber ist für das GelhÖr ein rauhes und unangenehmes Zusam- menschlagen zweier mit einander vermischten Töne. Denn indem sich die Töne nicht mischen wollen, sucht ein jeder von ihnen unversehrt an einen Ruhepunct zu gelangen, und da nun der eine den andern beleidigt, so berühren sie auch beide das Gefühl unangenehm. IX. iricht Alles moBB dem Sinne überlassen werden, sondern der Berechnimg ist mehr zu glauben , wobei über die Täuschung der Sinne gesprochen wird. Wir stellen nun die Meinung auf, dass man sein ganzes Urtheil nicht dem Sinne überlassen müsse, obschon vom Gehörsinn der ganze Grund der Kunst hergenonomen wird. Denn wenn kein Gehör vorhanden wäre, so würde man überhaupt von Tönen nicht sprechen können. Den Grund und den Wechsel der Erinnerung hält gevvissermassen das Gehör fest. Die letzte YoUendung also und die Macht der Erkenntniss besteht in der Berechnung, welche, sich auf gewisse Regeln stützend, niemals in einen Irrthum verfällt. Was sollen wir weiter über die Täuschung der Sinne sagen, da ja bekanntlich nicht alle Menschen ein und dieselbe Sitmes- stärke besitzen, und auch bei dem einzelnen Menschen nicht zu allen Zeiten gleiche Sinnesstärke vorhanden ist? Vergebens wird also irgend einer dem verschiedenartigen Urtheil vertrauen, was er in Wahrheit zu suche« vermeint. Deswegen schlagen nun die Pythagoreer einen Mittel weg ein, indem sie nieht Alles auf das Gehör geben und dennoch gewisse Dinge nur durch das Gehör erforschen. Detm sogar die Consonanzen messen sie mit dem Gehör. In welchen Entfernungen die Consonanzen aber von einander liegen, dies überlassen sie nicht den Ohren, deren Urtheil nicht scharf genug ist, sondern sie vertrauen darin gewissen Re- geln und der Berechnung, so dass gleichsam der Sinn gehorchender Diener, die Berechnung aber befehlender Richter ist. Mögen immerhin die Momente aller Künste, ja des Lebens selbst, durch Zufall der Sinne hervorgekonunen sein, so liegt dennoch in ihnen kein sicheres Urtheil, kein rechtes Erfassen der Wahrheit, wenn ein durch Berechnung ge- wonnenes UrtheU fehlt. Der Sinn selbst wird ja vom Grössten und Kleinsten gleicherweise getäuscht. Denn er kann das Kleinste wegen der Kleinheit der Empfindungen selbst nicht fühlen und wird auch oft mit dem Grössten verschmolzen; z. B. hinsichtlich der Tone, die das 15 Gahdr nicbt so leicht aufnimmt, wenn sie sehr klein sind ; wenn diesel- ben jedoch sehr gross sind, so wird das GrahÖr durch die Anspannung des Schalles taub. , X. Wie Fythagoras die Froportionen der Gonsonanzen erforscht hat. Das war also die Hauptursache, weshalb Pythagoras mit Hintan- setzung des Urtheils der Ohren zu den Beweggründen der Regeln schritt, indem er nicht den menschlichen Ohren traute, die ja durch die Natur selbst oder durch andere Zufälligkeiten oder durch das Alter selbst Ver- änderungen erfahren. Auch traute er den Instrumenten nicht , bei denen oft eine grosse Yeränderung und Unbeständigkeit erzeugt wird. Denn wenn man s^n Augenmerk auf die Saiten richtet, so erkennt man, dass bald eine feuchtere Luft die Sdiläge abstumpft, bald eine trocknere die Saiten spröde macht, bald eine dickere Saite einen tiefen Ton, eine dünnere einen hohen Ton erzeugt, oder dass durch irgend einen Zufall die vorher bestehende Beschaffenheit verändert wird. Und da sich das- selbe auch bei andern, als Saiteninstrumenten, vorfand, und sich Alles als unbeständig und unzuverlässig erwies, so suchte er lange mit emsiger Forschung, auf welche Weise er fest und sicher die Beweggründe der Gonsonanzen erkennen könnte. Da ging er, durch göttliche Eingebung geleitet, bei einer Schmiedewerkstatt vorbei und horte die Schläge der Schmiedehämmer, wie aus den verschiedenen Tönen nur eine Harmonie hervortönte. So also zu dem, was er lange suchte, dui'ch Zufall hinzu- geführt, schritt er zum Werk; und in langer Betrachtung versunken meinte er, dass die Verschiedenheit der Töne durch die verschiedenen Kräfte der Schlagenden erzeugt würde. Um dies sicher zu wissen, Hess er die Schnüede die Hämmer unter einander vertauschen. Die Eigen- schaft der Töne hing aber nicht von den Armen der Männer ab, sondern begleitete die vertauschten Hämmer. Als er dies bemerkte, nahm er das Gewicht der Hämmer ab. Da es nun 5 Hämmer waren, so fand er zwei, die in doppeltem Gewicht zu einander standen ; diese ertönten in der Consonanz der Octave. Von diesen beiden stand der, welcher das dop- pelte Gewicht hatte , zu einem andern im Sesquiterz und ertönte mit diesem in der Consonanz der Quarte. Zu einem andern stand der dop- pelte im Verhältniss des Sesquialter und ertönte also mit diesem in der Quinte. Diese beiden aber, zu denen der erste im doppelten Sesquiterz und Sesquialter stand , bewahrten zu einander wechselseitig eine Ses- qoioctave. 16 Der 6te wurde verworfen, welcher allen inconsoDirend war. Da nun vor Pylhagoras die musikall gehen ConsonanzeD Octave, Quinte, Quarte, welclie Iclzlere die kleinste Consonanz ist, genannt wurden, so fand also Pylbagoras zuerst die Art und Weise, in welchen Proportionen diese Consonanzoii ausgedKickl werden konnten. Um das Gesa^ deutlicher XU machen, so nehmen wir an , die vier Gewichte seien in Zahlen aus- Redrückl diese: li, 9, S. 6. Ii:6 ertönten in der Consonanz der Oclave, <S:9 und S: 6 ertönten in der Consonanz der Quarte, 9:6 und \i:i in der Consonanz derOuinte, 9:8 gab aber in der Sesquioctave den Ganzton. XI. Auf welche Weise die veTschiedeneQ Proportioneii dei Oonsoauuen Tom Fythagoras abgewogen woirden sind. Von hier nach Hause zuriickjjpkehrt , wog er durch verschiedene Versuche ab, ob in diesen Proporlioaeo das ganze Wesen der Sympho- nieo bestelle. Er übertrug die Gewichte auf die Saiten und beurtheilte die Consonanzen derselben mit dem Ohre. Jetzt stellte er auch in Bezug auf die Llirige der Pfeifen das Doppelte und die Mitte her und richtete die übrigen Proportionen ein ; durch diese verscbiedenartige Erfahrung erlangte er die tmanlast barste Sicherheit. Oft auch stellte er für das jUuass der Spannungen die Cyathen '] der gleichen Gewichte mit den Acetabulen^l zur Vergleichung zusiunmen. Auch freute er sich gefun- den zu haben, ifass es in nichts \erschiieden sei, ob er mit einem eher- nen oder eisernen Stabe die durch verschiedene Gewichte gebildetea Acelabtden schlüge. Dann gelangte er auch dabin, die Länge und Dicke der Saiten gegen einander abzuwägen. Auf diese Weise (and er die * spater zu erwähnende Regel , welche von der Sache den Ausdruck ent- lehnt , nicht weil die Retiel ein hölzernes Maass ist , nach welchem wir die Grosse der Saiten und den Tou messen , sondern weil ein derart^er fester uud sicherer Einblick gewisse ruiassen nne Bicblschnur (regula; ist, so dass Keiner in seiner Forschung durch ein zweifelhaftes Crtheil ge- täuscht wird. ) Cysibas, i, m. .i^JsS«;; eigenllieh B«cher, Trlnkbectter, Hör. Od. S, S, t3, Suel. Caes. t9i ubertr. das Maass Ar trockene und flüssige GcgensttDde, iv,o;n*r Theil eines Seilarius, Hör. OU. S, 19, la, Plin. 3«. It, U. t Acelabuhim, i, a. acelum; nrspr. Essigg^iss; doeb ubertr. 1; beeker- «rtigeft Geikss, Becher, (tuiat. S, e, 33. 1; alsMaagsstab for nssc bm] trocken« L>.nge, der vierte Tfaeit einer Hemina. i Musikalischer T v^ 17 XII. üebei die Eintheilimg der Stimmen nnd deren Entwiokelnng. Hierüber so weit ; jetzt wollen wir die Differenzen der Stimmen nach und nach entwickeln. Jede Stimme ist nämlich entweder oovej^ijc, d. h. stetig (continua), oder oiaaTr^jiaTixTi^, d. h. mit dem Intervall «johwebend ^) . Und zwar heisst diejenige Stimme stetig , mit der w ir im Sprechen oder bei dem Vortrag einer ungebundenen Rede Worte durcheilen (hinter einander hersagen) . Im ersteren Falle beeilt sich die , Stimme , dass sie nicht in hohen und tiefen Tönen lange verharre , son- dern dass sie so schnell, als es der Ausdruck verstattet, die Worte durch- laufe, und dass die Macht der Stimme in Bezug auf Entwickelung des Sinnes und Ausdruck der Rede fortwährend wirksam sei. Intervallartig ist aber die Stimme ,. welche wir durch Singen in Schwebung versetzen, in der wir dann weniger den Wortausdrücken als vielmehr den Ton- weisen dienen. Hier ist die Stimme selbst langsamer und sie bewirkt durch Verschiedenheiten beim Singen einen gewissen Zwischenramii, nicht etwa indem sie schweigt, sondern indem sie vielmehr eine schwe- bende und langsame Tonweise vorträgt. Diesen beiden Stimmunter- i^chieden wird nach der Meinung des Albinus noch ein dritter hinzuge- fügt , der zwischen beiden die Mitte hält ; wenn wir nämlich Heldenge- dichte lesen , so geschieht dies weder in ununterbrochenem Flusse , wie bei der Prosa, noch in schwebender und zögernder Weise, wie bei dem Gesang. XIII. Die Unendlichkeit der Stimmen hat die menschliche Natnr begrenzt. Die stetige Stimme nun , und auch die , mit welcher wir eine Ton- Aoise singen, sind von Natur unendlich. Denn wenn wir die Sache be- trachten, so erkennen wir wohl, dass es bei Darstellung der Rede, oder bei Erhebung der Stimme in höhere Tonlagen, oder bei Senkung in tie- fore an sich kein Maass giebt ; beiden aber (der Stimme beim Sprechen wie beim Singen) hat die menschliche Natur eine eigene Grenze gesetzt. Der stetigen Stimme hat der menschliche Athem eine Grenze gesetzt, über die hinaus jene nicht zu kommen vermag, da ein Jeder nur so lange ununterbrochen spricht, als es der menschliche Athem zulässt. Wiederum 1) Cum intervallo suspenso. Boetins. 2 18 setzt die menschliche Nattii; auch der schwebenden Stimme (Singstimme) eine Grenze , welche die Höhe und Tiefe der menschlichen Stimme be- grenzt, da ein Jeder nur so weit in die Höhe heraufsteigen und in die Tiefe herabsteigen kann, als es die natürliche fieschalTenlieJt der Stimme \ei-sl;ittel. XIV. Wie die Art und Veise Am HöreiiB ist. Jetzt wollen wir erörtern , wie die Art und Weise des Hörens ist. Denn in Bezug auf die Stimmen findet fast dasselbe statt, wie wenn ein uus der Ferne geworfener Stein in Sümpfen tider andern ruliigeu Ge- »Üssern untersinkt. Zuerst sammelt er die Welle zu einem ganz kleinen Kreise, dann aber zerstreut er die Wellenniassen in grössere Kreise und zwar so, bis die unruhige Bewegung von der Hervorlockung der Wogen ablässt und sicli nnuli und nach beruhigt , indem sich die Wellchen in Immer weiteren und grösseren Umkreisen verlaufen. Wenn nun etwas vorhanden ist, was den wachsenden Wellen Widersland entgegensetzen knnn , so wird sofort Jene Bewegung zurückgewendet und wird gleich- sam nach dem Hittelpunkt hin , wo sie ausgegangen ist, durch dieselben Wellchen abgerundet. Wenn also auf dieselbe Weise ein Luftstoss eineu Ton erzeugt hat, so treibt dieser zunächst einen andern Luftstoss an und setzt so ge Wissermassen einen runden Luflstrom in Bewegung. Auf diese An wird der Ton verlliellt und berührt zugleich das Gehör aller Um- stehenden, Der nun in weiterer Entfernung steht, dem erscheint die Stimme schwiicher , n cü zu ihm eine kleinere Welle der geschlagenen Luft gelangt. XV. Deber die Ordnung der Ttieoreme, d. li. der Specolationen. Nach dem Vorausgegangenen scheint es mirnolh wendig zu seinau.s- zusprechen, in wie viel Geschlechtern sich eine jede TonweLse bewegen kann, über welche (Ge^hlechter] die Lehre von der harmonischen Er- Mndung Betrachtungen aastellt. Es sind folgende : das diatonische, cliro- malische und cnharmonische Geschlecht. Ueber diese wollen wir jedocli dann erst Einiges entwickeln , wenn wir vorher voo den Telrachorden gesprochen und erörtert haben', wie die Zahl der Saiten nach und nacli vermehrt und zu der jetzigen Menge gebracht worden ist. Dies soll 19 geschehen, wenn wir vorher erwähnt haben, nach welchen Proportionen f sieb die musikalischen Symphonien (Consonanzen) mischen. XVI. üeber die Proportionen der Oonsonanzen , über den Ganzton und Halbton. Diapason (Octave) ist die Consonanz , die in der Verdoppelung besieht wie < : 2 . Diapente (Quinte) hat die Verh'ältnisszahlen 2:3. Dia- lessaron (Quarte) hat die Proportion 3:4. Der Ganzton befindet sich in der Proportion Sesquioctave , wo er aber durchaus nicht Consonanz ist , wie 8:9. Diapason und Diapente stellt man in dreifacher Vergleichung dar : i : 4 : 6 . BLsdiapason bringt man in vierfache Verknüpfung : 2:4:8. Dia- tessaron und Diapente vollenden zusammen ein Diapason auf folgende Weise : 2*3:4. Denn wenn eine hohe oder tiefe Stimme mit einer an- dern in doppeltem Verh'ältniss steht, so wird hieraus die Consonanz Dia- pason entstehen. Wenn aber eine höhere oder tiefere Stimme mit einer andern die Proportion Sesquialter oder Sesquiterz bildet , so wird man die Consonanzen Diapente oder Diatessaron erhalten ; in der Proportion .^quioetave wird man den Ganzton finden. Ebenso wenn man Diapason 2:4 und Diapente 4:6 verbindet, so entsteht eine dreifache Symphonie, nämlich Diapason und Diapente. Hingegen geben 2:4 und 4:8 eine vier- fache Consonanz, nämlich Bisdispason. Wenn die Proportionen Sesqui- alter und Sesquiterz, d. h. Diapente und Diatessaron, verbunden werden, aUo 2:3 und 3:4, so entsteht eine doppelte Consonanz, nämlich dieCon- >onanz Diapason. Denn 4:3 ist die Proportion Sesquiterz, 3:2 ist Ses- <|aialter und ebenso ist 4:2 das Zweifache. Sesquiterz erzeugt die Con- >^manz Diates.saron, Sesquialter die Consonanz Diapente. Das Zweifache bewirkt die Symphonie des Diapason. Diatessaron also und Diapente uTbinden sich zu einer Consonanz Diapason. Der Ganzton kann nicht in gleiche Theile zerlegt werden, wovon der Grund später angegeben Herden soll. Hier nützt nur das, dass man erkennt, wie niemals derGanz- toQ in ganz gleiche Theile zerlegt wird. Um dies leichler erkennbar zu machen, nehmen wir die Proportion Sesquioctave 8:9. Dazwischen liegt Leine andere Zahl. Wenn wir nun diese Zahlen zweimal nehmen, so ^ird aus 8 16 und aus 9 4 8. Zwischen 4 6 und 4 8 liegt natürlicher- weise nur die eine Zahl 4 7, woraus die Reihe entsteht 4 6, 4 7, 4 8. 16:48 als Proportion Sesquioctave giebt den Ganzton. Die mittlere Zahl n Iheilt aber diese Proportion nicht in gleiche Theile. Denn 4 7 zu 4 6 ver- 2* 20 ^liclien <!rkcnnl Niaii, iliiss 17 die Zahl 16 ganz tn sich enthült und noch (Jen i 6le» Thei) derselben, d. h. die Einheit. Wenn wir aber ) 8 zu 17 verKleiclicn, so hal ) 8 die Zahl 1 7 ganz id sich und noch den ) Tteii Thcil derselben. Die Z.1I1I 1 7 übcrtriOl also die Zahl I 6 nicht mit den- selben Theilen, wie I 8 ilie Zahl i T ; denn der ( 7te Theil isl kleiner al.s der 16le. Beule Pro portio wen jedoch [nämlich )6:)7 und 17:18) stel- len Halbtönc <lar , nicht etwa deswegen , dass die Halbtöne überhaupt ans Gleiclism die Uille seien, sondern weil man das einen Halb ton zu I |>lleg( , wns nicht zum Ganzen gelangt. Aber von den beideit Halblodverhäilnissen wird das erste »grösserer Halblonn, das zweite 'kicini'i'cr llalbtonn ^enaniil. XVII. In welchen eisten Zahlen der Halbton besteht. Nun wollen wir iiiviuuer entwickeln, was ein vollkommner Halbtou i=l, und in welchen Ziililen er besteht. Denn das, was wir über die Theilung des Ganztonus sagten , bezieht sich nicht auf eine etwa beab- )i^j cht igte Darlegung der Ilidhtonverhültnissc, sondern vielmehr auf unsere ßchaiiptung, dass der Gnnzlon nicht in zwei gleiche Theile zerlegt wer- den kann, Diaiessaron ist die Consonanz, welche aus i Stimmen und 3 Intervallen besteht. Sie besteht aus 2 Ganztönen und einem nicht vöUkommnen Halbton. Wir haben z.B. folgende Zahlen : t%i, 216, 343, 256. Wenn nun 192 zu 236 verglichen wird, so hat man die Proportion Sesquiierz und es ertönt die Consonanz Dialessaron. 2)6 aber zu 193 vcrgliclieii. giobt die Proportion Sesqnioctave ; denn die Diflerenz derselben ist ai, welche Zahl der 8te Theil von 192 ist; es i.sl also der Ganzton. Femer Lst SiSiilß die andere Proportion Sesqui- oclave. denn die Diirprenz derselben ist 27, also der 8 te Theil von 216. Es bleibt noch übrig die Proportion 256:2i3, deren Differenx 13 ist. niese letztere Zahl, R tm\\ genommen, giebt aber nicht die mittlere Zahl '2-i3. Es ist also nicht ein vollkommner Halbton , sondern der kleinere Halbton. Denn dünn würde er mit Recht ein vollkommner Halbton ge- nannt, wenn ilie Differenz 13, 8 mal genommen, der mittleren Zahl 243 gleich käme. Ks iiat also der kleinere Halblon das Verhiiltniss 2i.'i:l56. I 21 XVIIL Diatessaron steht von Diapente lun einen Oanzton anseinander. Ferner ist Diapente eine Consonanz von 5 Klängen, also von 4 Inter- lervallen, nämlich von drei Ganztönen und einem kleineren Halbton. >etzen wir dieselbe Zahl <92 und nehmen hiervon den Sesquialter, welche Proportion die Consonanz Diapente bewirkt. Es sei also die Zahl 288. Nun werden die früher im Verhältniss zu \ 92 stehenden Zahlen in lie Mitte gesetzt, dann erhält man diese Reihe: <92, 216, 243, 256, i88. Bei dem früheren Verhältniss wurde gezeigt, das 192 und 256 zwei Ganztöne und einen Halbton (den kleineren) enthielten. Es bleibt 'ilso die Proportion 256:288 übrig, welche eine Sesquioctava ist, d. h. m Ganzton, indem die Differenz 32 und folglich der 8te Theil von 256 i>t. Also besteht die Consonanz Diapente aus 3 Ganztönen und einem Halblon. Die Consonanz Diatessaron bestand unstreitig in den Zahlen 192:256. Diapente aber wurde eben auch von 192 zu 288 ausgedehnt. Es wird also die Consonanz Diatessaron von Diapente durch die Pro- portion 256:288 übertrofFen, und das ist der Ganzton. Die Symphonie Watessaron wird also von der Quinte um einen Ganzton überschritten. XIX. Diapason wird ans fünf Oanztönen nnd zwei Halbtonen verbunden. Die Consonanz Diapason besteht aus 5 Ganztönen und 2 Halbtönen, welche letzteren dennoch einen Ganzton nicht erfüllen. Denn weil ge- 2^igt wurde , dass Diapason aus Diapente und Diatessaron bestehe , Dia- ^t^ron aber bewiesenermassen aus 2 Ganztönen und einem Halbton, Wapente aber aus 3 Ganztönen und einem Halbton , so werden sie, mit Pinander verbunden, 5 Ganztöne und 2 Halbtöne ausmachen. Weil nun '^ne beiden Halbtöne zusammengenommen nicht die Verbindung von 2 deichen Hälften zu einem Gan2ton sind , sondern der eine Halbton >n)sser, der andere kleiner als die Hälfte eines Ganztones ist , so besteht Wapason nach dieser Berechnung aus 5 Ganztönen und 2 Halbtönen, welche letzteren zusammengenommen einen ganzen Ton nicht erreichen, dasMaass eines vollkommnen Halbtones jedoch überschreiten. Die Be- ''pchnung hier> on, oder die Art und Weise , nach welcher die musika- 'ischen Consonanzen selbst aufgefunden werden , wollen wir später aus- 22 fiihrlicher entwicketn. Eitistweilen wollen wir auch bei noch udvoU- komniiier Einsicht der gegenwärtigen Abhandlung Glauben beimessen, und dann erst eiue sichere liebe rzeugu Dg erliallen, wenn ein Jedes durch die eisentliche Beweisführung klar gemacht ist. Nach diesen Ausein- andersetzungen wollen wir in der Kürze über die Saiten der Kithar und über die Namen derselben sprechen, und erörtern, auf welche Weise sie ^iTjjii-liri unti nill Kanten M'r^olicii ^^.<,u].'ü sind. Wctiii t.wii hier\-on Kennlniss erltingl lial, diinn wird es leicht si'in. iliirr)! ilii' Wissenschaft das Folgende zu crras-Beri. XX. lieber Hinzufügnng der Saiten imd fleren Namen. Nieomn^'lnfserzilhlt, dass zu Anfang eine fianz einfache Musik vor- handen gewesen sei, so dass sie nur aus i Saiten bestanden habe. Dies wäre bis zur Zeit des Orpheus der F:dl gewesen, dass die Isle und 4te Saile zusammen in der Consonauz Diapason erklangen. Die Millelsaiteii hinten mit den äusseren Diapcnte und Diale.ssjirort, zu einander nber den Ganzion ergeben. Von diesem Quadrichord soll Mercur der Erfittder sein. Die üle Suite fügte hierauf Tor rebus, Sohn des Atys, König der Lyder hinzu. Uyagnis der Phrygieraber fügte die 6te Saite hinzu. Die He wurde von Terpiiniler aus Lesbos angefügt, nach der Aehnliclikeit ilcr 7 Planeten. Und von iliesen 1 Saiten wurde die tiefste Hypale ge- nannt, gleichsam als grös.'^ere und ehrwürdigere, woher sie auch den Jupiter Hjpalos nennen. Auch den Consul nennt man .seiner hohen Würde wegen mit demselben Namen (uTratos), und dem Saturn ial er wegen der Laogsainkeil der Bewegung und Tiefe des Tones zugelheilt worden. Die i^weile heisst Parhypate, gleichsam als neben Hypate gcsielh. Dio (bitte heissl deswegen Lichaitos , weil dieser Ausdruck den Finger bedeutet, welchen wir Zeige liuger nennen. DerGrieche leitet Lichuuos vooiSlamm Weil nun beim Spielen bei dcrSaile, die von ll\pate aus H 3le ist, der Zeigeünger (Lichanos) gefunden wurde, des- UiSlAUch die Saite selbst Lichanos genannt worden. Die (te Seite genannt, weil sie unter sieben die mittlere ist. Die Sie isl I well sie neben der Mitte hegt. Die siebente ist Note, gleicli- . h. letzte. Zwischen dieser Nele und Pnraraejic liegt die f, SWjcheParanete genannt wird als die nebenNele gesclzle. Weil 23 aber Paramese die 3te von Nete ist, so wird sie auch mit dem Wörtchen Trite genannt, d. h. die 3te, so dass folgendes Schema entsteht: Hypate Pafhypate Lichanos Mese Paramese oder Trite Paranete Nete. Diesen Saiten fügte Lichaon aus Samos die 8te hinzu und setzte sie zwischen Paramese (auch Trite genannt) und Paranete, so dass sie selbst die 3le von Nete war. Paramese wurde nun eben blos mit dem einen Namen benannt, als sie hinler die Mitte gesetzt wurde. Den Namen Trite verlor sie , da zwischen sie und Paranete ein von Nete aus gerechneter ^ Ton an die dritte Stelle gesetzt wurde , welcher mit Recht den Namen rrile erhielt , so dass nach der Hinzufügung des Lichaon folgendes Ootachord entstand : Hypate Parhypate Lichanos Mese Paramese Trite Paranete Nete. In Bezug auf diese beiden Eintheilungen , also des Heptachordes tmii Octachordes , wird das Heptachord synemmenon, d. h. verbun- 'ienes genannt; dsfs Octachord hingegen diezeugmenon, weil es getrennt i>t. Denn im Heptachord ist das eine Tetrachord dieses : Hypate , Par- ^lypate , Lichanos, Mese ; das andere aber : Mese , Paramese , Paranete, Vete, indem wir die Saite Mese auch im Siten Tetrachord zählen, und also •lurch eben diese Saite 2 Tetrachorde verbunden werden. Hingegen machen im Octachord, weil also 8 Saiten vorhanden sind , die ersten 4 : iKpate, Parhypate, Lichanos, Mese, zusammen ein Tetrachord aus. Von diesem aber vollkommen getrennt, fangt das andere von Paramese an, •'direitet durch Trite und Paranete und endigt in Nete. In diesem Octa- chord ündet sich also die Trennung vor, die man Diazeuxis nennt. Und zwar ist es die Trennung von Mese und Paramese um einen ganzen Ton. Hier also behauptet Mese nur noch den Namen , weü ihre Stellung nicht 24 in der Mitte ist, iadem im Octachord immer S Milien godmden werden, und eine Mitte allein durchaus nicht aurzuflnden ist. Tlieophraslus :ius Pierin Tügie in der Tiefe noch eine Satte hinzu , um ein volisfandlges lünneachoid (Neunsait) he norzu bringen. Weil diese Saite unterhalb Hypate liinzugerügt wurde , hiess sie Hyperhypale , und so lange als die Kilhar früher nur 9 Saiten hatte , wurde diese Saite Hyperhypale ge- nannt. Jelzl wird sie Lichanos hypalon genannt , da noch andere Sallen hinzugekommen sind , in welcher Ordnung und Einrichtung sie danini Lichanos genannt wurde, weil sie mit dem Zeigefinger berührt wird. Das wird später noch klarer werden. Jetzt verhält sich die Ordnung des nniiogebenen Enneachordes folgendermassen : Hyperhypale Hypale Parhypate Lichanos Mese Paramese Trile Paranele Nele. Histiaeus aus Colophon fügte in der Tiefe die I Ote Saite hinzu, TimotheusausMilet die die. Weit diese nun über Hypate und Parhy- pate hinzugefügt wurden, so wurden sie Hypate hypaton genannt, gleich- sam als grösste von den grossen , als tiefste von den tiefen , als ausge- zciclinetsle der ausgezeichneten. Die erste von den H Saiten witrde also Hypale iiypaton genannt. Die zweite Parhypate hypalon , weil sie neben Hypale hypaton aufgezogen ist. Die 3le, die schon früher im Enneachord Hyperhypale genannt wurde, erhielt nun den Namen Licha- nos hypaton. Die 4te , von Alters her Hypate genannt , behielt iliren Namen. Die Tite hiess Parhypate. Die 6te, von Alters her Lichanos ge- nannt, behielt ihre Bezeichnung. Die 7tc nennt man Mese, die StePara- mese, die 9te Trite, die 1 Ote Paranele, die i ^ le Nete. Das erste Telra- chord ist also dieses: Hypate hypaton , Parhypate hypaton, Lichanos hypalon , Hypale. Das 2te ist folgendes : Hypate , Parhypato , Licha- nos, Mese, welche beiden Tel rachorde verbunden sind. Das 3 le Te- trachordist dieses : Paramese , Trile , Paranele, Nele. Weil nun zwi- schen dem früheren Tetrachord , nämlich Hypale hypaton , Parhypaie hj-paton, Lichanos hypalon , Hypale raeson und zwischen dem letzten, nämlich: Paramese, Trile, Paranele, Nele ein Tetrachord in der Mitte 25 liegt, nämlich : H\T)ate , Parliypate, Lichaaos, Mese , so ist dieses ganze mittlere Tetraehord meson genannt worden, d. h. gleichsam Tetrachord der Mitten, und die einzelnen Saiten desselben werden also mit Hinzu- fügung dieses Ausdruckes sogenannt : Hypate meson , Parliypate meson, Lichanos meson, Mese. Weil nun ferner zwischen diesem Tetrachord meson und dem letzten (dem der Neten) die Trennung liegt, nämlich der Mese und Paramese, so ist das ganze letzte Tetrachord diezeugme- non, d. h. getrenntes, genannt worden, und auch hier wird allen Saiten desselben dieser Ausdruck beigelegt, nämlich : Paramese diezeugmenon, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, so dass nachstehendes Schema entsteht : H\T)ate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson *• Lichanos meson Mese Paramese diezeugmenon Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon. Es ist also hier zwischen Paramese und Mese eine Trennung vorhanden, und daher ist dieses Tetrachord diezeugmenon genannt worden. Wenn jedoch Paramese weggenommen wird , und es bleiben die Saiten Mese, Trite, Paranete, Nete, dann sind 3 Tetrachorde mit einander verbun- den, d. h. griechisch synemmena, und das letzte Tetrachord wird synem- menon genannt, in folgender Weise: Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese svnemmenon Trite synemmenon Paranete synemmenon Nete synemmenon. Weil nun in dieser Eintheilung oder auch in der früheren des Hende- 26 caclionles die SaJle Nete zur Mese, die wegen ilirer milllereu Stellung so benannt wurde, als nächste [zur Bildung eines Telrachordes) hiii- zulrill, so ist, weil zwar Mese weit genug von den letzten Hypalen ab- ülelil, aber doch nicht die eigenlhciie Stellung behauptet (d. h. die Octave] oberhalb von Nete diczeugmenon nocli ein Tetrachord hinzuge- fügt und hyperbolaeon genannt worden , weil es die früher aufgestelllen Nelen in der Höhe überschreitet, auf folgende Weise : Hjpalc hypalon Pari) y pale hypaloii Lichacos hypalon llypate nieson Parhypate nieson Lichanos meson Paraniese Trite diczeugmenon Paranete diezeugmenon Nele diezeugmenon Trite hyperbolaeon Paranete h^erbolaeon Nete hyperbolaeon. Weil nun aber wiederum (in dieser Tonreihe} die Mese nicht recht in der Mitte stand , so wurde deswegen über Hypate hypatoD noch eine Saite hinzugerügl, die man Prodambanomenos nennt, von einigen wird sie aucii Prosmelodos genannt, die um einen ganzen Ton von Hypa ' ' bypaton entfernt ist, und zwar ist Proslambanomenos von Mese der i Ton und tönt mit dieser in der Symphonie Diapason und mit Licliap bypaton erti)nt sie im Diatessaron, welche letztere Saite mit Hese in i Symphonie Diapenle erklingt, da sie von dieser der Sie Tori ist. Ferc Blehl Mese von Paramese um einen Ganzion auseinander ; mit Nete dl zeugmenon ertönt Mese in der Consonanz Diapente, und diese Nete i^ zeugmenon bewirtt mit Nete hyperbolaeon die Consonanz Diatessar4| und Proslambanomenos ertont mit Nele hyperbolaeon in der Consoni Bisdinpason, auf folgende Weise : .; Proslambanomenos oder Prosmelodos i Hypale hypaton ' Parhypaie hypaton Lichanos hypaton Hypate meson I M« fK<^l ij • I i . 27 Parhypate meson Lichaoos meson Mese Paramese Trile diezeiigmenon Paranete diezeugmcnon Nele diezeugmenon Trile hyperbolaeon Parallele hyperbolaeon Nele hyperbolaeon. XXI. Veber die Elaoggesohleobter. Nach diesen Ent Wickelungen wollen wir über die Klanggeschlechter sprechen. Es sind folgende drei i das diatonische, chromatische, enhar- nionische. Das diatonische ist um etwas härter und natürlicher, als die übri- scn. Das chromatische weicht von jener gleichsam natürlichen Tonfolge ;ib und verralU in eine weichere. Das enharmonische ist schön und geschmackvoll verbunden. Da nun also 5 Tetrachorde sind, nämlich liypalon, meson, .synemmenon, diezeugmenon, hyperbolaeon, so schreit«l in diesen allen gemüss dem diatonischen Geschlecht die Singstimme durch HalbtOD und 3 Ganztöne fort, so wohl Im Isten und Sten , als auch in allen übrigen Tetrachorden. Daher wird das Geschlecht diato- nisch genannt , weil es gleichsam von Ton zu Ton fortschreitet. Da* rhromatische Geschlecht, welches von Farbe (3(piu|ia) hei^eleitet wird, ist gleichsam die erste Veränderung von jener ersten Tonfolge und wird in der Fortschreitung von ä Halbtönen und 3 Halbtönen gesun- !;en. Denn das vollständige Diatessaron ist eine Consonanz von 2 Ganz- tiinen und einem nicht vollkommnen Halbton. Dieses Wort, also Chroma, ist von Oberilächen hergeleitet, welche, wenn sie verändert werden, in eine ;mdere Farbe übergehen. — Das enharmonische ist noch mehr /.usamni engesetzt und wird in allen Tetrachorden durch 2 Diesen und Dilonus gesungen. Diesis ist die Hälfte eines Halblones. Die Beschrei- bung von allen 3 Geschlechtern durch alle Tetrachorde hindurchlaufend ist daher folgende : 28 Diaionisches Gesclileclit: T T T T T Kalbton Hilblan Drei HmlbUBS Enlinrmonischcs Geschlecht: Heber die Ordnang der Saiten nnd Ton den Namen in den drei Qeschleohtem. Jetzt wollen wir die Ordaung der Saiten auseinandersetzen, die in den 3 Geschlechtern sich verändern und in feststehender Ordnung an- cinanderg(M-eiht werden. Die erste Saite ist Proslam banomenos, die eben uuch Prostnelodos genannt wird. Die 3te ist Hypatc hypalon. Die 3le Parhypate hypalon. Die 4te nennt man allgemein Lichanos. Wenn sie im diaionischen Geschlecht gebraucht wird , dann sagt man Lichanos tiypnlon ilialonos ; wenn sie im chromatischen Klanggeschlecht vorkommt, .''0 lieisst sie Diatonos chromatice oder Lichanos hypalon cbromatice. Wenn sie im enhamioniscben Geschlecht erscheint , so heisst sie Licha- nos hypaton enharmonios. Nach dieser Saite folgt Hypale meson. Darauf Parhypate meson und dann Lichanos meson. Im diatonischen Ge- si'lilechl heisRt sie einfach Lichanos meson. Im chromatischen aber Liclianos meson chromatice oder Diatonos meson chromatice. Im enhar- nionischen jedoch Lichanos meson enharmonios oder Diatonos meson enharmonios. Hierauf folgt Mese. Nach dieser Saite folgen 2 Tetra- chorde, nUmlich synemmenon und diezeugmenon. Imersleren folgl nach Mese Trite synemmenon, darauf folgt Lichanos synemmenon, die im dia- tonischen Geschlecht Diatonos synemmenon ist, im chromatischen aber entweder Diatonos synemmenon chromatice oder Lichanos synemmenon chromatice. Im en harmonischen Geschlecht jedoch : Diatonos synemme- non enharmonios oder Lichanos synemmenon enharmonios. Hierauf folgt Nele synemmenon. Wenn aber der Saite Mese das Telrachord synemme- non nicht angefügt wird, sondern das Telrachord diezeugmenon folgt, so komml nach Mese Paramese, darauf Trit« diezeugmenon, dann Lichanos diezeugmenon, die man im diatonischen Gescbleclit Diatonos diezeugnie- 29 noncbroiualiceoderLichiiDOsdiezeLignienoa chromatice n-eaiil. Im eiibar- iiionisclien Geschlecht heiRst die Saile Diatonos diezeugmenoa enharmonioä oder Diatonos hypaton enharmonios. Dieselbe Saite wird auch Paranete «enannt mit Hinzufügung des Wortes diatonos , cliromatice oder enhar- monios. Nach diesea folgen noch Nele diezeugmenon , Trite liypcrbo- iHeon, Paranele hyperbolaeon, Nete hyperbolaeon, und zwar wird Para- ncle hyperbolaeon im diatonischen : dialonos hyperbolaeon , icn clironia- lisclieo : hyperboliieon chromalice , im eniiarmonischen : hyperbolaeon t'niianuonios genannt. Von diesen Saiten ist Note liyperbolaeon die lelzlc. Wir lassen jelzl das Schema der Saiten in allen 3 Klanggeschlechteni [ulgen , in weichem man die Gleichheil und Verschied eoliejt der N nnen In allen 3 Geschlechtern erkennen wird. Wenn man njn i\W Snien in Jicscmzähh, sowohl die , welche gleiche Namen haben ds aucli die mit verschiedenen Nammen, so wird man zusammen 3B "i Itn vorfin- ilen, wie es eben dieses folgende Schema deutlich macht : ^ auttsiMb« eMotiMht. Proslambanumenos, Hjpate hypaton. Parhypal« hypalon. i Lichanos hypaton dlato- Hypate hypaton. Parhypate hypolon. Lichanos hypaton chro- Hypate hypaton. i Parhypate hypcilon. Lichanoshypa ton enhar- monios. 1 Hypate meson. Parhypate meson. Lichanos meson diato- Hypate meson. Parhypate meson. Lichanos meson chro- Hypate meson. Parhypate meson. ' Lichanos meson entiar- ' nos. malice. monios. Mese. Mese. Hese. Paranete synemmenon diatonos. Trile synemmenon. Paranete synemmenon chromalice. Trite synemmenon, Paranete synemmenon enharmonios. Nele synemmenon. Paramese. Paramese. Nete synemmenon. Paramese. Triie diezeugmenon. dialonos. Trile diezeugmenon. Paranele diezeugmenon chromatice. Trile diezeugmenon. Paranele diezeugmenon enharmonios. | ' N'cte diezeugmenon. ■ Trile hyperbolaeon. Paranete hyperbolaeon diatonos. Nele diezeugmenon. Trile hyperbolaeon. Paranete hyperbolaeon chromalice. Nele diezeugmenon. Trile hyperbolaeon. Paranele hyperbolaeon enharmonio.'i. Neie hyperbolaeon. Ncle hyperbolaeon. Nete hyperbolaeon. Wag es fiii Praportiauen der Klänge (StiiimieD) in den einzelnen dang^esolileohtani giebt. In Bezu^ utif die EigenthümlicliLeit der Klanggeschlechtcr maclien Avir in den einzelnen Tetracliorden die Theilung so , dass wir alle 5 Te- Irachorde des dlalonlüclien Geschledtles in 9 Ganztöne und einen Hulbtün llieilen. In die.scm Gesrhlechte nennt man den Ton unzusammcngeselzt, deswegen, weil er ein Ganzton ist und ihm kein anderes Intervall zuge- rügl wird, Es sind auch hier in den einzelnen Intenallen die Töne im- mer Gaiiztöne. Im chromatischen Geschlecht geschieht aber die Theilung durch 3 Halbli5ne und durch das im zusammengesetzte Trihemitonium '}: aber deshalb nennen wir dieses Trihemitonium unsammengeselzl , weil es in einem Intervall l>esteh(. Im diatonischen Geschlecht kann man auch die Benennung Trihemitonium anwenden in der Verbindung von tlalblon und Ganztün; dann aber ist es nicht unzusammengesetzt, denn es wird durch 3 Intenallc bewirkt; im enharmonischen Geschlecht findet dasselbe statt. Denn dieses besteht aus zwei Diesen und einem un zusammensetzten Dilonus, welchen wir deswegen unzusammengeselzt nennen, weil er in einem Intervalle besteht. Waa Sjnaphe ist. Nun Hndel in den so aufgestellten Tetrachorden eine Synaphe stall, welchen Ausdruck wir durch die lateinische Bezeichnung »conjunctio« (Verbindung; wiedergeben können, so ofl nämlich zwei Telracliorde mit einer gemeinseliafilichcn Grenze durch die Mitte verbunden werden, wie in folgenden Tetrachorden; II y pale hjpaton Parhypale liypaton Lichanos hypaton Ilypale meson ParhjTiate meson I.ichanos meson Mese. 4] Entspricht ziemlich d«r kleinen Terz. 31 liier isl das eine Tetracliord ; Hypale lij-paton , Parliypate liypulon . Ucliiinos tiypalon, Hypale meson. Das andere Tetrachord isl: Hy))ale V raeson, Parliypate meson, Liclianos meson, Mese. Zu beiden Telrachor- i den gehört also Hypate meson, welcher Klang vom ersten Tetraclionl der höchste, vom 31en aber der tief>ile isl. Es stellt üomit ein nnil dieselbe Saite, nSmlich Hypale meson, die Verbindung zwischen dem Tetrachord hypaton und Tetrachord meson lier, wie es in jenem Schemi zu ersehen ist. Synaphe, lateinisch conjunclio (Verbindung;, dednirl man also als Mitlelstimme zweier Tetrachorde, die vom prslen der höchste, vom zweiten der tiefere Klang ist. XXV. Was Diaienxta ist. Diazeuxis, d. h. Trennung (disjunctio) , ist da vorlianden, wo zwei Telrachorde in der Mitte um einen Ganzion getrennt werden, wie in den beiden folgenden Telrachorden : Hypate meson Parhypale roeson Liclianos meson Paramese Trite diezeugmenon Paranele diezeugmenon Nete diezeugmciion. Folglich sind i Telrachorde vorhanden, da 8 Saiten da sind. Dia- zeu\is, lateinisch disjunctio (Trennung:, ist vorhanden zwi.sclien Mese und Paramese, die unter einander ura einen ganzen Ton dilTeriren, worüber wir noch deutlicher sprechen wollen, da die Abliandlung spä- terhin ein Jedes zur sorgfältigeren Entwickelung heranziehen wird. Der aufroerltsam Betrachtende findet nicht mehr als 5 Telrachorde. niimlicli liypaton, raeson, synemmenon, diezeugmenon, hyperbolncon. XXVI. Hit welahen Hamen Albinna die Saiten henannt hat. Albinus hat die Namen der Saiten in lateinischer Sprache (ioerklärt, iJass er die Hypaten principates (Hauplsaiten) , die Hesen medl^c (Mitlenj , \1 ■ir 32 die Synemmenen conjunctae (verbundene) , die Diezeugmenen disjunclae (getrennte) , die Hyperbolaea excellentes (hinausragende) nennt ; aber bei einem fremden Werke wollen wir nicht verweilen. XXVII. Mit welchen Oestimeii diese Saiten verglichen werden. Hier muss noch in Betreff der früher erwähnten Tetrachorde, deren Klangordnung von Hypate meson bis Nete ist, hinzugefügt werden, dass diese Ordnung gleichsam ein Spiegelbild von der himmhschen Ordnung und Trennung giebt. Denn Hypate meson wurde dem Saturn beigelegt, Par- hypate dem Umkreis des Jupiter, Lichanos meson dem Mars, Mese der Sonne, Trite synemmenon der Venus, Paranete synemmenon dem Mer- curius, Nete jedoch dem Umkreis der Luna (des Mondes). Marcus Tul- lius stellt die entgegengesetzte Ordnung auf; denn im 6ten Buche »de re publica« sagt er so: »Die Natur bringt es mit sich, dass die aussersten Spitzen einerseits tief, andererseits hoch klingen. Deswegen wird auch jener höchste gestirnte Himmelslauf, dessen Drehung erregter ist, in einem losen und erregten Tone bewegt, in einem sehr tiefen Tone aber der des Mondes und der unterste. Denn die Erde als neunte bleibt immer unbeweglich und haftet immer am untersten Sitze.« Tullius setzt die Erde gleichsam für das Stillschweigen, indem er sie für unbeweglich hält. Nach ihr giebt er der Luna (dem Monde) den tiefsten Ton, der dem Stillschweigen zunächst liegt, so dass Luna Proslambanomenos, Mercur Hypate hypaton , Venus Parhypate hypaton, Sol Lichanos hypa- ton, Mars Hypate meson, Jupiter Parhypate meson, Saturn Lichanos meson, der Himmel schUesslich Mese ist. Welche von diesen Tönen unbeweglich, und welche im Ganzen beweglich sind, welche ferner als unbewegliche und bewegliche bestehen, hierüber wird der Ort zur Entwiclcelung passender sein, wenn ich die Eintheilung des regulären Monochordes behandeln werde. xxvm. Welches Wesen die Oonsonanzen haben. Der Gehörsinn hat die Berechtigung, die Consonanz zu beurtheilen ; doch steht die Berechnung höher. Wann nämlich 2 Saiten, eine höhere und eine tiefere, aufgespannt werden und zugleich berührt einen ver— 33 mischten und lieblichen Ton erzeugen und 2 Stimmen gleichsam ver- banden zu einer verwachsen , dann entsteht das, was man Consonanz nennt. Wenn die Saiten aber zugleich berührt werden und doch eine jede für sich fortschreiten will, und beide sich nicht zu einem für das Ohr lieblichen und einem einzigen Klange, der dennoch aus 2 Klängen besteht, vermischen, dann entsteht eine Dissonanz. XXIX. Wo die OonBonanzen gefonden werden. In diesen Yergleichungen von Hohe und Tiefe müssen nothwendi- gerweise die Consonanzen gefunden werden , welche für sich messbar sind, d. h. welche eine gemeinschaftlich • bezeichnete Mensur haben, wie z. B. in den Vielfachen jener Theü das Doppelte mi3st, welcher zwischen beiden Grenzen die Dififerenz.abgiebt, wie z. B . zwischen % und 4 das Zweifache beide misst, zwischen % und 6, welche das Drei- fache der erstem Zahl ist, doch das Zweifache, beide Zahlen misst ; zwischen 9 und 8 ist es aber die Einheit, die beide misst. Ferner in den »übertheiligen«, wo z. B. in der Proportion Sesquialter, also 4:6, das Zwreifache beide misst, da es von beiden die Differenz ist. In der Proportion Sesquiterz wie 8 : 6 misst das Zweifache beide ; dies findet aber nicht in den übrigen Gattungen der Ungleichheit statt, welche wir ?orher erwähnt haben, z. B. im Üebermehrtheiligen. Denn wenn wir 5 mit 3 vergleichen , findet man, dass sie kleiner ist, nimmt man sie zweimal, so ist sie grösser. Ebenso wenn man die Differenz zweimal nimmt und mit 5 vergleicht, ^o ist sie kleiner, nimmt man sie aber drei- mal, dann ist sie grösser als 5. Deswegen ist diese erste Gattung der Ungleichheiten nicht passend für die Consonanzen, weü in den Zahlen, welche die Consonanzen büden, mehr Aehnlichkeit zu finden ist, als in •len eben erwähnten ; man beweist dies auf folgende Weise : Das Dop- pelte ist nichts Anderes, als die einfache Zahl zweimal genommen (2:4); ilas Dreifache nichts weiter, als die einfache Zahl dreimal genommen 5:6); das Vierfache (nichts Anderes, als die einfache Zahl viermal ge- nommen (2:8). Sesquialter ist eine Zahl und die Hälfte der einfachen Zahl genommen (2:3, oder 4:6, oder 8 : < 2, oder 6:9). Sesquiterz iber ist die einfache Zahl und der 3te Theü derselben (3:4, oder 6:8, oder 9:42), was bei den übrigen in der Gattung der Ungleichheiten nicht ieiclit gefunden wird. Boetius. 3 XXX. I Was Flato über die Bildung der OonBonamen meint. i Plato meint, dasg die Consonanz im Ohre auf folgeade Weise sich ' bilde. Er sagt, es sei nothwendig, daas ein höherer Ton anch schneller sei. Da dieser also dem tieferen vorausgeht, so kommt er schoeUer zum ' Ohre, und nachdem dieser Theil des Körpers gleichsam geöffnet ist, wird gleichsam der Schlag durch wiederholte Bewegung zurückgewendet. Nun strömt aber der andere langsamere Ton in nicht zu schnellen Schwingungen dahin, weshalb er auch tiefer ist. Indem nun der höhere Ton zurückkehrt, b^egnet er dem jetzt erst ankommenden tiefen Tone auf ähnliche Weise und mischt sich mit ihm, woraus nach der Heinimg Flatus eine Consonanz entsteht. XXXI. Vax gegen FUto Nioomachiu meint. Kicomachus meint, dass dies nicht der Wahrheit gemäss gesagt worden sei ; denn es sei die Consonanz nicht die Zusammen ruh rung von ähnlichen, sondern vielmehr von unähnlichen Klängen zu einem einzigen Klange, und wenn sich nun der höhere Klang mit dem tieferen nach jener Weise in der Begegnung vermische, so gebe das keine Consonanz, weil die Aehnlichkeit diesen Zusammenklang nicht bewirkt, sondern weil er aus der Unähnlichkeit hervoi^ht, die die einzelnen Stimmen von einan- der unl erscheidet, die aber in der Mischui^ bei den Consonanzen ver- schwindet. So, meint nun Nicomachus, entsländen die Consonanzen. Nicht, sagt er, ist es nur ein Stoss, welcher den einfachen Ton hervor- bringt, sondern wenn die Saite einmal gestossen wurde, dann schlügt sie auch öfter die Luft und bewirkt mehrere Töne. Weil aber die Schnelligkeit des Stosses von der Art ist, dass ein Ton den andern ge- wissermassen zusammenfasst, so nimmt man keuien Abstand wahr, und es gelangt gleichsam nur ein Ton zu den Ohren. Wenn also die StÖsse der tiefen Töne mit den Stössen der hohen messbar sind, wie in den vorhergenannten Proportionen, so ist es unzweifelhaft, dass sich die Messung selbst mischt und nur eine Consonanz der Töne bewirkt. Welche Oomonsni mit Recht Tomnageht. Id Betreff aller der erwähnt«n Consonanzen muss das Urtheil fest- gebalteD werden, damit mau sie ebenso wie im Ohre, auch duixh Be- rechnung abwäge und feslslelle. Denn die Töne stehen zum Gehör oder der Anblick zum Auge in ganz demselben Verhältniss, wie die Zahlen oder stetigen Grössen zum Urtheil des Geisles. Denn wenn man eine Zahl oder eine Linie hinstellt, so ist nichts leichter, als mit dem Auge oder Geiste das Doppelte zu erkennen. Nachdem man das Doppelle ge- funden hat, kann man leicht daraus die Haltte folgern ; ebenso Qndel man leicht das Dreifache und kann daraus den 3ten Theil folgern. Weil QUO die Beschreibung des Doppelten leichter ist, someint Nicomac lius, dass Diapason die beste Consonanz sei, nach dieser komme Diapente, welche die Hüte hält, hierauf Diapente und Diapason als Drdfaches. Die übrigen beurtheilt er nach derselben Art und Form. Nicht lliut dies Ptolemaeus auf dieselbe Weise, dessen ganze Meinung wir spä- ter entwickeln werden. Auf welche WeiBe daa an&imehmeii ist, wob gesagt wnide. Jetzt wollen wir auf all das Gesagte, das jedoch immer noch ^or^- I lältiger zu entwickeln ist, übersichtlich und kurz aufmerksam machen, damit es unterdessen immer den Geist des Lesers an eine gewisse Debcr- I sieht gewöhne, welcher durch die weitere Abhandlung zur tiefem Er- i lenntniss gelangen wird. Wir wollen es hier ebenso machen, wie es bei den Pythagoreem Sitte war. Wenn da der Lehrer Pythagoras etwas gesagt hatte, so wagte Keiner einen Beweis dafür zu verlangen, da das Ansehen des Lehrers Beweis genug war. So lange geschah dies, bis der Geist des Schülers durch weitere und be festigende re üntem'ei' »uag dabin erstarkte, dass er selbst denselben Beweis für die gestellten Behauptungen auch ohne Unterweisung aufi'and. So müssen wir auch 'msere Behauptungen vor der Hand dem Glauben des Lesers empfehlen, dass er glaubt, Diapason bestehe in der doppelten Proportion, Diapente im Sesquialter, Diatessaron im Sesijuiterz, Diapente und Diapason in dreifacher, Bisdtapason in vierfacher Proportion. Nachher aber wird lies die Beweisführung sorgfHltiger erklären und deutlich machen, auf 36 welcbe Art und Weise auch mit dem Gehör die musikslischen Con- sonanzen erfasst werden ; kurz, alles Uebrige, was vorhergesagt wurde, soll die fernere Abhandlung darthun, dass derGanzton sowohl eine Pro- portion Sesquioctave bewirkt, als auch nicht in gleiche Theile getbeilt werden kann, sowie auch in keiner ühertheiiigen Proportion enthalten ist ; dass auch die Consonanz Dialesgaron aus 3 Ganztönen und einem Halblon besiehl, dass es 2 HalblÖne giebt, einen grossem und einen kleinern, und dass Diapente 3 Ganztone und einen kleuiem Halblon in sich enthalt, dass Diapason durch 5 Ganztöne und i kleinere HaibtÖne erfüllt wird und zii 6 GanztÖnen auf keine Weise gelangen kann. Dies werde ich später durch Zahle nberechnung und durch das ürtheil der Obren beweisen. Soweit darüber. — XXXIV. Wan eis Hnsikei ist. Jetzt müssen wir auch das betrachten, dass die ganze Kunst und ihre ganze Lehre natürlicherweise einen ehrenvolleren Rang einnimmt, als die praktische Leistung in derselben, die mit der Hand und Anstren- gung des ausübenden Künstlers bewerksteUigt wird. Denn es ist bedeu- tend wichtiger und erhabener, das zu wissen, was jeder praktische Künstler ihut, als selbst es zu machen. Denn die rein körperliche prak- tische Ausführung eines Kunstwerkes ist gleichsam nur ein dienender Sklave ; die Wissenschaft aber befiehlt als Herrin, und wenn es die Hand nicht gerade so ausführt, wie es die Wissenschaft vorschreibt, so möchte wohl Aliea vergeblich sein. Um vrie viel vortrefflicher ist also die Kennl- niss der Musik in Bezug auf Erkenntniss der Wissenschaft, als in Bezug auf praktische Ausführung? Gerade um so viel steht sie hoher, als der Geist über dem Körper steht. Der Körper nämlich verharrt untheiUiaf- tig der Wissenschaft in Sklaverei, der Geist aber befiehlt, und lenkt den Körper zum Rechten, und gehorcht dieser dem Befehle nicht, so wird er das Werk sogar als vemuntllos bezeichnen. Daher kommt es, dass die wissenschaftliche Forschung der praktischen Ausführui^ nicht be- darf. Es giefat aber keine Ausfiihnmgen mit der Hand , wenn sie nicht durch die Wissenschaft geleitet werden. Wie gross aber der Ruhm und das Verdienst der Wissenschalt ist, kann hieraus erkannt werden, dass ja die übrigen, so zu sagen, körperlichen Künstler nicht von der Disci- plin, sondern vielmehr von ihren Instrumenten selbst den Namen erhal- 37 t ten. Der Citherspieler erhält von der Cither, der Flötenspieler von der Flöte seinen Namen, und so ist es auch bei den übrigen der Fall, dass sie von ihren Instrumenten benannt werden. Der aber ist ein Musiker, welcher bei genauer Abwägung der Wissenschaft die Renntniss des Mu- sicirens nicht im Dienste praktischer Ausführung, sondern mit der Herr- schaft der Forschung in sich aufnimmt. Dies sehen wir sowohl bei Aus- fuhrung schöner Kunstwerke , als auch durch die Wortbezeichnung. Denn mit den Namen derjenigen werden die Kunstwerke benannt und für die werden Triumphe gefeiert, durch deren Befehl und Wissenschaft dieselben entworfen wurden, nicht aber mit den Namen derer, durch welche diese Kunstwerke praktisch ausgeführt und vollendet wurden. Es giebt also 3 Klassen, welche sich mit der Musik beschäftigen. Die eine beschäftigt sich mit Spielen von Instrumenten, die andere componirt Lieder, die dritte beurtheüt die Instrumentalleistungen und die Compo- sition der Lieder. Diejenigen nun der erstgenannten Klasse, also die sich mit Spielen der Instrumente beschäftigen und alle Mühe darauf verwenden, z. B. die Citherspieler, oder diejenigen, welche auf der Orgel oder den übri- gen musikalischen Instrumenten ihre Kunst beweisen, sind von einer tiefem Einsicht in die musikalische Wissenschaft weit entfernt, weU sie, so zu sagen, nur dienen und keine Wissenschaft in Anwendung bringen, sondern ganz und gar imtheilhaftig aller Erforschung sind. Die zweite Klasse der Musiktreibenden ist die der Componisten, welche mehr durch einen natürlichen Instinct zur Verfertigung eines Liedes gelangt, als dorch wissenschafthche Forschung, weswegen auch diese Klasse von der Musik (nämlich als Wissenschaft betrachtet) zu trennen ist. Die dritte iOasse ist die, welche sichere Erfahrung der ürtheilskraft besitzt, «0 dass sie Rhythmus, Melodie und die ganze Composition abwägen kann. Diese Klasse nun, da sie sich ganz und gar nüt wissenschaftlicher Erforschung beschäftigt, gehört eigentlich zur Musik. Der also ist ein Musiker, welcher die Fähigkeit besitzt, gemäss der wissenschaftlichen Erforschung und Regel in der Musik über Tonart und Rhythmus, über filanggeschlechter und deren Vermischung, über die Lieder der Compo- sition, kurz über Alles zu urtheUen, was wir später entwickeln werden. BUCH IL I. Torwort. Im vorigen Buche wurde das alles in übersichtlicher Ordnung dar- gelegty dessen sorgföltigere Entwickelung wir uns jetzt zur Aufgabe ge- macht haben. Vor allen Dingen komme ich zur Lehre von den eigent- lichen Berechnungen und werde daher nur wenige Dinge vorausschicken, durch* welche der erleuchtete Geist des Jüngers zur Aufnahme der vor- zutragenden Gegenstände gelangt. » IL Was Fythagoras für Behanptmigen über das Wesen der Philosophie anfgestellt hat. Zuerst von Allen hatPythagoras das Studium der Weisheit »Phi- losophiea genannt, die er nämlich als lehrreiche Erkenntniss des Gegen- standes ansah, welchen man für eigenthümlich und wahr hielt. Er hielt nämlich dasjenige dafür , was weder durch Anspannung wachsen, noch durch Yeningerung abnehmen, noch durch irgend welche ZuiaUigkeiten verändert werden könnte, und dies seien die Formen, Grössen, Be- schaffenheiten, Gestalten und andere Begriffe, ^e an sich betrachtet unveränderlich sind/ in Verbindung mit den Körpern jedoch Verände- rungen erleiden und nach der Erkenntniss des veränderliehen Gegen- standes selbst vielMtige Umwandlungen erfahren. in. lieber die Differenzen der Qrosse, und welche Qrösse einer jeden Disoiplin zukommt Nach Pythagoras ist jede Grösse entweder stetig oder getrennt (vel continua vel discreta] . Welche nun stetig ist, wird »Menge« , die 39 getrennte hingegen »Tielbeit« genaont. Die Eigenschaft dieser beiden ist lutgendennassen Terschieden. Die Vielheit föngt bei einer begrenzten Grösse an, und wachsend schreitet sie bis in's Unendjiche fort, so dass sie an kein Ende des Wachsens gelangt. In Bezug auf das Kleinale ist sie begrenzt, in Bezug auf das Grössere unhegrenzbar, und ihr Grund, von dem sie ausgeht, ist die Einheit, iodem es nichts Kleineres, als diese, giebt. Sie wBchst also vermittelst der Zahlen und schreitet bis in's Uu- eodlicfae fort, und keine Zahl setzt dem Wachsthum eine Grenze. — DIg iMeoge« noD uimmt für ihre Messung eine begrenzte Grösse auf, aber se verriogert sich bis in's Unendliche. Z. B. es sei eine Linie einen Fnss lang, oder auch von beliebiger Länge, so kann sie in zwei gleiche Tbeile getheilt werden; eine jede der hierdurch entstandenen HSIfIcn kamt wiederum in der Mitte getheilt werden u. s. w. , so dass für die Utagti der Theihing keüie Grenze besieht. So also ist die Hen^e in Bezug auf ihr grüsstes QuaDtum begrenzt , in Bezug auf ihre Vei-rinere- niDg jedoch nnb^renzl. Hingegen ist aber die Zahl in Bezug auf ihr tKringstee Quantum begrenzt, im Wachsen jedoch unendlich. Obgleicli dies also so unendlich ist, so handelt dennoch die Philosophie gleicli^am Ton Begrenztem und macht im Unbegrenzten etwas Begrenztes ausfiiidif-, um darauf mit Recht den Scharfsinn eigener Forschung anwenden zu kSonen. Einige zum Begriffe der Menge 'gehörende Dinge sind tin be- weglich, wie die Erde, wie das Quadrat, wie der Triangel, wie 'U'.r Kreis; andere aber beweglich,*/. B. die Weltkugel und Alles , was sich in derselben in geordneter Schnelligkeit dreht. Von der getiennien Grösee ist Einiges für sich (absolut), z. B. 3, 4 und die übrigen Zahlen. Eüiiges eulstdit ab«* durch Vei^eichung zu Anderem, z. B. das Zwt'i- tache , Dreifache u. s. w. Die Erforschung der unbeweglichen Menije omfassl die Getmietrie, die Kenntniss der beweglichen verfolgt die A.-^i ro- QOffiis. Von dem Absohiten (Fursichsein) der gelrennten Grösse ist <]lc Arilhmelik Urheberin. Die Kenntniss aber der Beziehungen der eiiizcl- nea Grössen zu einander liegt in der Husilc. IV. Veiei die Siffeieuen dei lelatJTen QrÖsHe. Ueber die getrennte Grösse haben wirin der Arithmetik ausreichend gesprochen. Von der Grösse aber, die man auf etwas bezieht, gieix es drei einfache Geschlechter. Das erste heisst vielfach (multiplex) , das 40 zweite übertheilig (superparticnlare) , das dritte übermehrlheiUg (super- partieos). Wenn nua das vielfache mit dem äbertheil^en und über- mehrtheiligen vermischt wird , so entstehen hieraus noch zwei andere Geschlechter, nämlich das vielfach übertheilige (multiples superparticn- lare) und das vielfach übermehrth eilige [multiples superpartiens) . Für alle diese gelten folgende Regeln : wenn man die Einheit mit allen Zahlen in der natürlichen Zahlenreihe vergleichen will , so bildet sich eine pro- portionirte Reihe des Vielfachen; denn 1:1 giebt das Zweifache, 3:1 das Dreifache, i:i das Vierfache u. s. w. Wenn man eine übertheilige Proportion sucht, so muss man die natürlichen Zahlen mit einander ver- gleichen, nachdem man die Einheit abgezogen hat, z. B. 3:8 giebt den Sesquialter, 4:3 den Sesquiterz , 5:4 den Sesquiquartus, und bei den übrigen Zahlen findet dasselbe statt. Das Uebermehrtheilige aber findet man so, dass man in der oatürlicben Zahlenreihe von 3 anßngt und mit einer andern diese Zahl vergleicht. Wenn nun eine Zahl zwischen der ersten und zweitnüchsten steht, so nennt man die Proportion überzwei- theilig, z. B. 3:5, wenn zwei dazwischen stehen, überdreitheilig, z. B. 4:7, wenn drei dazwischen stehen, über viertheilig, z. B. 5:9 n. S. w. Wenn man diese Reihe genau anblickt, so wird man bei sorgtält^er Durclilesung sicher die Proportionen erkennen , welche aus dem »Viel- fachen und Uebertheiligeno und aus dem »Vielfachen und Ueberraehr- theiligen^t zusammengesetzt sind, lieber all diese Dinge wurde in der Arithmelik genauer gesprochen. • Warum die Tielfu^heit voransteht. Nun ist das zu betrachten, dass die vielfache Gattung derUngleich- heit bei weitem älter zu sein scheint, als die beiden übrigen. Denn e^ werden in der natürlichen Zahlenreihe die vielfachen Zahlen immer mit der Einheil als der ersten Zahl verglichen. Die übertheilige Proportion wird aber nicht durch Vergleichung mit der Einheil bewirkt, sondern durch Vergleichung der Zahlen , welche nach der Einheit gesetzt sind, z. B. 3:ä, 4:3 u.s. w. Die Bildung der übermehrtheiligen Proportionen aber steht weit zurück, da sie nicht in der Vergleichung von fortlaufenden Zahlen, sondern von unterbrochenen besteht , wobei die Untersuchung Dicht immer gleichmässig ist. Denn bald liegt eine Zahl dazwischen, bald sind es zwei, bald drei, bald vier Zahlen, und so wächst die Menge der dazwischenliegenden Zahlen bis in's Unendliche. Femer föngt die 41 vielfache Proportion von der Einheit an , die übertheilige von zwei , die ühermehrtheilige von drei. Soweit hiervon. Jetzt müssen wir einige Grandsätze vorausschicken, welche die Griechen »Axiomata« nennen, da wir dann erst Alles genau erkennen , wenn wir von dem Beweise einer jeden Sache handeln werden. VI. Welche Zahlen Quadiatsahlen sind, nnd üher deren Erfonohnngi Die Quadratzahl ist die, welche durch Multiplication von zwei glei- chen Factoren entsteht, z.B. 2X2, 3X3, 4X4, 5X5, 6X6, u.s.w., wie folgendes Schema zeigt : 23456789 10 4 9 46 25 36 49 64 81 400. Es ist also die früher angegebene natürliche Zahlenreihe die Basis der Quadrate ; denn die Quadrate sind natürhch stetig , welche in der untei^eschriebenen Ordnung auf einander folgen, wie 4, 9, 46, u. s.w. 4 9 16 25 36 Quadrate 2 3 4 5 6 Basis der Quadrate. Wenn wir nun das stetige kleinere Quadrat von dem stetigen grös- seren abziehen, so bleibt nur derWerth übrig, welcher aus der Addition der beiden Grundzahlen dieser Quadrate entsteht, z. B. wenn ich 4 von 9 subtrahire, so bleibt 5 übrig, welche Zahl durch Addition von 2 und 3 entsteht, die ja die Grundzahlen der beiden genannten Quadrate sind. Ebenso, wenn ich 9 von 1 6 subtrahire, so bleibt 7 übrig , welche Zahl aus der Addition von 3 und 4 entsteht, welche Zahlen die Grundzahlen der genannten Quadrate sind. Ebendasselbe findet bei den übrigen statt. Wenn jedoch die Quadrate nicht stetig sind , sondern ein Quadrat zwischen zwei Quadraten ausgelassen ist, z. B. 4 und 16, wo 9 fehlt, so erhält man , wenn das kleinere vom grösseren abgezogen wird , eine Differenz, deren Hälfte durch die Addition von den beiden Grundzahlen der Quadrate entsteht. Wenn wir z. B. 4 von 1 6 subtrahiren, so erhal- ten wir die Zahl 12, deren Hälfte 6 ist; die Grundzahlen der Quadrate 2 und 4 addirt, geben diese Hälfte. In den übrigen Quadraten findet dasselbe statt. Wenn man zwei Quadrate auslässt, z. B. 4 und 25, wo 9 and 4 6 fehlen, und man diese Quadrate von einander abzieht , so erhält man eine Differenz, deren dritter TheU aus der Addition der beiden Grundzahlen entsteht. Wenn wir z. B. 4 von 25 subtrahiren, so erhal- ten wir 21, von welcher Zahl der dritte Theü 7 ist, die aus der Addition 42 der Orandzahlea i und 5 besteht. Diese Regel geht Dnn so fort, so daes, wenn drei Quadrate ausgelassen sind, ans der Subtraction der bei- den Quadrate eine Differenz entsteht, deren vierter Theil durch Addition der beiden Grundzahlen gewonnen wird ; wenn vier Quadrate dazwiscben liegen , so wird der fünfte Theil der aus der Subtraction entstandenen Differenz durch Addition der beiden Grundzahlen hervorgehen'). So wird also der genannte Theil stets in der natürlichen Zahlenreihe um eine Zahl weiter fortschreiten , wenn immer wieder noch ein Quadrat mehr in der Rcilie der Quadrate weggelassen wird, und die Zahl der weg- gelassenen Quadrate ist immer um eins kleiner, als die Zahl der Theile. vn. Die gaaK TTngleiotüieit geht ans der OleicUieit herror, tmd der Beweii dafür. Wie nun die Einheit der Ursprung der Hehrzahl ist, so ist auch die Gleichheit der Grund der Proportionen. Indem wir drei vorausneh- men, wie schon in der Arithmetik gesagt wurde, gewinnen wir also aus der Gleichheit vielfache Proportionen, aus den versetzten vielfachen erhallen wir übertheilige Grössen , ebenso wie wir aus den versetzten übcrtheiligen übermebrtheilige Proportionen gewinnen. Wir setzen z. B. drei Einheiten hin, oder drei Zweiheiten, oder drei Dreiheiten, oder über- haupt drei Zaiilün von beliebig gleicher Grösse ; die vielfachen Zahlen gewinnen wir dann so. dass wir hieraus eine zweite Reihe herstellen, in welcher die ersle Zahl gleich der ersten Zahl in der ersten Keibe ist ; die zweite Zahl der zweiten Reihe ist gleich der Addition der ersten Zahl io der ersten Reihe und der ersten Zahl in der zweiten Beihe. Die dritle Zahl in der zweiten Reihe ist dann gleich der Addition der ersten Zahl in der ersten Reihe und der zweiten Zahl in der zweiten und der drillen in der ersten Reihe ; denn indem auf diese Weise die Zahl in Progression tritt, entsteht die erste doppelte Proportion der Viellachheit, wie folgen- des Schema zeigt ; 1 i i 1 2 4. Hier ist also die Einheit iD der zweiten Reihe gleich der Einheit in i) Z. B. i von 86 subirahirt, giebt Sl, der vierte Tbeil ist S, die Grund- zahlen a und 6 addirt, geben 8; ferner ist * von 49 = 45, der fünfte Theil ist 9, die Grundiahlen t und 7 addirt, geben 9, n. s. w. 43 der ersten. Ebenso ist die Zweiheit (in der zweiten) gleich der Addition der beiden Einheiten in der ersten und zweiten Reihe. Ebenso ist das Vierfache gleich der Addition der Einheit in der ersten Reihe, der Zwei- heit in der zweiten and der dritten Einheit in der ersten Reihe. Es ist also \y i, 4 die doppelte Proportion. Wenn man nun mit diesen Zahlen dasselbe vornimmt, so erhält man eine dreifache Proportion ; wenn man mit dieser dasselbe macht , so gewinnt man eine vierfache , aus dieser wiederum auf dieselbe Weise eine fünffache, und so schreitet die Pro- gression der Grössen fort. ^) Wenn wir femer wiederum drei Zahlen uns vorsetzen, so erhalten wir auf folgende Art die übertheiligen Proportionen. Wir drehen näm- lich ^e vorhergehende Ordnung um und setzen die Zahlen 4, 2, 4 Mus- ter einander ; dann gewinnen wir eine zweite Reihe, in welcher die erste Zahl gleich der ersten in der ersteren Reihe ist, also «» 4. Die rweite Zahl in der zweiten Reihe = der ersten -)- der zweiten in der ersten Reihe,* also »>= 6. Die dritte Zahl in der zweiten Reihe = der ersten Zahl + dem Zweifachen der zweiten Zahl -|- der dritten Zahl in der e rs t en Reihe, welche Zahlenordnung die Proportion Sesquialter ergiebt, wie dieses Schema zeigt : 4 % 4 4 Sesquialter 6 Sesquialter 9.^) Wenn es vom Dreifachen geschieht, so entsteht die Proportion Sesquiterz ; wenn es vom Vierfachen geschieht, die Proportion Sesqui- quart, und wenn es von ähnlichen Regriffen in irgend einem Theile ge- schieht, so entsteht die Proportionaiilät aus der Vielfachheit. Aus der umgekehrten Uebertheihgkeit wird die übermehrtheüige Proportion her- geleitet. Man stellt nämlich die Proportion Sesquialter in umgekehrter Ordnung auf, als : 9, 6, 4, aus welcher Reihe man folgende zweite ge- winnt: Man setzt die erste Zahl gleich der ersten, also 9 = 9. Die 4) Die nächste Zahl würde also S, die darauffolgende 16, die darauf fol- gende 9S sein etc. ; denn 4 ^ 2 ^ 4 4. 4 » 8 4-1-8 + 44-84-4« 16 44.24.4 + 8H-46-f-4«S2 i 4.34.44.8-1- 46 4- 8i-f-4 ctt64 4 4. 9 4. 4 4. 8 4- 46 4- S8 4- 64 + 4 »438 5) Denn 4 » 4 4 4-2 »6 44.24.a4-4nx9. 44 zweite Zahl entsieht aus der Addition der ersten und zweiten, also 94-6= 45. Die dritte 2ahl entsteht aus der Addition der ersten «4- dem Zweifachen der zweiten •+- der dritten Zahl, also 9 + 6 + 6 -f- -^ = 25. Man stellt nun die Reihe so unter die vorhergehende: 9 6 4 9 45 25 Ueberzweitheilig. lieber zweitheilig. Die überzweitheilige Proportion ist also aus der umgekehrten Reihe der Proportion Sesquialter hervorgegangen. Wenn Jemand diese For- schung als sorgfältiger Untersucher betrachtet , so kann er aus der um- gekehrten Ordnung der Proportion Sesquiterz die überdreitheilige Pro- portion ableiten und wunderbarerweise wird er auch finden , dass aus den übrigen ähnlichen vei^lichenen Bezeichnungen alle Gattungen der übermehrtheiligen Proportion hervorgehen. Aus den nicht umgekehrten Reihen der übertheiligen Proportionen , nämlich wie dieselben aus den vielfachen hervorgingen , müssen nothwendigerweise die vielfach-über- theiligen entstehen. Aus der stehenbleibenden Ordnung (nicht umge- kehrt) der übermehrtheUigen Proportionen, nämlich wie sie aus den übertheiligen entstanden, erhält man keine anderen, als die vielfach-über- mehrtheiligen. Hierüber soweit; über diese Vergleichung haben wir schon sorgfältiger in der Arithmetik gesprochen. vni. Eine Begel, beliebig viel stetige übertheilige Proportionen au&nfinden. Es geschieht aber oft , dass der , welcher übet Musik spricht , be- liebig viel gleiche übertheilige Proportionen erforscht. Damit diese Er- forschung jedoch nicht durch Zufall und unbewusst gethan werde und kein Irrthum dieselbe erschwere und ihr hinderlich sei , so wollen wir jetzt durch folgende Regel beliebig viel gleiche Proportionen aus dem Vielfachen herleiten. Eine jede vielfache Zahl, die nämlich von der Ein- heit aus berechnet wurde , geht um so viel den übertheiligen Grössen voran, um wie viel sie selbst sich von der Einheit entfernte. So also geht das Doppelte dem Sesquialter voraus , das Dreifache dem Sesqui- terz , das Vierfache dem Sesquiquart und so fort in dieser Weise. Es sei also folgendes nachstehendes Schema der Verdoppelungen : 27 äl 108 81 168 H3. la dem obenstehendea Schema ist also das Zweifache die ersle viel- ' fache Zahl ; t hinzugerechnet, giebt 3, welche Zahl die Proportion Ses- quialter bewirken kann. Die Zahl 3 hat aber keioe andere Zahl, welche mit ihr einen Sesquialter bilden könnte, weil ihr die Mitte fehlt. ') Ferner ist die Zahl 4 die zweite Verdoppelung , diese geht den beiden Sesqui- altern voran; 6 und 9, welche letztere ebenfalls der Mitte entbehrt. Deswegen wird mit dieser letzteren keine Zahl in der Proportion Sesqai- altera verglichen, und bei den übrigen findet dasselbe statt. Aus dem Dreifachen entstehen auf dieselbe Weise die Sesquiterz-Proportionen, wie folgende ähnliche Tabelle , aus dem Dreifachen zusammengesetzt, beweist : 1 3 9 27 81 i 13 36 108 16 iS U4 6i 192 256. In der voransteh enden Tabelle sind die Proportionen , wie ersicht- lich, so entstanden, dass die erste dreifach genommene Zahl einem 5es- quiterz vorangeht, die zweite zweien, die dritte dreien und immer der dritte Theil in der letzten durch ein gewisses natüriiches Ende geschlossen wird. Wenn man nun das Vierfache aufstellt, so findet man auf dieselbe Weise Sesquiquart-Proportionen; wenn man das Fünffache aufstellt, Sesquiquint-Proporlionen und so fort. Es gehen die einzelnen vielfachen Zahlen um so viel den übertheiligen voran , als sie selbst von einander durch Einheiten verschieden sind. Wir werden-also nun eine Aufstel- lung vom Vierfachen geben , damit an derselben, wie an den übrigen, der fleissige Leser den Scharfsinn des Geistes übe. 1 4 16 64 256 5 20 SO 320 25 100 400 ISS SOO 635. 1) Die Hitte von a ist nämlich keine ganze Zahl, soDdern 1</ti Ve ^'U' 46 Diese Erforschung scheint also zu dem Nutzen aufgefunden zu sein, damit man in keinen Irrthum verfällt, wenn man 4 oder 5 oder heliebig viele Sesquialter-, Sesquiterz-, Sesquioctav- oder beliebig viele andere Proportionen aufsuchen will, und damit man solche Proportionen nicht mit dieser ersten Zahl zu vergleichen sucht, welche nicht so vielen Zahlen vorangehen und nicht so viele nach sich haben kaoa, wie viel ihr vorangesetzt sind ; sondern dass man vielmehr die vielfachen Zahlen auf- stelle und zusehe , wie viele übertheiUge Proportionen man sucht ; und dann möge man auf die vielfache Zahl blicken , welche gerade da die Einheit verliess, wie es in den obensteheaden Tabellen gezeigt ist ; wenn man also vielleicht drei Sesquialter-Proportionen sucht , so möge man nicht von der dritten Zahl aus seine Erforschung madien. Denn diese, weil die zweite vielfache Zahl die Yerdoppdung der Zahl t ist, schreitet nur zwei überiheiligen voraus , und die dritte übertheüige kaim mit dieser Zahl nicht vergUchen werden , da diese letztere noch die Hälfte von 8 hinzuzufügen sucht. Weil diese Zahl 8 nun die dritte ist, so wird sie die drei zu suchenden Sesquialter-Proportionen vollenden. Bei den übri- gen Proportionen verfährt man auf dieselbe Weise. Es giebt auch noch einen anderen Weg, die Proportionen zu vermehren , nämlich in folgen- der Weise : Die Wurzeln der Proportionen werden in denselben Ver- gleichungen die »kleinste« der Proportion genannt. Man stelle also die natürliche Zahlenreihe , wo jede folgende Zahl immer um eine Einheit vermehrt ist, so auf : 2 3 4 5 6 7. Die kleinsten Proportionen sind also im Sesquialter 3:2, im Sesqui- terz 4:3 , im Sesquiquart 5:4 , und so fort werden sich bis in's Unend- Uche die nächstfolgenden Proportionen immer um die Einheit übertreffen. Es möge also die Aufgabe vorliegen , zwei Sesquialter-Proportionen in einer stetigen Vergleichung vorzuführen. Vor allen Dingen stelle ich die Wurzeln des Sesquialter auf, und die sind 2 und 3 . Ich vervielfältige 2 durch 2, wonach ich 4 erhalte. Ebenso multiplicire ich 3 mit 2, woraus ich 6 gewinne. Femer multiplicire ich 3 mit sich selbst, wodurch ich 9 erhalte, welche Reihe wir folgendermassen aufstellen : 2 3 4 6 9. Wir finden also die beiden als Aufgabe gestellten Sesquialter- Proportionen 5:4 und 9:6. Die Aufgabe möge nun vorliegen, 3 zu finden. Ich stelle jetzt dieselben Zahlen hin, welche ich vorher bei Auf- suchung der beiden Sesquialter-Proportionen gebrauchte, und die daraus gewonnenen Proportionen setze ich dazu. Dann multiplicire ich 4 mit ), das giebt 8. Ferner mulUplicire ich 6 mit 3, das giebt 11. Ferner multiplicii-e ich 9 mit 3, das giebt 18. Ferner 9 mit 3, das giebt 27, welche Zahlen in folgender Ordnung aufgestellt werden : Dasselbe wird sieb auch bei den übrigen Proportioiiea zeigen, z. B. wenn tnaa eine Reibe von Sesquiterz-Proporlionen firidcu will, so ivird man die Wurzelproportion 3 : 4 aufstellen : 3 i 9 IS 16 i1 36 48 64. Auf dieselbe Weise kann man die Vervielfältigung \ oniohmen. wenn man die Wurzeln der Sesqniquart- Proportionen aufsielii, und durch eben dieselbe Multip lication wird man dann beliebig viele Sesquiquarl- ProportJonen erhalten. Welchen Nutzen uns dies« Betraclilutigen ge- währen, wird die folgende Zahlenreihe beweisen. IX. TTeber die Fioportion von Zahlen, welohe nach andern gemessen werden. Wenn zwei Zahlen durch ihre Differenz vollkomTiieii :iusf;eniessen wurden, so stehen die Zahlen, welche eben von ihrer Oitreretiz ausge- messen worden sind, in derselben Proportion, wie die Zahlen , nach welchen jene die Differenz ausgemessen hat. Wir haben z. B. die Zah- len 50 und 56. Diese Zahlen werden also durch daa Sesquidez-Ver- hältniss wechselseitig verglichen, und ihre Differenz ist 5. welche Zaiil der zehnte Theil von EiO ist. Diese Zahl 5 wird aiso die Zalil 50 zehn- mal messen, die Zahl 65 aber elfmal. Nach den Zahlen iO und M misst also die eigentliche Differenz, nämlich 5, ^e Zahlen 50 und 55 und es ^d to und 11 in der Sesquidez-Vei^eichimg zusamniengesetzl. Es stehen also die Zahlen, welche von ihrer eigenen Differenz vollkom- men gemessen wurden, ganz in derselben ProporCion, wie die Zahlen, nach welchen die eigentliche Differenz dieselben gemessen hat ; wenn nun irgend eine Zahlend ifferenz diese Zahlen, deren Differenz sie ist, so misst, dass eine Mehrheit der Zahlen eben diese tlessuug überschreileC, ferner dieselbe Mehrheit sich bei beiden Zahlen \orrindet, und endlich die Messung der Differenz kleiner ist, als die Hehrheil der Zahlen : so werden die Zahlen wechselseitig eine grossere Proportion bilden, als es 48 bei ihrer ursprünglichen Gestalt der Fall war, wenn von ihnen das, was nach der Messung übrig bleibt, abgezogen wurde, da ihre eigene Diffe- renz eben dieselben abmass. Wir haben z. B. die beiden Zahlen 53 und 58. Diese beiden Zah- len wird also ihre Differenz 5 messen. Die Zahl 5 misst also 53 zehnmal bis zu 50 ; es bleibt jedoch 3 übrig. Femer wird 58 von der Zahl 5 elfmal gemessen bis zu 55, und hier bleibt wiederum 3 übrig. Von beiden wird also 3 weggenommen, wonach 50 und 55 bleibt, welche Reihe so aufgestellt wird : 53 58 50 55. Hier steht es fest, dass 50 imd 55 eine grössere Proportion bilden, als 53 und 58. Denn in kleineren Zahlen wird inmier eine grössere Proportion vorgefunden, was wir gleich nachher beweisen werden. Wenn aber jene Messung der Differenz die Grösse der Zahlen über schreitet, und beide Zahlen durch dieselbe Mehrheit übertrifft, so werden die früher gemessenen Zahlen kleinere Proportionen bilden, mit der Addition der Summe , um welche die messende Differenz beide über- trifft, als vorher, wo die eigentliche Differenz dieselben abmass. Es seien also die Zahlen 48 und 53, von denen 5 die Differenz ist. Es misst also die Zahl 48 die Zahl 5 zehnmal, woraus 50 entsteht. Die Zahl 50 übertrifft nun 48 um %; ebenso misst 5 die Zahl 53 elfmal, woraus 55 entsteht, welche ebenfalls die Zahl 53 um 2 übertrifft, und zu beiden ersten Zahlen wird die Zahl % addirt, woraus sich folgende Reihe ergiebt : 48 53 50 55; 50 : 55 sind aber kleinere Verhältnisse, als 48 : 53, was aus der Mes- sung mit 5, wonach 91 addirt werden muss, zu ersehen ist. Grössere und kleinere Proportionen kann man nun hieraus erkennen. Die Hälfte ist grösser als der dritte Theil. Der dritte Theil grösser als der vierte, der vierte grösser als der fünfte, und in dieser Weise so fort. Daher kommt es, dass die Sesquialter-Proportion grösser ist als die Sesquiterz- Proportion, und wiederum letztere grösser ist als die Sesqui(juart-Pro- portion. Ebenso findet das Yerhältniss bei den übrigen statt; daher kommt es, dass bei grösseren Zahlen immer eine kleinere, und bei klei- neren immer eine grössere Proportion der übertheUigen Zahlen zur Er- scheinung kommt. Dies zeigt sich in der natürUchen Zahlenreihe. Wir stellen die Reihe auf 4, 2, 3, 4 ; 2 ist von i das Doppelte. 3 : % giebt den Sesquialter, 4 : 3 den Sesquiterz. Die Zahlen 3 und 4 sind die grösseren Zahlen, 91 und i die kleineren. In den grösseren findet man 49 eine kleinere, in den kleineren hlnge^n eine grössere Proportion. Hier- aus erhellt, dass, wenn irgendwelchen Zahlen, die eine übertheilige Pro- portion enthalten, eine gleiche Mehrheit zugefügt wird, die Proportion vor der Addition der gleichen Mehrheit grösser ist, als nachdem eine gleiche Mehrheit zugefügt wurde. X. Welche Vielheiten sich ans den Tielfftohen und übertheiligen Zahlen- ergeben. Etwas glaube ich auch nicht übergehen zu dürfen, was ich gleich Dachher beweisen will. Wenn ein vielfaches Intervall mit 2 multiplicirt wird, so ist das, was aus jener Multiplication ensteht, auch ein YieK faches. Wenn aber das, was aus einer solchen MultipUcation entsteht, kein Vielfaches ist, so ist auch das kein Vielfaches, was durch % mul- tipHcirt wurde. Ebenso wenn eine übertheilige Proportion mit 2 mul- tiplicirt wird, so ist das, was entsteht, entweder übertheilig oder viel- fach. Wenn das, was aus einer solchen Multiplication entsteht, weder übertheilig noch vielfach ist, dann ist auch das , was mit t multiplicirt wurde, weder übertheilig noch vielfach, sondern von einer andern Gattung. XI. Welche üebertheilige Vielfache herrorbringen. Hier ist nun hinzuzufügen, dass die ersten beiden Uebertheiligen die erste vielfache Proportion bewirken. Wenn z. B. Sesquialter und Ses- quiterz verbunden werden, so bewirken sie das Doppelte. Wir haben die Zahlen 2, 3, 4. — 3; 91 giebt den Sesquialter und 4:3 den Ses- quiterz ; 4 : 2 aber das Zweifache. Wenn femer die erste vielfache Zahl der ersten übertheUigen hinzugefügt wird, so entsteht die zweite viel- fache Zahl. Wir haben die Zahlen 2, 4, 6 ; 4 : 2 ist das Doppelte, mithin das erst« Vielfache. 6:4 giebt den Sesquialter, was die erste übertheUige Proportion ist ; 6:2 ist das Dreifache , also das zweite Vielfache. Wenn man das Dreifache zum Sesquiterz addirt, so erhält man das Vierfache ; wenn man das Vierfache zum Sesquiquart addirt, erhält man das Fünffache. Wenn man also in dieser Weise die viel- fachen mit den übertheUigen Zahlen verbindet, so schreiten die Viel- fachen bis in's Unendliche fort. BoeÜQB. 4 Veber die arJttuoetüolie, geometriBche und harmonische Mitte. Weil wir das Nöthige über die Proporlionen vorlier behandelt haben, so wollen wir jetzt über die Mitten sprechen. Die Proportion ist eine gewisse Vergleichung zweier Grenzen*) zu einander, die Grenzen nun nenne ich Zahlensummen. Die Proportionalilät ist die Sammlung gleicher Proportionen ; diese Proportionalität besteht in drei kleinsten Grenzen. Häufig besteht sie auch in mehreren, wie in vier oder sechs Grenzen. Wenn die erste Grenze zur zweiten eben dieselbe Proportion enthält, wie die zweite zur dritten, so nennt man dies Proportionalität. Und unter drei Grenzen ist die zweite die mittlere. In Bezug auf diese mittlere Grenze, welche diese Proportionen verbindet, findet eine drei- fache Theilung statt. Die Differenz der tdeineren Grenze zur mittleren und der mittieren zur grössten ist gleich ; aber nicht ist die Proportion gleich, wie in diesen Zahlen I, 2, 3, wo zwischen i und 3 und zwi- schen % und 3 nur die Einheit Differenz ist. Die Proportion ist hier nicht gleich; denn i:i ist das Doppelte , 3:3 ei^ebl den Sesquialter. Eine gleiche Proportion bei beiden Vergleichungen wird nicht durch gleiche Differenzen bewirkt, wie in den Zahlen 1 , 3, i, obgleich S : t ebenfalls das Doppelte ist, wie i:i. Zwischen 4 und % ist aber S, zwi- schen 3 und < hingegen die Einheit Differenz. Die dritte Gattung der' Mitte ist nun die , welche weder aus denselben Proportionen , noch aus denselben Differenzen besteht. Wie sich aber die grösste zur kleinsten Grenze verhält, so verhält sich die Differenz der grösseren Grenzen zur Differenz der kleineren Grenzen, wie in diesen Zahlen 3, 4, 6. Denn 6:3 ist das Doppelle; zwischen 6 und 4 ist jedoch 2 Differenz, zwischeQ 3 und i aber die Einheit. i:i verglichen giebt wiederum das Doppelte, also verhält sich die grösste Grenze zur kleinsten, wie die Differenz der grossem zur Differenz der kleineren Grenzen. Jene Hitte wird arilhme- tiscl^e genannt, in welcher gleiche Differenzen sind. In welcher jedoch gleiche Proportionen sind, die wird geometrische genannt. Jene aber, die wir als dritte beschrieben haben, harmonische, von welchen wir folgende Beispiele hinsetzen : Arithmetische : Geometrische : Harmonische : 1, 2, 3. 1, a, 4. 3, 4, 6. Gleiche Differenzen. Gleiche Proportionen. Verschiedene Differeozea UDd Proportionen. 4) Grenze ^ Zahlengreaie ^ Zahl. 51 Wir wissen jedoch recht wohl, dass es auch aadere Hitlen der ProportioncD giebl, von denen wir in der Arithmetik gesprochen haben ; zur gegenwärtigen Abhandlung sind indess nur diese nothwendig. Von diesen drei Mitten nennt man im eigentlichen Sinne und ganz besonders Dur die geometrische : Proportionalität, deswegen, well sie ganz und gar mit Reichen Proportionen verknüpft ist. Dennoch gebrauchen wir dieses Wort ohne Unterschied von allen dreien und nennen eben auch die übrigen Proportionalitäten in dieser Weise. üeber die stetigen tmd getrennten Mitten. Von diesen Mitten nennen wir die eine stetige, die andere getrennte Proportion alitat. Die stetige ist so, wie wir sie vorher auseinandergesetzt haben; eine und dieselbe mittlere Zahl nämlich steht an Werth der grösseren nach, übertrifn jedoch an Werth die kleinere. So oft aber zwei mittlere Zahlen sind , dann nennt man das Verhältniss getrennt« Proportionalitat, wie z. B. in der geometrischen auf folgende Art: I, S, 3, 6. Wie sich hier 8:1 verhält, so verhült sich auch 6:3, und man nennt dies getrennte Proportionalität, woraus man ersehen kann, dass die stetige Proportionalität immer in drei Zahlen gefunden wird, die ge- trennte aber in vierZahlen. Es kann aber auch in vier und noch mehreren Zahlen eine stetige Proportion vorhanden sein , wenn nämlich folgendes i^hlenverhältniss slaltflndet : 1, I, 4, 8, 16. Hier werden aber nicht nur zwei, sondern mehrere Proportionen vorhanden sein, und es wird in der Anzahl der Proportionen immer eine weniger sein , als Zahlen auf- geslelll sind. XIV. WEunm die frtthei erläuterten Mitten so genannt worden sind. Deswegen nun wird die eine Mitte die arithmetische genannt, weil zwischen den Grenzen, der Zahl nach, eine gleiche Differenz besteht. Die andere wird deswegen geometrische genannt, weil die Beschaffen- heil der Proportion ähnlich ist. Die letzte wurde harmonische ge- nannt, weil sie so beschaffen ist , dass man in Bezug auf die Differenzen and Grenzen Gleichheit der Proportionen wahrnimmt. Hierüber wurde I 52 schon eingehender in der Arithmetik gesprochen ; jetzt durchlaufen wir es nur flüchtig, um es zu erwähnen. XV. Wie Yon der Oleiohheit die vorhergeEannten Mitten ausgegangen sindi Jetzt wollen wir ein wenig darüber sprechen, wie jene Propor- tionalitäten von der Gleichheit hervorgebracht werden. Es wurde vor- her darüber gesprochen, was in der Zahl die Einheit vermag. Dasselbe vermag in den Proportionen die Gleichheit, und wie die Einfachheit das Haupt der Zahlen ist, so ist die Gleichheit der Grund der Proportionen. Deswegen entsteht nun die arithmetische Mitte von der Gleichheit auf folgende Weise: Wenn wir drei gleiche Grenzen (Zahlen) aufstellen, so giebt es zwei Arten , nach welchen diese Proportionalität hergeleitet wird. Man setzt die erste Zahl der ersten gleich. Die zweite setzt man gleich der Summe der ersten und zweiten. Die dritte setzt man gleich der Summe der ersten , zweiten und dritten , was folgendes Bei- spiel zeigt: Wir haben drei Einheiten. Die erste wird der ersten gleich gesetzt, also ist 1 = \, Die zweite ist gleich der Summe der ersten und zwei- ten, folglich = 2 . Die dritte ist gleich der Summe der ersten , zweiten und dritten, mithin == 3, wie die Aufstellung zeigt: 4 4 i \ 2 3. Ferner mögen drei Zweiheiten in der Gleichheit aufgestellt werden^ nämUch 2, 2, 2, so wird die erste gleich der ersten gesetzt, d. h. =2, die zweite gleich der Summe der ersten und zweiten, folglich = 4 , die dritte gleich der^umme der ersten, zweiten und dritten, also =6, und die Reihe wird dann diese sein : 2 2 2 2 4 6. Hierbei ist noch zu beachten , dass , wenn die Einheit als Grund-- dement der Gleichheit aufgestellt v^rurde , die Einheit auch in Bezug auf die Differenzen der Zahlen vorhanden sein wird, und die Zahlen selbst keine andere Zahl (als die Einheit] zwischen sich lassen. Wenn jedoch die Zweiheit Grund der Gleichheit ist, dann ist auch Zwei Differenz zwischen den einzelnen Grenzen ; es liegt also eine natürliche Zahl da-- zwischen. Wenn die Dreiheit Grund der Gleichheit ist , dann ist auch 53 Drei Differenz zwischen den einzelnen Grenzen; es liegen also zwei natürliche Zahlen dazwischen, und auf diese Weise geht es fort. 3 3 3 3 6 9. Es giebt auch noch einen andern Weg , dicv arithmetische Propor- tionalität herzustellen. Man setzt drei gleiche Grenzen und setzt die erste Zahl gleich der Summe <ier ersten und asweitea, die zweite gleich derSumsie der ersten und zweimal zweiten, die dritte gleich der Summe der ersten, der zweimal zweiten und der dritten Grenze. Z. B. es sind drei Einheiten. Dann wird die erste Zahl gleich der Summe der ersten and zweiten Einheit, dt i. Zwei. Die zweite wird gleich der Summe der ersten und zweimal zweiten, d. i. Drei. Die dritte wird gleich der Summe der ersten und zweimal zweiten und dritten Zahl, d. i. Vier. 4 i \ 91 3 4. Hier also ist* die Einheit die Differenz der Grenzen; denn zwischen t imd 4 und zwischen ^ und 91 liegt die Einheit. Weiter liegt keine natürliche Zahl dazwischen. Nach der Einheit nämlich liegt zunächst die ' Zweiheit, und nach dieser naturgemäss die Dreiheit. Dasselbe findet nun auch in der Zweiheit statt. Wir haben z. B. dreiZweiheiten, dann wird die erste 2ahl. gleich der Sunmie der ersten und zweiten, d. i. 4 ; die zweite ^eidi der Summe der ersten und zweimal zweiten , d. i. 6 ; die dritte gleich der Summe der ersten, zweimal zweiten und dritten, d. i. 8. ^ 91 91 2 4 6 8. Hier ist Zwei die Differenz der Grenzen , und es liegt immer eine natürliche Zahl zwischen diesen. Denn zwischen 4 und 6 liegt die natürliche Zahl 5, und zwischen 6 und 8 die natürliche Zahl 7. Wenn nun die Dreiheit der Grund der Gleichheit ist , so ist die Differenz 3 ; z. B. es seien drei Dreiheiten nach obiger Regel 3 3 3 6 9 42. Bei diesen ist die Differenz 3, und es liegen immer zwei natürliche Zahlen zwischen den Grenzen , also immer eine Zahl weniger , als die Differenz anzeigt. Dasselbe findet 'J>ei der Zahl 4 , bei der 5 u. s. w. statt, was wir mitStülschweigen übergehen könn^i, da es sich nach den aog!0gebenen Regeln der aufimerksame Leser selbst abstrahiren kann. Dann wollen wir zeigen , .wie die geometrische Proportionalität von der Gleichheit gefunden werden kann, wann wir auseinandersetzen werden, • 54 wie anch von der Gleichheit jede Ungleichheit hervorgeht; wenn es nicht Ueberdruss verursacht, so wollen wir es jetzt auch kurz wieder- holen. Es werden also die gleichen Grenzen aufgestellt; dann wird die erste der ersten gleich. Die zweite wird gleich der Summe der ersten und zweiten. Die dritte (^eich der Summe der ersten, der zweimal zweiten uad der dritten. — Dasselbe geschieht stetig, und so nimmt auch die geometrische Proportionalität von der Gleichheit ihren Anfang. — Deber diese Bigenschaflen der Proportionen haben wir schon in der Arithmetik so soi^ältig als möglich gesprochen ; wenn darauf der mit jenem vertrante Leser Bedacht nimmt, so wird er duroh keinen Zweifel und Irrthum beunruhigt werden. Die harmonische Mitte nun, von wel- cher wir jetzt ausführlicher handeln werden, entsteht auf folgende Weise. Wenn wir doppelte (Proportionen) bilden wollen , so nehmen wir drei gleiche Grenzen an ; dann wird die erste gleich der Summe der ersten und der zweimal zweiten. Die zweite gleich der Summe der zwei- mal ersten und zweunal zweiten. Die dritte gleich der Summe der ersten, der zweimal zweiten und dreimal dritten. Wir haben also hier droi Einheiten : I t I. Die erste Zahl wird gleich der Summe der ersten und der zweimal zweiten, d. i. 3. Die zweite gleich der Summe der zweimal ersten und zweimal zweiten, d. i. 4. Die dritte gleich der Summe der ersten, der zweimal zweiten und dreimal dritten, d. i. 6. Wenn imn in den Zwei- heiten oder in den Oreiheiten die Gleichheit construirt , so ergiebt sich hieraus dieselbe Berechnung für die Hitte, indem im erstem Falle S und im letzteren 3 als Differenz für die Grenzen erscheint, wie es folgendes Schema erklärt : 1 I 1 9 (3 48. Wenn man in den Endpunkten eine dreifache Proportion machen will, so setzt man wiederum droi Grenzen gleich. Dann vtird die erste Zahl gleich der Summe der ersten und zwdten werden. Die zweite ^eich der Summe der ersten und zweimal zweiten. Die dritte gleich der Summe der ersten , zweimal zweiten untt dreimal dritten , wie das nachstehende Schema zeigt : 55 \ \ 4 2 3 6, % % t 4 6 <2, 3 3 3 6 9 48. XVI. üeber die harmonische Mitte, und über dieselbe eine eingehendere Forschung. Da wir nun das harmonische Gespräch (Gespräch über die harmo- nische Mitte) angefangen haben, so meine ich, dürfen wir auch nicht mit Stillschweigen übergehen, was sich weiter darüber sagen lässt. Man stelle die harmonische Proportionalitat auf, und in dieses Schema, nach der früheren Ordnung der Grenzen unter einander, setze man die Diffe- renzen dazwischen: Differenzen der Zahlen 4 2 Diatessaron Diapente Sesquiterz Sesquiaiter Doppelte Proportion Diapason. Man sieht also , dass 4:3 die Gonsonanz Diatessaron hervorbringt, 6:4 in Diapente consoniren, 6:3 sich in der Symphonie Diapason mischen nnd ihre Differenzen selbst wiederum dieselbe Gonsonanz feststellen. Denn 2:4 ist als Doppeltes in der Gonsonanz Diapason aufgesteUt. Wenn man die äusseren Zahlen mit einander multiplicirt und ebenso auch die mittlere Zahl durch Multiplication mit sich selbst wächst , so geben die Prodncte der Zahlen mit einander verglichen die Proportion des Ganz- tones ; denn 3X6 giebt 4 8, und 4X4 giebt 4 6. Die Zahl 4 8 überschreitet die Zahl 4 6 um den 8. TheU der kleineren Zahl (46). Wenn man die kleinste Zahl, also hier 3, nüt sich selbst multiplicirt, so erhält man 9. Wenn man femer die grösste Zahl mit sich selbst multiplicirt , so erhält man 36, welche beiden Zahlen, mit einander verglichen, das Vierfache ergeben, also die Gonsonanz Bisdiapason bewahren. Wenn wir dies genauer betrachten , so wird die ganze Sache aus der wechselseitigen Multiplication der Differenzen oder Grenzen bestehen. Wenn wir die kleinste Zahl mit der mittleren multipliciren, so erhalten wir 4 2. Ebenso l 56 wenn wir die kleinste Zahl mit der grÖssten multipliciren, so erhalten wir \ 8. Wenn aber die Mittelzahl mit der grÖssten multiplicirt wird, so entsteht daraus 24. Wenn wir weiter die kleinste Zahl mit sich selbst multipliciren, so giebt es 9. Auf dieselbe Weise entsteht aus der mitt- leren 4 6. Wenn man die grösste Zahl, also 6 , mit sich selbst multipli- cirt, so erhält man 36, welche Zahlen alle in dieser Ordnung aufgestellt werden: 36, 24, 4 8, 4 6, 4 2, 9. 9 46 36 3 4 6 42 24 4S. Es sind ^so die. Proportionen für die Consonanz Diatessaron 24:4 8 und 4^:9. Für Diapente aber 48:42, 24:46, und 36:24. Das Dreifache ist. Diapason mit Diapente 36:42. Das Vierfache ist Bisdiapason 36:9. Epogdous aber, d.i. Ganzton, wird in der Yergleichung von 4 8 und 4 6 dargestellt : 36:9 24:46 Doppeloctave , Quinte , 36:42 48:42 Octave und Quinte, Quinte, 24:42 24:48 Octave, Quarte, 48:9 42:9 Octave, Quarte, 36:24 48:46 ' Quinte, Ganzton. XVII. Wie zwischen zwei Zahlen die Torhergenannten Mitten wechseheitig gesetzt werden. Es werden aber oft zwei Zahlen gegeben und so aufgestellt, dass wir zwischen diese bald die arithmetische, bald die geometrische, bald die harmonische Mitte setzen können , worüber wir auch in der Arilh- metik gesprochen haben ; wir wollen es hier in Kürze noch einmal entwickeln. Wenn man die arithmetische Mitte sucht , so muss man die Differenz der gegebenen Grenzen (Zahlen) finden, dieselbe theUen und zu der kleineren Zahl addiren. Wenn also 4 und 40 die wechselseitig aufgestellten Zahlen sind, so suchen wir die Mitte derselben nach der arithmetischen Proportionalität auf folgende Weise : Die Differenz beider 57 Zalüen ist 30 ; diese theileD wir und gewinnen dadurch 1 5 , welche Zahl wir zur kleineren Zahl, also zu 10, addiren, wodurch wir 25 er- halten. Wir setzen nun diese Zahl als Mitte zwischen 10 und 40, wo- doreh wir die arithmetische Proportionalität gewinnen, in dieser Weise : \0, 25, 40. Ebenso können wir zwischen die angegebenen Zahlen die geometrische Mitte setzen. Ich multiplicire die beiden Zahlen 4 und 40 mit einander, wodurch ich 400 erhalte, hiervon nehme ich die tetra- gonale Seite (d. h. die Wurzel), welche ist 20 ; denn 20X20 giebt 400. Wenn ich also 20 zwischen 40 und 40 als mittlere Zahl setze, so erhalte ich die geometrische Mitte nach ihrer Ordnung : 4 0, 20, 40. Wenn wir aber die harmonische Mitte suchen, so . addiren wir die gegebenen Zah- len 40 und 40 mit einander, woraus wir 50 gewinnen. Die Differenz der beiden Zahlen ist 30. Die kleinere Zahl 40 multipliciren wir mit dieser Differenz 30 und erhalten hieraas 300, welches Product wir durch die Summe der Zahlen, d. h. durch 50, theilen, was 6 ergiebt. Wemi wir diese Zahl zur kleineren addiren , so erhalten wir 4 6 ; und diese Zahl zwischen 4 und 40 als mittlere Zahl gesetzt, giebt uns die harmonisehe Proportionalität 40,46,40^). ^ XVIII. üeber die Beschaffenheit der Oonsonanzen nach Kicomachas. Hierüber soweit ; jetzt wollen wir hinzufügen, wie die Pythagoreer beweisen, dass die musikalischen Gonsonanzen in vorgenannten Propor- tionen gefunden werden, in welchem Punkte Ptolemaeus nicht mit ihnen übereinzustimmen scheint, worüber wir gleich nachher sprechen wollen. Diese Gonsonanz ist als die erste und lieblichste hinzustellen, deren Eigenthümliehkeit der Sinn leichter erfasst. Denn wie ein jedes Ding an sich beschaffen ist, eben so wird es vom Sinne aufgefasst. Wenn also die Gonsonanz , wdche in der Verdoppelung besteht , leichter als alle anderen epkefanbar ist, so ist unzweifelhaft Diapason die erste Gonsonanz von allen und steht mit Recht voran, weil sie zuerst am leichtesten er- kannt wird. Die übrigen Gonsonanzen aber stehen nothwendiger Weise nach der Meinung der Pythagoreer in der Ordnung, welche die Vermeh- nmgen der Vielfachheit und die Verringerungen der übertheiligen Grössen 4) Die Proportion ist also : 40:40:«{40— '46): (46—^40) oder 40:40^24:6; denn 340 »»240. 58 ei^eben haben. Es ist schon gezeigt worden, dass die vielfache Un- gleichheit die übertheiligen Proportionen an Alter des Werthes über- trifil. Es werde deswegen die natürliche Zahtenreihe von ( bis 4 au(- gesteUt, also: 1, S, 3, 4. Zwei mit 1 vei^lichen giebt die doppelte Proportion nnd erzeugt die Consonanz Diapason (Octave) , welche die höchste und durch Einfachheil sm leichtesten erbenobare ist. Wenn man 3 mit 1 vergleicht, so erhält man die Consonanz Diapason und DiapoQte (Octave mit Quiste). Vier mit I verglichen zeigt das Vierfache und bewirkt die Symphonie Bisdiapason (Doppeloctave) ; wenn 3 mit 1 verglichen wird, so erhält man Diapente [Quinte). Wenn 4 mit 3 ver- glichen wird, so erfüllt es die Consonanz Diatessaron (Quarte) . Dies ist die Ordnung derselben, nachdem allesammt wecliselseitig vei^chen wurden. Denn die übrigbleibende Vei^eichung 4 : S liegt in der doppel- ten Proportion und ist ganz dieselbe wie ä : t . Ein gleiches VerhBltniss haben auch die Töne in Bisdiapason , wenn sie durch vielfache Ausdeh- nung des Intervalls von einander getrennt sind. Das kleinste (conso- nirende) Intervall ist aber das, wenn der höhere Ton den tieferen um den dritten Theil des tieferen überschreitet, und so steht femer der Cha- rakter der Consonanzen fest, dass dieser weder über das Vierfache aus- gedehnt, noch mehr als bis zum dritten Theil verringert werden kann. Nach Nicomachus ist die Ordnung der Consonanzen folgende : I . Diapason, i. Diapason und Diapente, 3. Bisdiapason, 4. Diapente, 5. Diatessaron. XIX. üeher die Ordnnng dei OonsonaiLEeii nach Eabalidea und Hippasns. Eubulides und Hippasus stellen jedoch eine andere Ordnung der Consonanzen auf. Sie sagen , dass die Vennehrung der Vielfachheit der Verringerung der Uebertheiligkeit in vernünftiger Ordnung ent- spreche. Es könne nämlich kein Zweifaches ohne die Hälfte, kein Drei- faches ohne den dritten Theil geben. Weil also ein Doppeltes esistiri, so entsteht daraus die Consonanz Diapason. Weil es nun eine H&lfte giebt , so entsteht gleichsam aus dieser entgegengesetzten Theilung die Proportion Sesquialter, d. i. Diapente. Wenn diese vermischt werden, nämlich Diapason und Diapente, so entsteht die dreifache Proportion, welche beide Symphonien in sich fasst. Und femer entsteht der dritte Theil durch die entgegengesetzte Theilung des Dreifachen. Hieraus ent- steht wiedemm die Symphonie Diatessaron. Wenn die dreifache und Ses- qniterz-Proportion verbunden werden, so bewirkt man eine vierfache Pro- 59 portioD, woher es kommt, dass aus der Y^rbindang von »Diapason und 'Diapente« (welche eine Consonanz ist) und »Diatessaron« eine Consonanz hervorgeht, welche, im Vierfachen bestehend, Bisdiapason genannt wird. Nach diesen Männern ist die Ordnung also folgende : 4 . Diapason, t . Dia- pente, 3. Diapason und Diapente, 4. Diatessaron, 5. Bisdiapason. XX. Was nadi der Meinung des ITicomaohns diesen Oonsonanzen entgegen- gesetzt wird. Nico mach US meint, dass diesen Gonsonanzen nicht eben diese gegenseitige Stellung zukomme ; sondern wie vielmehr in der Arithmetik die Einheit der Ausgangspunkt des Wachsens und des Abnehmens war, so sei auch die Symphonie Diapason der Ausgangspunkt der übrigen Gonsonanzen ; diese aber könnten durch entgegengesetzte Theüung fest^ gestellt werden. Dies wird leichter erkannt, wenn man es vorher in den Zahlen gesehen hat. Es wird also die Einheit aufgestellt, und zwei Theile entstehen aus dieser , einer in der Vervielfältigung, der andere in der Theilung. Die Formel ist daher diese : Vs 3 Ve 6. In dieser Weise schreitet die Reihe bis in's Unendliche fort. Denn 2 ist das Doppelte von 4 ; der gegenüberstehende TheU zeigt die Hälfte der Einheit (V2)- ^^^^ ^^ d^ Dreifache, das GegentheU ist der dritte TheU ( V3) . Vier ist das Vierfache , das GegentheU ist der vierte TheU V4) . So liegt in der einfachen Einheit der Anfang des Wachsens und Abnehmens. Dasselbe wenden wir jetzt auf die Gonsonanzen an. Es steht i\so die Consonanz Diapason, weiche die Verdoppelung ist, an Stelle des letzten Ausgangspunktes, und die übrigen liegen an der entgegengesetz- ten TheUung auf folgende Weise : Sesquialter nämlich im Dreifachen, Sesquiterz aber im Vierfachen, was durch nachstehenden Beweis darge- thao wird. Eben dieselbe Zahl ist der erste Sesquialter, welche das erste Dreifache, nämlich von der Grundeinheit, ist. Denn Drei ist in Bezug auf die Einheit das erste Dreifache. Eben diese Zahl ist der erste Sesquialter, 60 wenn sie mit S verbuchen wird. Ferner ist eben diese Zahl 3 das Drei- fache derselben Differenz , welche sie mit der Zahl i macht , als deren natürlicher Sesquialter sie eben bewiesen worden ist. Da also mit Recht der Sesquialter zum Dreifachen gerechnet wird , so ist Diapenle Conso- nanz ; »DiapeUte und Diapason« werden vernünftigerweise ebenfalls zu den Consonanzen gezahlt. Ferner enthält das Vierfache die entgegengesetzte Theilung des Ses- quiterz. Denn die Zahl, welche das erste Tierfache ist, eben dieselbe wird auch als erster Sesquiterz vorgefunden. Vier ist nämlich das erste Vierfache, wenn diese Zahl mit der Einheit verglichen wird, und im Ver- gleich zu 3 ist sie erster Sesquiterz. Femer ist eben diese Zahl das Vier- fache derselben Differenz, welche sie mit der 3 macht. Daher 'kommt es, dass die Proportion Sesquiterz, welche Dlatessaron ist, der vier- fachen Proportion zugerechnet wird , welche BisdiapasiMi ist und eine entgegengesetzte Theilung besitzt. Weil aber das Doppdte keine ent- gegengesetzte Proportion hat , und es von ihr sähst keinen Sesquialter giebt , ebenso wie auch keine Zahl vorhanden ist , mit welcher die Zahl 3 als erstes Doppeltes in der übertheiligen Proportion verbunden werden könnte , so scheidet es eine soldie Form der gegaotheiligen Proportion aus. Deswegen behauptet nach der Meinung des Nicomachus Diapason den Grund der Consonanzen in dieser Weise : l) Diapason i) Diapente und Diapason 3) Diapente 4) Bisdiapason ä) Diatessaron. Er sagt aber : obschon es sich so verhalte , so gingen doch besser die vielfachen Proportionen der Consonanzen voraus , die übertheiligen folgen dann, ebenso wie wir es vorher beschrieben haben. Die Conso- nanz sei also die vernünftige Vereinigung zweier Stimmen , der Klang aber der Fall einer modulirten Stimme , auf eine Klanghöhe hingeführt, und ebenderselbe Klang 'Sei das Icleinste ThefJchen der Modulation und jeder Klang «itstehe ans einem Schlage , jeder Schlag gehe aber hervor aus der Bewegung. Da einige Bewegungen gleich , andere ungleich and von eben den ungleichen Bewegungen einige mehr, andere weniger, noch andere massig ungleich sind, so entsteht aus der Gleichheit die Gleichheit der KUnge. Aus der Ungleichheit sind die , welche nach Haassnahme der EntfemuDg ungleich sind, offenbare, woraus die ersten und einfacheren Consonanzen konunen, welche nämlich vielfach und übertheilig sind, also die Consonanzen des Doppelten , Dreifachen, Vier- fachen, Sesquialter und Sesquiterz. Aus den Klängen aber, welche in 61 den übrigen Proportionen, enthalten sind, also in den vielfältigen oder in den nicht so deutlichen oder in denen, die im Allgemeinen weit von ein- ander entfernt stehen, gehen Dissonanzen hervor, und keine Eintracht der Klänge ergebe sich daraus. XXI. Was yoraussasohickeiL ist, damit bewiesen würde, dass Diapason im Yielfachen Oeschleoht sich vorfinde. In dieser Erörterung soll bewiesen werden, dass die Consonahz Diapason, welche die beste von allen ist , in der vielfachen Gattung der Ungleichheit und in der Proportion der Verdoppelung gefunden wird. Zuerst muss das dargethan werden , wie man in der Gattung der Viel- fachheit Diapason als Consonanz erkennen kann. Es ist also Einiges kurz vorauszuschicken , nach dessen Erkenn tniss der Beweis von jeder übertheiligen Proportion leichter wird. Wenn man die stetige überthei- lige von der wegnimmt, welche kleiner ist, so ist das , was übrig bleibt, kleiner, als die Mitte desjenigen, was von der Proportion abgezogen ist, z. B. im Sesquialter und Se$q4,LUerz. Weil der Sesquialter grösser ist, so ziehen wir den Sesquiterz vom Sesquialter ab, und es bleibt übrig die Proportion Sesquioctave, welche in der Verdoppelung nicht eine ganze Proportion Sequiterz bewirkt, sondern sie ist um diese Entfernung, welche im Halbton gefunden wird, kleiner. Wenn die verdoppelte Pro- portion Sesquioctave nicht eine ganze Proportion Sesquiterz ist , so ist die einfache Proportion Sesquioctave auch nicht die volle Hälfte der Pro- (K)rtion Sesquiterz , und wenn man den Sesquiqart vom Sesquiterz ab- zieht, so giebt das, was übrig bleibt, nicht die Hälfte des Sesquiquart. Dasselbe findet bei den übrigen statt. XXII. Beweis durch Negation, dass Diapason im vielfachen Geschlecht liegt. Wir wollen nun zur Consonanz Diapason zurückkehren. Wenn diese nicht in der vielfachen Gattung der Ungleichheit liegt , so fällt sie in die übertheüige Gattung der Ungleichheit hinein. Es sei also die über- theilige Proportion die Consonanz Diapason. Von dieser wird die stetige Consonanz Diapente weggenommen, imd dann bleibt übrig Diatessaron. Bisdiatessaron ist also kleiner als Diapente, und Diatessaron selbst erfüllt iiicht die Hälfte der Consonanz Diapente , was unmöglich ist , denn es wird gezeigt, dass Bisdiatessaron die Consonanz Diapente um einen Ganz- 62 ton und Halbton überschreitet. Deswegea kann auch nicht Diapason in die übertheilige Gattung der Ungleichheit gesetzt werden. Gaazton Ganzton S88:3S6 S16H93 Differenz Differenz 38 %i Halbton Diatessaron S&6:St3 35G:l9ä Differenz Differenz 13 64 Ganz ton Diapente 313:316 3S8:<92 Differenz Differenz Beweis durch Negation, daae Diapente , Biateesaion und der Oanatou in der fitiertheiligen Fioportion liegen. Es bleibt also übrig zu zeigen, dass Diapente , Diatessaron und der Ganzton in die übertheilige Proportion zu setzen seien. Dena obschon dies auch bereits im ersten Beweise , wo wir zeigten , dass Diapason in ■ die übertheilige Galtung nicht zu setzen sei, durch eine gewisse Berecli' nungsart klar wurde, so wollen wir doch jetzt diesen Punkt besondersund sorgfältiger behandeln. Wenn nämlich Jemand sagt, dass diese Propor- tionen nicht in die übertheilige Gattung zu setzen seien, so wird er zuge- stehen, dass sie in der vielfachen Gattung liegen. Denn warum sie nicht in der übermehrlh eiligen oder in den übrigen vermischten Gattungen liegen können , ist schon früher , wie ich meine, erklärt worden. Sie mögen also (wenn es geschehen kann) in die vielfache Gattung gesetzt werden. Und weil nun Diatessaron die Ueinere Consonanz , Diapente aber die grössere ist, so möge Diatessaron der doppelten, Diapente aber der dreifachen Proportion der Vielfachheit angepasst werden. Denn wahrscheinlicherweise wird, da die Consonanz Diatessaron mit der Con- sonanz Diapente stelig ist , ebenso Diapente , wenn Diatessaron in das Doppelte gesetzt wird, im stetig Doppelten liegen, d. i. im Dreifachen. Der Ganzton jedoch , weil er in den musikalischen Proportionen nach Diatessaron gesetzt ist, muss gewiss in der Proportion liegen, welche kleiner als das Doppelte ist. Das kann man aber in der Gattung der Vieirachheit nicht findea. Es bleibt also übr^, dass die Praportioo des Ganztones in die Proportionen der Uebertheiligkeit hineinfällt. Es sei also die erste, nämlich Sesquialter, die Proportion des Ganztones. Denn wean wir das Doppelte vom Dreifachen wegnehmen, so ist das, was übrig bleibt, Sesquialter. Wenn also Dialessaron das Doppelte ist, Diapente aber das Dreifache, so bleibt, wenn Diatessaron von Diapente abgezogen wird, der Ganzton übrig; es kann also auf keine Weise bezweifelt wer- den, dass der Ganzton in die Proportion Sesquialter gestellt werden muss. Zwei Sesquialter-Proportionen sind aber grösser , als das Dop- pelte, wie ein jeder Unterrichtete aus der Arithmetik folgern kann. Zwei Ganztöne also würden grosser sein als Diatessaron , was ganz unsinnig ist ; denn Diatessaron überschreitet zwei Ganztöne um eine Halbtonstufe. Diatessaron und Diapente müssen also unbedingt in die übertheilige Gat- tung der Ungleichheit gesetzt werden. Nun könnte Jemand behaupten, der Ganzton liege auch in der vielfachen Gattung , weil derselbe kleiner isl als Diatessaron. Dialessaron aber ist kleiner, als Diapente, und nun It^e Diapente im Vierfachen, Diatessaron im Dreifachen, der Ganzton im Doppelten. Diapente besteht aber aus Diatessaron und Ganzton. Das Vierfache besieht also nach dieser Rechnung aus dem Dreifachen und Zweifachen, was unmöglich ist. Femer werde Diatessaron in's Drei- fache, Diapente in's Vierfache gestellt. Wenn wir also das Dreifache lom Vierfachen wegnehmen, so wird Sesquiterz übrig bleiben. Wenn man femer Diatessaron von der Consonanz Diapente abzieht , so bleibt der Ganzton übrig. Der Ganzion wird also nach dieser Rechnung in der Proportion Sesquiterz bestehen. Drei Sesquilerzen sind aber kleiner als ein Dreifaches. Drei Ganztöne werden also auf keine vernünftige Weise ein Diatessaron ausfüllen, weil es grundfalsch isl. Denn zwei Ganztöne und ein kleinerer Halbton erfüllen die Consonanz Diatessaron. Hieraus also erklärt sich, dass die Consonanz Diatessaron nicht vielfach ist. Ich behaupte aber , dass auch Diapente nicht in der vielfachen Gattung lie- gen kann. Denn wenn sie darin feststeht, so wird, weil die kleinere Consonanz, nämlich Diatessaron, mit ihr stetig isl, Diapente nicht in das kleinste Vielfache gesetzt werden, d. h. nämlich in das Dop[>elte, so dass sie an der Stelle steht, wohin die Consonanz Dialessaron passen köunle. Die Consonanz Diatessaron ist aber nicht von der vielfachen Gattung. Deswegen kann auch Diapente nicht in einer grossem Propor- tion des Vielfachen , als im Doppollen, was die kleinste ist, die rechte Stelle finden. Wenn also Diapente in der kleinsten, d. h. im Doppelten, liegt, so kann Diatessaron, was kleiner ist, der vielfachen Gattung nicht 64 angepaBst werden. Denn Dichts Kleineres giebt es von dieser Galtung, alB das Doppelt«. So sei also Diatessaron Sesquialter, der Ganzton aber Sesquiterz; denn er liegt ja in der stetigen Proportion. Zwei Sesqui- l«rzen sind jedoch grösser, als ein Sesquialter. Zwei Ganztöne also sind i^rösser, als eine Consonanz Diatessaron, was durchaus nicht angeht. Aus alle dem wird bewiesen, dass Diapente und Diatessaron in der viel- fachen QattuDg nicht liegen können ; deswegen werden sie mit Recht in die übertheilige Gattung der Ungleichheit gesetzt. XXIV. Beweis, daas Diapente und Diatesaaion in den grSaeten Qbertbeilign Proportionen liegen. Ferner ist nothwendiger Weise hinzuzusetzen, dass, wenn Diapente und Diatessaron übertheilige Proportionen enthalten , sie auch in den grössten übertheiligen Proportionen zusammengesetzt werden. Die gröss- ten sind aber Sesquialter und Sesquiterz, Dies wird auf folgende Weise bewiesen. Wenn die Consonanzen Diapente und Diatessaron in kleinere Proportionen gesetzt werden als Sesquialter und Sesquiterz , so unter- liegt es keinem Zweifel, dass, gleichwie andere übertheilige Proportionen — ausser eben Sesquialter und Sesquiterz — mit einander verbunden ein Doppeltes nicht bewirken, so auch Diapente und Diatessaron ein Diapason auf keine Weise umschliessen können. Denn weil gezeigt wurde, das Diapason in der doppelten Proportion liegt und die doppelte Proportion aus Sesquialter und Sesquiterz zusammengesetzt ist , Diapa- son aber aus der Verbindung von Diatessaron und Diapente besteht : so ist OS unzweifelhaft, dass, wenn das ganze Diapason im Doppelten be- steht, Diapente und Diatessaron in die Proportion Sesquialter und Ses- quiterz gesetzt werden müssen. Denn auf andere Weise verbunden, würden sie nicht ein Diapason bewirken, welche Consonanz in der dop- pellen [Proportion besieht , wenn sie nicht in diesen beiden Proportionen Sesquialter und Sesquiterz ständen; denn andere übertheilige Proportio- nen werden eben diese doppelte auf keine Weise zu sammensch Hessen ')- f , Sesquialter = Diapente = S : ä, Sesquiterz = Diaieessron =1:8, Diapason = Diapente und OiatesSBron i= %x'/3 = i: t. 65 XXV. Diapente liegt im Sesqnialter, Diatessaron im SesqniterE, der OanztoB' in der Sesqnioctave. Ich behaupte aber, dass gerade ganz eigenthumlich Diapente in der Proportion Sesqiiialter und Diatessaron in der Proportion Sesquiterz besteht. Weil nämlich von beiden Proportionen Sesquialter die grössere und Sesquiterz die kleinere ist, und weil auch in den Consonanzen Diapente grosser und Diatessaron kleiner ist , so ist ganz klar , dass die grössere Proportion der grösseren Gonsonanz, die kleinere Proportion der kleineren Gonsonanz entspricht. Man wird also Diapente in die Proportion Sesquialter, Diatessaron aber in die Proportion Sesquiterz legen. Denn wenn wir die Gonsonanz Diatessaron von Diapente weg- oehmen, so bleibt ein Zwischenraum, den man Ganzton nennt. Wenn w den Sesquiterz vom Sesquialter wegnehmen, §o bleibt die Proportion Sesquioctave, woraus erhellt, dass der Ganzton in die Proportion Sesqui- octave gesetzt werden muss. [6:8 = Sesquiterz, 6:9 = Sesquialter, 8:9 = Sesquioctav-Proportion.] XXVI. Diapason nnd Diapente liegen in dreifacher Proportion, Bisdiapason in vierfacher. Weil nun bewiesen wurde, dass Diapason in der doppelten, Dia- pente aber in der Sesquialter-Proportion liegt, so erhellt daraus , wenn 'iie doppelte und die Sesquialter-Proportion mit einander verbunden eine dreifache Proportion bewirken, dass auch. Diapente und Diapason nisammen in dreifache Proportion gestellt werden. Wenn man nun mit 'ier dreifachen Proportion die Sesquiterz -Proportion verbindet, so er- gebt sich eine vierfache. Wenn also Diatessaron mit den Gonsonanzen üiapente und Diapason verbunden wird, so entsteht ein vierfacher Zwi- schenraum der Stimmen , welchen wir früher als Bisdiapason dargelegt 'laben. XXVII. Diatessaron nnd Diapason ist nach den Pythagoreem keine Gonsonanz. Hieraus möchte der sorgfältige Leser erkennen, dass, wenn Gon- ^nanzen mit Gonsonanzen zusammengesetzt werden, auch andere Gon- sonaniten entstellen. Dean die VerbinduDg von Diapente und DiatessaroD bewirkl, wie schon gesagt, Diapason; wenn diese Consonanz wiederum mit der Symplionio Diapente verbunden wird, so enlstehl eine Conso- nanz, ^^'e1ctle nacb beiden Worten benannt wird, nämlich »Diapason und Diapentec. Wenn nun dieser Consonanz Dialessaron angefügt wird, so entsteht Bisdiapason , welche eine vierfache Proportion enthält. Wie also, wenn wir die Consonanzen Diatessaron und Diapason verbinden, werden sie dann nach den Pylhagoreem nicht eine Consonanz bewirken? Keinesweges. Denn sie fällt zunächst in das übermehrtheilige Geschlecht der Ungleichheit hinein und bewahrt weder die Ordnung der Vielfach- heil , noch die Einf;iciiheil der üebertheiligkeiV. Wir wollen nun die Zahlen aufstellen, mit welchen wir dies leichter beweisen können. Wir haben also 3 und das Doppelte hiervon, nämlich 6, welche Proportion im Diapason hegt. Hieran fügen wir die Proportion Sesquiterz, nämlich 8, von der wir voriier sagten, dass sie Dialessaron sei. Denn 8 ; 6 ist die Proportion für Diatessaron; 8 mit 3 verglichen ergiebt, dass 8 die Zahl zweimal enthüll ; Jedoch ist 8 kein Vielfaches von 3, denn sie ent- halt noch ausserdem zwei einfache Theile derselben, da sie das Dop- pelte von 3 durch zwei Einheiten übertrifil, die beide die dritten Theile von 3 sind, welche letalere Zahl wir als erste und kleinste Grenze (Zahl) setzen. Es seien also folgende drei Grenzen (Zahlen) : 3, 6, 8. Diajiason mit Diatessaron eine Dissonanz, 3:6^ Diapason (Consonanz), 6:8^ Diatessaron (Consonanz) , 3:8 = Diapason mit Diatessaron (Dissonanz) . liier fällt auch elwas zwischen die beiden an sich stetigen Con- sonanzen ; denn weder das Doppelle ist vollständig, so dass es die Con- sonanz Diapason her^'orbringe, noch auch das Dreifache, so dass es die Symplionie Diapa.son und Diapente bewirke. Wenn wir hier den G-anz- lon zusetzen, so w ird er zunächst eine dreifache Art der Proportion be- wirken, weil Diapason und Diapenl« mit einander verbunden das Drei- fache horvorbringen , Diatessaron und der Ganzion ei^eben zusammen die Consonanz Dispenie. Wenn nun der Consonanz Diapason die Con- sonanz Diatessaron angefügt wird , so enisleht etwas Unconsonirendes, weil natürlich zwischen der doppelten und dreifachen keine Proportion der Vieifachheit erkannt werden kann. Wenn wir hier den Ganzton zufügen, so enisleht Diapason, Diatessaron und Ganzton, was unzwei- felliafl dasselbe ist, wie Diapason und Dlapenle, da Dialessaron und Ganzton Diapente bewirken. Es sei also Diapason 3:6, Dialessaron 67 6:8, Ganzton 8:9, Diapente 6:9, Diapason und Diapente 3:9. Die dreifache Proportion wird also die sein 3, 6, 8, 9. Obschon hierüber Nicomachus vielerlei gesagt hat, so haben wir doch in möglichster Kürze ganz dasselbe, was die Pythagoreer als Meinung aufstellen, be- wiesen und hieraus gewisse beweisführende Gonsequenzen gezogen. Wenn also Diatessaron der Gonsonanz Diapason angefügt wird, so kann aus dieser Verbindung keine Gonsonanz entstehen. Was hierüber Pto- lemaeus meint, wollen wir später anführen. Hierüber soweit ; jetzt woUen wir über den Halbton Betrachtungen anstellen. [Diapason mit Diapente 3 : 9, Diapente 6 : 9, Diapason (doppelte Proportion) 3:6, Diatessaron (Sesquiterz-Proportion) 6 : 8, Ganzton (Sesquioctav-Proportion) 8 : 9, Diapason mit Diatessaron 3 : 8.] XXVIII. üeber den Halbton, in welchen kleinsten Zahlen er besteht. Man hat nun die Bezeichnung Halbtöne nicht deswegen, weil sie etwa die Mitten der Ganztöne wären, sondern weil sie nicht ganzQ Töne sind. Die Art des Zwischenraumes, welchen wir jetzt nut »Halbton« bezeichnen, wurde bei den Aelteren »Limma« oder »Diesistf genannt. Wenn nämlich aus der Proportion Sesquiterz, welche Diatessaron ist, zwei Sesquioctav-Proportionen, die also Ganztöne sind, weggenommen werden, so bleibt ein Zwischenraum übrig, den man als Halbton be- zeichnet. Wir wollen also zwei Ganztöne suchen, die in stetiger Stel- lung beschrieben wurden. Weil nun diese, wie gesagt wurde, in der Sesquioctav-Proportion bestehen und wir zwei Sesquioctav-Proportionen als stetige nicht anwenden können , wenn nicht jene Zahl , von welcher sich dieselben ableiten lassen, als ein Vielfaches gefunden wird, so neh- men wir i an, von welcher 8 das Achtfache ist. Von dieser Zahl wer- den wir eine sesquioctave Zahl ableiten können. WeU wir aber zwei 5» suchen, so müssen wir SXS nehnieii, und hieraus, also aus 6ii wer- den sie entwickelt. Es wird also das ^w^Jle Achtfache sein, aiiB welchem wir i sesquioctavc Proportionen herleiten, können. Denn 8, welche. Zahl der 8(e Tlicil voa (ii Einheiten ist, diesen Einheiten hinzuaddirt giehl die ganze Summe 71; dieser Zahl auf dieselbe Weise der 8te Tiieil, also 9, hinzuaddirt, giebt 81. Diese beiden Ganztöne werden also in ihrer ersten Ordnung so zusammengeschrieben 64, TS, 81 ; 64: 73 ^ Ganzton (Sosquioclav) und 73: 81 ^ Ganzton [Sesquioctavj . Jetzt wollen wir von 64 Einheiten den SesquUerz suchen. Weil nun 64 keinen 31en Theil hat, so wird sich bald, wenn wir alle diese Zahlen durch 3 multipliciren , aus diesen der 3te Theil ei^eben, und alle werden in derselben Proportion bestehen, in welcher sie vorher bestanden, ehe 3 ais Multiplicstor zu ihnen herantrat. 3X64ist<92, deren 3ter Theil, also 64, zu diesem Producte hinzt^fügt, S56 er- giebt. Es wird diese Sesquilerz-Proporlion die Consonanz eines Diates- saron behaupten. Jetzt wollen wir zwei Sesquioclav-Proportionen in richtiger Ord- nung aufstellen, die zn (92 in S Zahlen bestehen. Wir nehmen also '3X72^=316, ferner 3 X 84 ^243, welche beiden Producte zwischen jene Zahlen I 92 und 256 auffolgende Weise gesetzt werden : 192, 216, 243, 256. (92 :216 = Ganzton, 216:343 = Ganztoo, 243: 256 = Ilalbton, (92; 256 = Diatessaron. In dieser Aufstellung der Proportionen ist die erste Zahl zur letzten als Consonanz Dialcssaron aufgestellt. Die erste zur 2ten und die 2te zur 3ten stellen zwei benachbarte (nebeneinanderliegende) Ganztöne dar, Der Zwischenraum, welcher übrig bleibt, also 243:286, be- zeichnet die kleinste Form des Halbtones. Beweise, dass i XXIX. : : 256 nicht die Hälfte eines Ganatones ist Ich will aho beweisen, dass die Entfernung von 243 bis zu 266 nicht die \ollkoiii[niie Aui-dehnung der Mitte eines Ganztones ist. Denn die Ditferenz \on 2 i3 und 156 besteht nur aus 13 Einheiten, welche Zahl also weniger Einheiten enthält, als der I8te Theil der kleineren Zahl (243], niebr aber, als der < 9te Theil derselben. Denn 18X<3 giebl 234, welche Zahl der Zahl 243 durchaus nicht gleich ist; ]9X<3 ist wiederum grösser ak 243. Jeder HalblOD musste, wenn er etwa 69 dennoch die v'olle Hälfte eines Ganztones ausmacht, zwischen den 16ten und nten Theil gesetzt werden, Was* nachher gezeigt wird. Jetzt wifd klär werden, dass zwei nebeneinanderliegende Halbtöne einen ganzen Ton nicht vollmächen können. Wenn wir also das Ver- häUniss 256:243 haben, so wollen wir nach der früher entwickelten Regel 2 solche mit einander stetige Proportionen aufstellen. -^256 mit sich selbst multiplicirt, giebt die grösste Zahl 65536. Ebenso 243, fnit sich selbst multiplicirt, giebt die kleinste Zähr59049. Femer multipli- ciren wir 256 mit 243, so erhalten wir die Zahl 62208, welche als jnittlei^e in dieser Weise gesetzt wird : 65636:62208:59049. In der Proportion 65536 : 61208 liegt also die Proportion 256 : 243, Ebenso in der Proportion 6220'8 : 59049. Die grösste Zahl 65536 zur kleinsten 59049 bewirkt dennoch nicht einen ganzen Ton. Wenn nun die Proportion der ersten zur zweiten ' Zähl, welche gleich ist der 2ten ZOT 3ten, als ein yoUkommner Halbton bewiesen ist, so können also die beiden veirbtmden nothwendig einen ganzen Ton bewirken. Da nun aber die Proportion der 'aussetzten Zahlen (65536 : 59049} keiüe Ses- quioctav-Proportion ist, so ist hiet-durch bewiesen, dass die beiden Zwischenräume als keine eigentlichen Hälften eines ganzen Tones er- scheinen. Denn die Verdoppelung einer Hälfte Ist das Ganze der Hälfte. Wenn also die neben einander liegenden gleichen Theile das Ganze nicht vollmachen können, so ist ein Theil kleiner, als die Hälfte. Wenn sie aber grösser sind, als das Ganze, so ist auch ein Theil grösser als die Hälfte, weshab also bewiesen wird, dass 65536 : 59049 keine Sesqui* octav-Proportion macht. Denn wenn Wir den 8ten theil von 59049 nehmen und diesen 'Einheiten (59049) ztisetzen wollten nach den He- geln, wie sie in der AHthi&etik gegeben wurden, so finden wir, daäs dieser ^8te Theil nicht in ganzen Zahlen besteht ; deswegen überlassen wir dite^n 8ten Theil der Sorgfalt der Leser zur Betrachtung. Es erhellt also, dass diese Proportion 256 : ?43 nicht die voUkonunne Hälfte eines Oanztones ist und deswegen das, was in Wahrheit Halbton genannt wird, ein kleinerer Theil ist, als die Hälfte des Ganztones. XXX. üeber den grosseren Theil von einem Oanzton, nnd in welchen kleinsten Zahlen er bestehti Der übrige Theil, welcher der grössere ist, wird von den Griechen »Apotome« genannt, von uns kann er mit »Abschnitta (decisio) bezeichnet 70 werden. Es bringt die Natur mit sich, dass, wena man etwas abschnei- [ det und zwar so, dass das Ganze nicht in gleiche Theile zerlegt wird, ll der kleinere Tlieil um so viel kleiner als die Hälfte sein muss , um wie I viel der grössere Theil grösser als die Hälfte ist. Um wie viel also der kleinere Halbton kleiner als die ganze Hälfte eines Ganztones isl, um so viel übertriBt Apolome die volle Hälft« eines Ganztones. Nachdem wir nun dargethan haben, dass der Halblon hauptsächlich in den ZahlenlS6 und 2i3 besteht, wollen wir jetzt das beweisen, was Apotome genannt wird, imd auseinandersetzen, in welchen kleinsten Zahlen dieselbe vor- kommt. Wenn nämlich Si3 den 8len Theil zu sich nehmen könnte, da sie zu dieser als sesquioctave Zahl verglichen wird, dann würde 256, zur sesquioctaven Summe der kleinsten Zahl verglichen , nolhwendiger- weise eine Apotome zeigen. Weil nun dargethan wird, dass der Ste Theil zu derselben fehlt, so raultipliciren wir beide Zahlen mit 8. Aus 243 wird durch Mulliplication mit 8 die Zahl 1944. Wenn hierzu der eigentliche 8te Theil , also 2i3, hinzuaddirt wird, so erhalt man 2< 87. Femer mullipliciren wir JöH mit 8, woraus 2048 entsteht, welche Zahl zwischen die vorhergenannten Zahlen in die Mitte gesetzt wird. Kleinerer Halbton, Apotome , 104 139 Erster Klang, Zweiter Klang, Dritter Klang 1944 SOiS 2187 GaTiztoti'Sesquioctav-Proportion) 1944:2187. Die dritte Zahl , zur ersten verglichen , behauptet die Proportion eines Ganzlones. Die zweite zur ersten die eines kleineren Halbtones. Die 3te zur 2ten aber ist die Proportion der Apotome. Und gerade in diesen scheint die Proportion der Apolome zu bestehen , da der Zwi- schenraum eines Halblones in den kleinsten Zahlen 256 und 243 ent- halten ist. Deswegen mm sind 1 944 und 2048 in derselben Proportion, wie S43 imd 2S6, weil 256 und 243 durch 8 multiplicirt worden sind. Denn wenn ein und dieselbe Zahl 8 beliebige Zahlen multiplicirt, so werden sich die aus der Multiplicalion entstandenen Zahlen in derselben Proportion befinden , in der sich die Zahlen befinden , welche die Zahl vorher multiplicirt hat. 71 XXXI. In welchen Proportionen Diapente und Diapason bestehen, und dass Diapason ans 6 G-anztönen nicht besteht. Nachdem wir uns nun über die Consonanz Diatessaron weiter ver- breitet haben , wollen wir kürzer und mit reinen Zahlen über die Con- sonanzen Diapason und Diapente sprechen. Diapente besteht aus drei Ganztönen und einem Halbton, d. h. aus Diatessaron und dem Ganztone. Es werden die Zahlen, welche das frühere Schema zusammenfasst, folgendermassen aufgestellt: \9%, 2116, U3, 256. Diatessaron besteht aus zwei Ganztönen und einem kleineren Halbton 192 216 : 243 256 Ganzton Ganzton Halbton. In dieser Aufstellung ergiebt das Verhältüiss der \ sten zur 2ten und der 2ten zur Sten Zahl Ganztöne. Das Verhältniss der 3ten zur 4ten aber ist das eines kleineren Halbtones, wie vorher gezeigt wurde. Wenn wir also von 256 den Sten Theil (32) nehmen und der ganzen Zahl zusetzen, so erhalten wir 288. Diese Zahl, mit 192 verglichen, ergiebt die Pro- portion Sesquialter : 192 : 288 Diapente. Mithin sind hier drei Ganztöne, wenn die Iste Zahl zur 2ten, die 2te zur Sten, die 4te zur 5ten verglichen wird. Der Halbton aber hat die Proportion der 3ten Zahl zur 4ten. Wenn also Diatessaron aus zwei Ganztönen und einem kleineren Halbton besteht , so dürfte die Verbin- dung von Diatessaron und Diapente ein Diapason bewirken, das also fünf Ganztöne und zwei kleinere Halbtöne enthält , welche letzteren einen Ganzton nicht zu erfüllen scheinen. Diapason ist also nicht eme Consonanz, die aus sechs Ganztönen besteht, wie Aristoxenus meint, da es auch die Zahlenaufstellung augenscheinlich zeigt. Es werden nämlich sechs Ganztöne in einer Reihe aufgestellt und zwar in den Ses- quioctav-Proportionen. Sechs Sesquioctav-Proportionen werden aber vom 6ten Achtfachen hergeleitet. Es werden also sechs Achtfache auf folgende Weise aufgesteHt : 1^ 8, 64, 512, 4096, 32768, 262144. Von dieser letzten Zahl werden sechs Ganztöne in der Sesquioctav- Proportion aufgestellt und zwar so , dass die 8ten Theile der Zahlen zu 72 dem Umfaog der Zahlen selbst hiazuaddirt werden. Es sei also die Ord- QUtig von folgeader Art; Sechs Achtfache 1, 8, 6i, 5i2, 4096, 32768, t6äti*. Die Sesquioctav-Proportionen Die achten Theile 363^44 ■ 33768 !9i9<S 36864 33(776 41472 37324S 4666« 419904 S«488 47S39S 69049 53U4t. Der Beweis für diese Anordnung ist nun folgender : Die fortlaufende Reihe niimlicb, welche die Grenzlinie genannt wird, weist Sfache Zahlen auf. Von der 6tea Achtfachen aber werden die Sesquioctav-Propor- lioaen hergeleitet. Wo wir die 3len Tlieile hingeschrieben haben, da sind es eben die 3len Theile der Zahlen , zu welchen sie hinzu^ddin werden. Durch diese Addition' wachsen die folgenden Zahlen, wie es z. B. bei der ersten der Fall ist, bei der Zahl 263)44. Der 8te Theil hiervon ist 33768 ; diesen zur ganzen Zahl hinzuaddirt, ei^ebt die fol- gende Zahl 3Ü4913- Dasselbe findet bei den übrigen Zahlen Statt. Wenn also die letzte Zahl 53144t .das Doppelte von der ersten Zahl 263144 wäre, so würde mit Recht Diapason aus 6 Ganztünen bestehen. Jetzt suchen wir das Doppelte von der kleinsten Zahl der angegebenen. Dies wird kleiner sein, als die Zahl, welche die grösste und letzte ist. Denn das Doppelle von der Zahl 363144, welche mit dieser Zahl propor- lionirl in der Octave liegt, also 524288, ist kleiner, als die Zahl, welche den 6ten Ganzton behauptet, nämlich 63f 44< . Die Consonanz Diapason ist demnach kleiner als 6 Ganztöne. Und das, um was sechs Ganztöne die Consonanz Diapason übertreETen , nennen wir uCommao , welches in folgenden kleinsten Zahlen besteht : 524388 und S3144I Differenz , 7)53. Comma oder Zwischenraum, um welchen sechs Ganz- löne grösser sind, als ein*Diapason 53438S:53U41. Was hierüber Aristoxenus meint, weicher den Ohren das ganze Urtheil zutraute, werde ich an andern Orten erwähnen. Jetzt will ich 73 zur Yermeidung eines Tadels die ganze Reihe der Veränderangen zu- sanunenfassen . — Achtfache Sechs 1 8 64 512 4096 32768 262144 Alle Sesquioctav - 9 72 576 4608 36864 294912 Proportionen , die 81 648 5184 41472 331776 zuletzt aus den frü- 729 5832 46656 373248 heren hervorgehen 6^61 52488 419904 und die sechs Ganz- 59049 472392 531441 töne bewirken. Alle neunfachen Diagonalen. BUCH III. Beweis gegen Aristozenus, dass die übertheilige Proportion nicht in Gleiches getheilt werden kann, und daher auch nicht der Q-anzton. 1. Im vorigen Buche wurde gezeigt , dass die Gonsonanz Diatessaron aus 2 Ganztönen und einem Halbton , Diapente aber aus drei Ganztönen und einem Halbton bestehe, dass aber diese die vollkomnme Hälfte eines Ganztones nicht bewirken, wenn man sie einzeln betrachtet und berech- net, und daher auch Diapason den Umfang von 6 Ganztönen auf keine Weise erreichen kann. Weil nun aber der Musiker Aristoxenus, der Alles dem Ürtheil der Ohren überliess, nicht der Ansicht war, dass diese Halbtöne , wie nach den Pythagoreern , von der Hälfte verschieden seien , sondern dass sie , wie sie Halbtöne genannt würden , eben auch die Hälften der GanztÖne seien : so müssen wir hierüber wiederum ein wenig sprechen und darthun , dass keine früher genannte überthei- lige Proportion durch eine bekannte Zahl in eine vollkomnme Hälfte zer- legt werden kann. Wenn zwischen zwei Zahlen eine übertheilige Proportion besteht, entweder zwischen zwei Grundzahlen, wo die Einheit DiflTerenz ist, oder zwischen zwei anderen Zahlen, so wird man keine mittlere Zahl so zu setzen vermögen, dass die mittlere zur letzten dieselbe Proportion behauptet, wie die kleinste zur mittleren, wie z. B. in der geometrischen Proportion; jedoch kann man eine mittlere Zahl so setzen, dass sie gleiche Differenzen bewirkt und also nach Art der arithmetischen Mitte eine Gleichheit hervor- ruft, oder nach Art der harmonischen Theüung eine Mitte herstellt oder auf irgend welche Art, wie wir es in derAritbttetik erwähnt haben. Wenn dies bewiesen wird, so wird auch j|||^^||ß..^Qliaaptung ftn<"i ' Hf werden können, dass die Ses darstellt, sich in Hälften, zur übertheUigen 75 besser durch inductiven Beweis gethan. Wenn mun nämlich seine Be- trachtung auf die einzelnen übertheUigen ProporlionoD gelentt hat , und einem weiter keine begegnet, welche, nach zwiac.hengescliobener Millel- zahl, in gleiche Proportionen getheilt wird ; so ist nicht zweifelhaft, dass eine übertheilige Proportion nicht in Gleiches gelheill werden kann. Wenn nun das den Ohren als Consonirendes zu erklingen scheint, so- bald eine Stimme zu einer andern verglichen wird, die von einander um zwei Ganztöne und einen vollkommenen Halbton '') abstehen, so wird ge- zeigt, dass dies von Natur nichts Consonirendes ist. Weil nun aber jeder Sinn die kleinsten Theile nicht erfassen kann , so kann auch daher der Sinn der Ohren diese Differenz, welche über das Consonirende heraus- schreitel , nicht unterscheiden ; dann wird er sie aber wahrnehmen, wenn ein solches Theilchen hüiuilg durch eben dieselben Irrthümer wächst. Denn was im Kleinsten nicht hinreichend erkannt wird , da-s sieht man ein, wenn es in der Zusammensetzung und Vorbindung an- legt, ein Ganzes zu werden. Hit welcher Proportion nun sollen wir beginnen? Vielleicht werden wir die Untersuchung abkijrzen, wenn wir mit dem anfangen , was gerade jetzt vorliegt. Die Frage liegt nMmlich vor, ob der Ganzton in zwei gleiche Theile zerlegt werden kann, oder nicht. Jetzt wollen wir also vom Ganzton handeln und beweisen , wie derselbe in zwei gleiche Theile nicht getheilt werden kann. Wenn man diesen Beweis auf die übrigen übertheihgen Verhütlnisse überträgt , so wird in ähnlicher Weise gezeigt, dass sich ein übertheUiges Verhäitniss durch eine bekannte und ganze Zahl nicht in gleiche Theile zerlegen lässt. Die Grundzahlen, welche den Gauzton enthalten, sind also g und 9. Weil sich nun diese in der natürlichen Zahlenreilie folgen, so dass keine Zahl zwischen diesen besteht, so multipliciren wir dieselben mit der kleinsten Zahl, mit welcher mau überhaupt multipliciren kann , nämlich mit i. Dann entstehen aus den Zahlen 8 und 9 die Zahlen t6 und t8, zwischen welchen in der natürlichen Zahlenreihe die Zahl 1 7 liegt. 18:16 ist also der Ganzton. 1 8 zu 17 verglichen hat diese {nämlich die Zahl 1 7) ganz und den 1 7ten TheU derselben. Der 1 7te Theil ist aber natürhch kleiner als der 1 6te. Die Proportion, welche zwischen 1 6 und 1 7 stattfindet, ist grosser, als die zwischen 1 7 und \ 8. Wir steilen die- selben so auf; es sei A = 16, C = 17 und B= 18. Die vollständige Mitte eines Ganztones hegt also keineswegs zwischen C und B. Denn es ist die Proportion CB kleiner als die Proportion CA. Zu dem grosseren 1} Ein HalbtoD, der gerade die Hälfte eines Ganztones würe. L 76 Theü ist also eine richtige Hitte zu setzen. Diese Mitte sei D. Weil die Proportion DU. welches die richtige HSlfle eines Ganztones ausmactit, r ist als die Proportion CB , wetthe der kleinere Theil von einem Ganzlone ist, die Proportion AC aber -als grösserer Theil von einem Ganztone ^trösscr ist als die Proportion AD , welche die richtige Hälfte eines Ganztones , und AG eine Proportion Sesquisextadecima , GB aber eine Sesquiscptimadecima-Proportion Ist ; so ist es unzweifelhaft , dass die riclitige Mitte eines Ganztones zwischen die Sesquisextadecima- und ^cptiniadeclina-Proportioo fallt. Diese Mitte kann aber durchaus nicht in einer ganzen Zahl gefunden werden. 16 n 48 A DG fi A — D = richtige HSIfte eines Ganztones, A — C = grösserer Theil eines Ganztones, D — B = richtige Hälfle eines Ganztones, C — B = kleinerer Theil eines Ganztones. Wenn aber zur Zahl 16 die Zahl tT verglichen wird, so behauptet sie darüber eine Ueber-Sesqaisextadecima-ProportioD ; wenn wir von derselben Zaiil f 7 dm 1 6len Tbeil snchen , so wird es die Einheit und der 1 6le Theil der Einheit sein ; wenn wir dies zur Zahl 1 7 addiren, so entsteht 1 8'/i«- Wenn wir also \ SYig mit der Zahl 1 6 'vergleichen , so scheint der 1 6te Theil mit Hecht die Mensur des Ganztones zu Hberschrei- ten, da zur Zahl 1 6 allein die Zahl < 8 die Propoilion Sesquioctave inoe hält. Weil also die Deber-Sesquisextadecima-Proportiön doppelt genom- men den Ganzton überschreitet , so kann sie nicht die richtige HSlfte eines Ganztones sein. Denn was, zweimal genommen, eine' Grösse über- schreitet, kann nicht die richtige Hslfle derselben sein. [Denn was, zweimal genommen, eine Grösse überschreitet, muss an ^cb die HStfle dieser Grösse überschreiten.) Deswegen wird die UebeNSesquisexta- decima-Proportion nidit die Hälfle eines Ganztones sein. Aus diesem Grunde wird auch nicht ii^end eine grSssere Proportion als die Sesqui- aextadecima-Proportion die HSlfte eines Ganztones sein können , da sie selbst ja schon grosser als die richtige Hälfte eines Ganztones ist. Da nun der Scsquisextadecinla-Proportion in fortlaufender Ordnung die Seaquiseptimaiiecima-ProporHon folgt, so wollen wir sehen, ob diese letztere, zweimal genommen, den Ganzton nicht vollmacht. Den ( 7len Theil der Zahl 17 enthält die ZahltS. Wenn wir in derselben Pro- portion noch eine andere Zahl zu I S vergleichen , so wird es 1 9 sein und der i 7to Theil. Wenn wir zur Zahl 1 7 eine Zahl vei^eichen , die 77 m der Sesquioctav-Proportion liegt , so entsteht i 9 uad der 8te TheiL DerSte Theil ist aber grösser, als der Hte Theü. Die ftH)portion der Zahlen 17 und iOYg ist also grösser als die, welche in 17 und (OY^y besteht, welches di^ Sesquiseptimadecima-Proportionen zweimal genom- ineo sind. Zwei Sesquiseptimadecima-Proportionen also scheinen nicht einen Ganzton zu geben. Nicht ist die Sesquiseptimadecima*Proportion die Hälfte eines. Ganztones, weil das, was bei der Verdoppelung nicht das Ganze giebt, ao sich' nicht die Hälft« desselben ausmacht. Denn immer ist die verdoppelte Hälfte mit dem gleich, dessen Hälfte sie ist. Die Sesquisextadecima-Proportion. Der ganze Zwischenraum besteht aus zwei Apotomen ; die wahre Sesquioctav-Proportion ist 1 6 : 1 8. Apotome. Apotome. Grösserer Theil Grösserer Theil des Ganztones, des Ganztoneß. Der Ganzton mit dem Coqm^a Y^^ ; die Proportion ist um ein Gonmia grösser als die Sesquioclav-Proportion. Der Ganzton ist darüber vermehrt. Kein ganzer Ton besteht aus 2 Diesen, indem zu einem ganzen Ton ein Comma fehlt. Die Proportion Sesquiseptima- Ebenso die Proportion Sequi- liecima, enthaltend die Diesis, septimadecima , bewirkend und •1. h . einen kleineren Halbton . enthaltend einen kleineren Halbton . i7 \S \9% Die kleinere Sesquioctav-Proportion mit dem Comma. Die Sesquioctav-Proportion enthält einen ganzen Ton aus der Diesis and Apotome. n 18 \%% isVs Kein ganzer Ton. n. Wenn man von der Sesquiterz-Froportion 2 öanztöne wegnimmt, bleibt nieht die Hälfte eines CFanztones übrig» Wenn wir nun diese Zahlen aufstellen wollen , welche nach Hin- Wegnahme von 2 Ganztönen von der Sesquiterz-Proportion übrig bleiben. 78 so können wir dabei belrachteo, ob diese Proportion, die nach Hinweg- nahme von ä Ganztönen übrig bleibt, für einen vollkommenen Halbton ^; Geltung hat; wenn dies gefunden ist, dann ist auch bewiesen, dass die Consonanz Diatessaron aus 8 Ganztönen und einem TOllkommenen Halb- ton zusammengesetzt ist. Es war also früher die erste Zahl 19%. Zu dieser hielt die Zahl !56 eine Sesquiterz-Proportion. Zur ersten bewirkt Sl 6 einen Ganzton. Zu 316 bewirkt wiederum 313 eine Ganztonstufe. Was von der ganzen Proportion Diatessaron übrig bleibt, ist also die Proportion, die in 2i3 und S56 Einheiten besieht. Wenn von dieser Proportion bewiesen wird, dass sie die Hälfte eines Ganztones ist , so kann nicht bezweifelt wer- den, dass Diatessaron aus i GanztÜnen und einer Ganztonhälfte besteht. Weil nun bewiesen wurde , dass die Hälfle des Ganztones zwischen der Sesquisettadecima- und Sesquiaeptimadecima-Proportion liegt , so muss von dieser Vergleichung auch diese Proportion gemessen werden. Um nicht lange Umschweife zu machen, so wollen wir von 343 den ISten Theil nehmen; dieser ist i3'/s- Wenn wir dies zu 343 addiren, .so erhalten vrirSSe'/j. Es erhellt hieraus, das 356:343 eine kleinere Pro- portion Ist, als dieSesquioctavadecima-Proportion. Wenn nun die Hälfte eines Ganztones kleiner ist, als die Sesquisextadecima-Proportion , aber grösser als die Sesquiseptimadecima-Proportion, ferner die Sesquioctava- decima-Proportion kleiner ist als die Sesquiseptimadecima und endlich die Proportion 356 ; 343 , die nach Hinwegnahme zweier Ganztöne von Diatessaron übrig bleibt, kleiner ist, als die Sesquioctavadecima-Propor- tion, so ist es nicht zweifelhaft, dass diese Proportion der beiden Zahlen bei weitem geringer ist, als eine Ganzionhälfte. Seweise gegen AriBtozenns, dasa die Oonsonanz DiatesBaron ans 2 OanE- tönen und einer Ganztonhälfte nioht besteht und anch DiapaBon nicht auB 6 OanstSnen. Wenn, wie Äristoxenus sagt, die Consonanz Diatessaron aus a Ganztonen und einer Ganztonhälfte besteht, so werden 3 Consonanzen Diatessaron nolh wendiger weise 5 Ganztöno ausmachen und Diapente. mit Diatessaron verbunden, wird, gleich wie dies eine Octave giebt, ebenso 6 Ganztönen in fortlaufender Proportion gleichgesetzt werden. 4) Der die wirkliche Hälfte eines Ganztones ist. 79 Weil -wir nun kurz vorher 6 Ganztöno aufgestelll haben , deren tleinäteZahl S6Sii* war, so wird zu dieser im 6ten Ganülone die letzte Zahl 53U4) gesetzt werden. Den 5ten Gaozlon aber wird die Zahl be- zeichnen 41239!, Wir stellen sie auf folgende Weise auf: S6äU4 Erster Ganzion 39191« Zweiter Ganz Ion 331776 Dritter Ganzton 373848 Vierter Ganz ton 419904 Fünfter Ganzton 472398 Sechsler Ganz ton K3<4il 262144 Fünf Ganztöne 473392 * 262U4 Seclis Ganztone 531441. Jetzt wollen wir über die kleineren Zahlen, d, h. über 5 Ganztöne sprechen. Wenn also Diatessaron aus % Ganztonen und einer Ganzton- hälfle bestände, so würden 2 Diatessaron aus 5 Ganztönen bestehen, wenn wir ein Diatessaron von 269)44 hinauf- und von 472392 ein anderes IHatessaroD zurückleitelen. Es müsste dann zwischen beiden Auf* und Abwärtsleilungen dieselbe Zahl aufgefunden werden. Dies geschieht aber auf folgende Weise: Von der Zahl 262)44 führe ich ein Diates- saron 3:4 hinauf, d. h.eine Sesquilerz-Proportion, welche ist 3 49525 '/j. Ferner führe ich von der Zahl 47ä39i eine Sesquiterz-Proporlion zu- rück, welche ist 354294. Diese Proportionen wollen wir also in der Weise auklellen, dass die erste Zahl A, die 3le B, die 3te C und die 4te D sei. A = 262144 B = 3495251/3 C = 354294 D = 47239S. A (= 262U4) zu D = (47ä39S) ^ fünf Ganztöne A:B = 3:4, D:C = i:3 Diatessaron Diatessaron aufwärts abwärts 80 C — B =i768V3 Differenz. Weil also die Grenze A von der Grenze D um S GaQzläne entfernt ist, lind weil Diaiessaron in % Ganztönen und einer Ganztonl^Ute be- sieht, wie Arisloxenus meinl, und das eine Diatessaron zwischen A und B, das andere aber zwischen C und D liegt, so dürften die Grenzen B und C niclit verschieden sein, sondern sie müssten in ein nnd densel- ben Zahlen liegen, so dass wirklich 5 GanztÖne aus 3 Consonanzen Dia- tessaron zu bestehen scheinen. Weil nun aber die Differenz 4768^3 ist, so wird bewiesen, das Diatessaron keinesw^es aus t Ganztönen and einer Ganztonhalfte besieht. IV. Dei Oonsonanz Dinpason fehlt m 6 Qimstöiien eiq Oomma, und welches die kleinste Zfthl föi die Ooimnata ist. Wenn wir nnn versuchen, diese Differenz in ganzen Zahlen auszu- drücken , so sehen wir, dass, wenn der 3te Theil zu dem, welcher ist ^/j, hinzu addirt wird, die volle Eüiheil entsteht, da der 3te Theil die Hülfte von ^3 ist. Wenn ich also die Hälfte der ganzen Differenz, welche ist 3384'/:ii zu ihr selbst hinzu addire, so entsteht die ganze Summe 71 S3 . Und diese Zahl enthielt schon früher die Proportion eines Comma. Denn ein Comma ist an der Stelle zu finden, wo 6 Ganztöne die Con- sonanz Diapason übertreffen , was eben in der ersten ganzen Zahl 7 1 53 zusammengeh allen wird. Wie wir also zur Differenz ihre richtige Halt!« hinzu addirlen, damit sie bis zur Zahl 7133 wachse, so auch können wir zu allen Zahlen ABCD ihre richtigen Mitten hinzu addiren ; dann wird bei allen dieselbe Proportion entstehen, wie sie auch früher war, und es wird sich zwischen 5 Ganzlönen und Blsdiatessaron dieselbe Differenz herausstellen, welche zwischen 6 Ganztönen und der Consonanz Diapa- son stattfindet, nSmlich 7153 Einheilen. Hieraus erkennt man, dass 5 Ganztöne Bisdiatessaron und 6 Ganzlöne ein Diapason nur um ein Comma übertreffen, was in den ersten Einheilen 7153 gefunden wird. Dies zeigt das untenstehende Schema : Fünf Ganzlö Oiatcssaron hinaurgerutirt Diatessaron hinabgcfübrl ■Jil mit Ihrer mti« Zi.hl oit ibt«r Mit!« Dl, om welches csHBS Hbsrtreffan. ilirsr Mit« ZM mit ihrer Milta S93S<S 5ätä88 7153 53U41 708588 A SfiHU B 34951111/3 C-B 47685/3 C 35(894 D47J39S 111073 174762% 13B4'/3 177U7 338196 Mitte A. Mitte B Vä und Mitte d, Diffe- Mitte Mitla i/e geben 2/3, renz C-B. voqC. vonD. und 2/j mit Vs Va+% geben verbunden auch liier eine giebti. Einheit. Sechs Ganziöne, Es überlrefifen 6 Ganztöoe ein Diapason um ein Comma. DiapeDlc und Diatessaron und der GanztOD. Diatessaron. ZahlB DlfFere erUitle Br Hitle Zahl D mit 30Si16 514188 7158 961144 84 0515 Va 4768% 131071 1747615/, 13841/3 Mitte Mitte Mitte der DilTerenz hrer Mitte n. Beiner Mitle 708588 79716lVä 471S91 SSI44I 1361 SS 1657101/3 Mitte Mitte der 6, Sesquioct. Wie Ptilolaus den Qanzton eintheilt. Der Pjlliagoreer Philolaus versuchte den Ganzion auf andere Weise zu (heilen. Er stellte nämlich den Anfang des Ganzlones von der Zahl auf, die den erslen Cubus von der er.sten ungleiciien bewirlile (welches Verfahren bei den Pythagoreern sehr angesehen war) . Die Zahl 3 i.st nun die erste ungleiche Zahl und 3X3^9; wenn mun diese Zahl dreimal nimmt, so erhebt man sie nothwendig zu 37, welche zur Zahl ü um einen Ganzion entfernt ist und dieselbe Differenz 3 be- wahrt. Denn 3 ist von 9i der 8te Theil und dieser [also 3), zu der ersten Zahl (also 34] hinzugefügt, giebt den Cubus von 3=37. Hieraus gewinnt Philolaus 1 Theile; den einen, der grösser als die Hälfte ist, neunter «Apotomeo , den andern, der kleiner ist als die Hälfte, nennt er 'Diesisn, 82 welche die späteren Theoretiker skleineren Halbton« uad die Differenz beider nComma« genannt haben. Und zuerst meint er, dass die Diesis in ( 3 Einheilen bestehe , deswegen , weil diese Zahl als Differenz zwi- schen 3S6 und S43 erschien. Dieselbe Zahl 13 nämlich besieht aus 9, 3 und der Einheit, welche die Stelle eines Punkt es einninunt, wäh- rend 3 die der ersten ungleichen Linie , 9 die des ersten ungleichen Quadrates behauptet. Da er also aus solchen Ursachen 1 3 als »Diesiso bezeichnet, was Halbton genannt wird, so stellt er den übrigen Theil von der Zahl S7, der aus 14 Einheiten besteht, als »Apotome« hin. Weil nun zwischen 13 und H die Einheil die Differenz bewirkt, so meint er, dass die Einheil an Stelle des Commas zu setzen sei. Den Ganzton aber stellt er in i^ Einheiten auf, deswegen, weil zwischen SI6 und 3i3, welche Zahlen um einen Ganzton von einander entfernt sind, die Differenz S7 ist. Die Eintbeilong des Gaaztones nach Philolaus : 1 13 t^ Diesis Apotome. Der öangton beiteht ans zwei Halbtönen imd einem Oomma. Aus dem Vorhergehenden erkennt man leicht , dass der Ganzton aus ! kleineren Hatblöneo und einem Comma besteht. Denn wenn der Ganzton aus Apolome und dem Ralbtone besteht , der Halbton von der Apotome aber um ein Comma differirt , so ist Apotome nichts Anderes, als der kleinere Halbton und ein Comma. Wenn also Jemand 9 kleinere Halbtone von einem Ganztone wegnimmt, so bleibt ein Comma übrig. VH. Beweis, dass det Quiton von zwei Ealbtönen am ein Oomma differirt Dasselbe wird auch auf diese Weise bewiesen. Wenn Diapason aus S Ganztönen und S kleineren Halbtönen besteht und 6 Ganztöne die Consonanz Diapason um ein Comma übertreffen , so ist es nicht zweifel- haft, daSB, wenn von beiden Entfernungen 6 Ganztone voggmoaaoen werden , vom Diapason 8 kleüiere Halbtöne , von 6 Ganztönen jedoch ein Gaozton übrig bleibt. Und dieser Ganzton übertrifft diese beiden Halbtöne, welche übrig bleiben, um ein Comma. Wenn also zu diesen If beiden Halbtönen ein Comma zugesetzt wird , so werden sie dem Ganz- lone gleichkommeii. Es steht also fest, dass ein Gaozton zwei kleinereo Hatblönen und einem Comma gleich ist , was in den ersten Einheiten 1 *< 53. vorgefunden wird, ■ Vffl. I Üebei die Intervalle, welche kleiner sind, als dei Ealbtoiii Pbilolaus fasst nan diese, gleichwie die kleineren Zwischen- räume, in folgende Definitionen zusammen. aDiesis«, sagt er, »ist das InterTall, nm welches die Sesqniterz-Proportion grösser ist, als t Ganz- tone. Comma aber ist das Iniervall, am welches die Sesqnioctav-Pro- poftion grosser ist als 3 Diesen, d. h. als S kleinere Ualbtöne. Schisma ist die Hälfte des Commas. Diaschisma aber die HSlfte der Diesis, d. h. .1^ des kleineren Halbtones.« Hieratis geht Folgendes hervor. Weil der k GftDzIon hanptsächUcb in den kleineren Halbton und Apotome gelheilt B wird, so wird er auch in % HalblÖne und ein Comma gelheilt, woher es R kommt, dase er auch in i Dlaschismata und ein Commaa zerlegt wird. p Die genaue HalAe eines Ganztones , also der wiridjche Haifaton , besteht a )os S Diascbismaten , d. b. einem kleinen Halbkin, und einem Schisma, P d. i. der Hälfte von einem Comma. Denn da der Ganzlon aus i kleine- € reo Halbtönen und einem Comma verbunden ist , so muss man , wenn ^ man dies richtig theilen will, einen kleineren Halbton und die IlSlfte eines Comma herausbringen. Ein kleinerer Halbton wird nun in t Diaschis- 1^ mata getheilt. Die Hälfte von einem Comma ist aber ein Schisma. Rieh- L. % wurde also gesagt , dass die wirkliche Hälfte eines Ganzlones in Pj 1 Diaschismata und ein Schisma zerlegt werden könne. Diiher kommt p> U, dass der wirkliche Halbton von einem kleineren Halbtone um ein ^ SchJana augenscheinlich differirt. Die Apotome aber ist um 3 Schismata ^ grösser als der kleinere Halbton, denn sie differirt um ein Comma, ! Schismata aber geben ein CtHuma. Z Der Ganztonistzu zerlegen: *^ i ) In Apotome und den kleineren H^ton = Dieais ; — aufwärts f und abwärts. 3} In den kleineren Halbton ^ Diesis + dem Comma -|- dem klei- neren Halblon ^ Diesis. 3] In die Diesis -{~ dem Schisma + der Diesis + dem Schisma. ' i) In zwei Diaschismata -|- dem Schisma -|~ <^c™ Schisma -f- zwei I Diascbismaten. I 84 OL lieber die Theile dee (HnrtoMB, wie dieselben dnroh Oonaonamen nt nehmen sind. Hierüber soweit. Jetzl müssen wir Dun das sagen , wie wir die durch musikalische Consonanzen angeordneten Intervalle bald in die Höhe führen, bald in die Tiefe herablassen können. Dies geschieht linienweise, und die Linieo, welche wir beschreiben, werden anstatt der Stimmen aufgenommen. So ergiebt sich die Berechnung von selbst. Es sei also die Aufgabe, das Intervall eines Ganztones durch eine Conso- nanz nach der Höhe und Tiefe zu führen. Es sei der Klang A (B) '), von diesem ziehe ich einen andern Klang in die HShe, welcher durch das Intervall Diapente (Quinte) von dem Klange A entfernt ist, und die- ser ist e (C) . Von diesem führe ich die Consonanz Diatessaron (Quarte) abwärts zu dem Klange H (D), und weil zwischen Diapente und Dia- le.'^saron der Ganzton die Differenz bildet, so ist A H (BD) als der Zwi- schenraum eines Ganz ton es gefunden. Nach der tieferen Seile zu werden wir aber den Ganzton so bilden. Von dem Klange A (Bj führe ich ein Diatessaron nach der Höhe bis zu d (F) und von d führe ich Diapente abwärts bis zu G (K), so wird GA (K Bj ein Ganzton sein. Der soi^fSllige Leser wird also beobachten, dass nach der Hohe hin der Ganzion AH (BD), nach der Tiefe hin der Ganz- ton GA (KB) hergestellt n-urde. Es sei die Aufgabe , einen kleineren Theil von eüiem Ganztone durch eine Consonanz nach der HShe und Tiefe hin zu erhalten. Der kleinere Theil des Ganzlones ist das Intervall, um «"elches die Consonanz Diatessaron ! Ganztöne überschreitet. Es sei also der Klang A (AI, von A führe ich ein Diatessaron in die HShe bis zu d (B). Ferner führe ich von d ein Diatessaron in die HSfae bis zu g (C), von g führe ich ein Diapente nach der Tiefe bis zu c (D). so wird de (BD) der GanztOD sein. Femer führe ich von c (D) eüi DialessaroD in die Höhe bis zu f (E' und führe von f eme Quinte nacä der Ttefe bb lu B (F| , so wird nun cB [DP' der Ganzton sein. Die beklen Ganztone sind also de (BD) und cB iDF . Es war aber Ad [AB} em vollkommeaes Diatessa- i) Hier stehen im Boetius für den Klans A der Bodistabe B, fw den Klang e d?r Bachstebo C, Tür den Klani: H der Bochslabe D. Da wir jedes Uissver- stan.lniss b«.c«ili(;en wollen, so haben wir anstatt der willkfirUdwa Bensanun- fen .lio Beaeicbnuap unserer Klange eingesetit nnd ia Elammera die Beieich- BHUgrn <1M Boetius beibctialten. 85 roa. Es wird also BA (PA) der kleinere Theil des Ganztooes seiD, wel- cher Halbton genaont wird ^J . Nach der Tiefe hin aber geschieht es auf diese Weise ; Es sei der Klang A (A) , ich führe i Ganztöne durch eine Consonanz bis zu eis (G) , von eis (G) führe ich ein DiatessarOD abwärts bis zu Gis (E) . Es wird also Gis A (EA) der kleinere Theil eines Ganztones sein, wie es gesche- iten musste. Gis— A ^Halbton A — eis =2 GanztSnen Gis — cis^DiatessaroD nach der Höhe zu. Wenn wir nun von 3 Ganztönen Diatessaron wegnehmen, so bleibt Apolome übrig. Es seien 3 GanztÖne AH (AB), H eis (BC) , eis dis iC D) , Ton diesen nehme ich weg Diatessaron A d (A E) , so wird eis D (G Ej der kleinere Halblon sein, d dis (E D) also ist ApoUime^). A — H = Ganzton H— cis=Ganzton eis — d = Eleinerer Halbton d — dis = Apolome A — d = Diatessaron. Bequemer wollen wir diese Apotome so erhalten. Zuerst führe ich 3 Ganztdne nach der Höhe zu, von A zu dis (A zu B), von dis (B) führe ich nach Ais (C) abw&rts die Consonanz Diatessaron ; so ist A Ais (CA) die Apotome 3). A— dis ^drei Ganzl^ne nach der Höbe zu A — Ais ^Apotome dis — Ais=Diatessaron nach der Tiefe zu geführt. Wenn wir denselben Zwischenraum (Apotome) nach der Tiefe hin erhalten wollen, so geschieht dies auf folgende Weise. Es sei der Elang A (A] gegeben , ich führe hierzu einen kleinem RalbloD nach der Höhe , welcher ist AB (AD), zu B (D) nehme ich einen Ganzton nach der Tiefe , welcher ist B As (D B) , so wird As A AE) die gesuchte Apotome sein*). t) FUr die TOne A d g c f B stehen Im Boetins die Beieicbnnngen ABCDEF 1) Für A H, H eis, eis dis iteht AB, BC, CD im Boetlns. — Für Ad steht A E, nir D eis steht E C. — FUr d dis steht E D. 3] Fttr A steht A, für dis steht B. — Für Ais steht C. i) Für A steht anch A Im Boetins, für AB aber AD. — Für BAs steht DE, lürAs A sieht BA. 86 A — As=ApOk)me nach der Tiefe A — 9 =kteinerer Halbloa nach der Höhe B — A8=Gaiiztoa nach der Tiefe. Es sei die Aufgabe, nach d«r Höhe hio ein Conima zu erhaUea. So sei der Klang A (A) gegeben; ich führe eine Apotome nach der Höhe, also A Ais (A fi] , ich fübre einen kletoerea Halblon nach der Tiefe Ais Gisis (B C) ; weil nun der Halbton um ein Comma kleiner ist als Ap»- tome, so wird Gisis A (C A] das Conuna sein. A — Ais =Apotome Dach der Höhe Ais — Gisis = Kleinerer Halblon nach der Tiefe A — GiMS =B Comma. Wiederum nach der Tiefe zu auf folgende Weise ; ich nehme nach der Höhe zu von A (Aj eiuea kleineren Halblon, welcher ist A B (AD), und nehme von B aus nach der Tiefe eine Apotome, welche ist B — BB (DE), so wird das Comma sein BB— A [EAj. A— B =Kleluerer Halbton fi — BB=:ApoU>me BB—A= Comma. Segel, um einen Halbton m erhaltes. £b ist aber nöthig, dass alle diese Consonanzen (oümlicb Octave, Quarte , Quinte) mit dem Geiste und mit den Ohren gehörig erkannt worden sind : denn nimmermehr kann man hiervon durch Veniunft und WiBsenschaft überzeugt werden , wenn es nicht vortier durch Gebrauch und Uebung ganz bekannt war. Damit aber das , waB wir in der nuisika tischen Unterweisung ange- fangen haben, nicht zunächst mit den Ohren, was sich für die ziemt, welche in der Musik stdion voi^esohritten sind , sondern mit dem Ver- stände beurtheilt werde: so wollen wir ein Beispiel geben, den Zwi- schenraum von einem kleineren Halblon aufzuflndeo , was ein wenig schwerer scheint, nämlich wie er nach beiden Seiten hin nach der Höhe und nach der Tiefe in richtiger Ordnung gefunden werden kann. Es sei Diatessaron Ad (AB) ; man soll also bei der Consonanz Ad (AB) einen kleineren Halbton nach der Höhe und Tiefe hin ableiten ; ich führe Dia- tessaron dg (B C) in die Höhe. Wiederum führe ich nach der Tiefe von g (Cj aus Diapente gc (CD), so wird danncd (DB] ein Gaozton sein. 87 Dean die Coosonanz Diatessaron wird von der Gonsonanz Diapente um einen Ganzton übertroffen, und der Zwischenraum dg (BG) wird von dem Zwischenraum cg (GD) um den Zvdschenraum de (BD) über- schritten. Femer führe ich das Diatessaron cf (DE) nach der Höhe und führe nach uaten Diapente fB (EF) ; so ist der Ganzton cB (DF) ; cd (DB) war aber auch ein Ganzton; der kleinere Haibton also ist AB (AF), welcher nach Abzug der beiden Ganztöne Bc (FD) und cd (DB) von dem Diatessaron Ad (AB) übrig Ueibt. Femer führe ich ein Diates- saron nach unten A£ (AG) und führe vonE ein Diapente na(^ oben, ndm- HchEH (GH), sowirddaanAH (AH) der Ganzton sein ; es war aber AB (AF) Halbton ; es vdrd also B H (FH) Apotome. Ferner führe ich ein Dia- tessaron von H abwärts, also HFis (HK), und führe von Fis ein Diapente aufwärts, also Fis eis (KL), so wird der Ganzton H eis (HL) sein. Es war aber auch HA (HA) ^) ein Ganzton. Der kleinere Halbton also ist eis d (LB). Es war aber de (BD) auch ein Ganzton. Es wird also eise (LD) Apotomes ein. Ferner führe ich von B ein Diatessaron hinauf, nämlich B es (FM) . Der Halbton also ist des (BM) ; femer führe ich von eis (L) ein Diatessaron abwärts, nämlich eis Gis (LN) ; der Halbton ist dann also Gis A (N A) . Durch Gonsonanzen sind nun vom Diatessaron Ad (AB) zwei Halb- tone d es (BM) am hohen Klange, Gis A (NA) aber am tiefen Klange ge- wonnen worden, imd es Gis (MN) ist kleiner als Diapente, denn es be- steht aus 5 Halbtönen und % Apotomen; aus 2 Ganztönen also und 3 ideineren Halbtönen besteht das genannte Intervall. WeU nun % Halbtöne einen Ganzton nicht voll machen können , so bleibt zu einem Ganztone ein Comma übrig; der Zwischenraum es Gis (MN) ist also um ein Gomma kleiner als der Zwischenraum der Gonsonanz Diapente , was der sorg- fältige Leser ganz leicht ericemit. ^) Weü wir nun kurz vorher über die Beschaffenheit des Gomma gesprochen haben, so dürfen wir nicht über- gehen, auch zu zeigen, in welker Proportion ebendassdbe Gomma ent- halten ist. Denn es ist das Gomma das Letzte, was man mit dem Gehör wahrnehmen kann, und es ist nun zu sagen : aus welchen Gommaten, durch Zeichen ausgedrückt, der grössere und kleinere Halbton zu be- stdien scheint ; auch : aus welchen Gommaten der Ganzton verbunden wird. Von hier werde also passenderweise der Anfang gemacht. 4) Die Bezeichnungen treffen, wie oben, zuAiUig überein. 5) Eine Quinte ist es As, das Gomma ist Qis As. Beweis des Aichitaa, daes die tlwTtheUige Fropottdon in gleiote Tbeile nicht getheilt werde» kGtme, und die Widetlegnng deBselbeu. Die überlbcüige Proportion kann durch eine proportionsartig da- zwischen gescliobene Zahl nicht in gleiche Theile zerlegt werden. Dies )ioll spater sicher bewiesen werden. Der Beweis, welchen Architas hierüber giebt, ist gar sehr unlogisch. Er ist folgender Art : »Es sei«, sagt er, ndieüberlheiligeProportionAB (4:6;. Ich nehme in derselben Pro- portion die kleinsten Zahlen CE (2:3). Weil also in derselben Proportion C E die kleinsten Zahlen und dabei üt>ertheilige sind, so überschreitet die Zahl E die Zahl C um einen ihrer Theile. Es sei dieser Theil D. Ich sage, tlnss D keine andere Zühl als die Einheit sein wird. Denn wenn D eine andere Zaiil und ein Theil der Zahl E ist, so misst D die Zahl E. Dann wird sie auch die Zahl C messen. Es misst also die Zahl D beide Zah- len , nümlich C und E . was unmöglich ist. Denn welche Zahlen die kleinsten in ebenderselben Proportion sind, die auch durch beliebig andere Zahlen aus^^edrückt werden kann, diese sind auch die ersten wechselseitig zu einander und haben als Differenz allein die Einheit ; die Einheit also Ist D und rolgUch überschreitet die Zahl E die Zahl C um die Einheil. Deswegen RUH keine mittlere Zahl dazwischen, welche diese Proportion gleich theUen könnte. Daher kommt es, dass auch nicht zwischen die Znhlnn (nämlich höherer Ordnung), welche dieselbe Proportion , wie jene , behaupten , eine mittlere Zahl gesetzt werden kann, welche dieselbe Proportion in gleiche Theile zerlegen könnte.« Uebertheilige Proportion = 6 : i Die kleinsten Zdhlen dieser Proportion = 3 ; % Die kleinste Differenz = 1 Denn A= 4, C= S, D= 1, E = 3, B = 6, Und nach der Berechnung des Architas liegt deswegen keine roiulere Zahl in der ü bertheiligen Proportion , weil die kleinsten Zahlen in derselben Proportion durch die Einheit allein differiren. Auf gleiche Weise erhalten nicht auch in der vielfachen Proportion die kleinsten Zahlen die Einheit als Differenz, da wir sehen, dass mehrere vielfach sind, ausser denen, welche in den Wurzeln aufgestellt sind, zwischen welchen die mittlere Zahl , die dieselbe Proportion in gleiche Theile zerlegt, passend gesetzt werden könnte. Dies wird derjenige leichter erkennen, welcher unsere arithmetischen Bücher soi^ßiltig durchgesehen hat. Hier ist noch hinzuzufügen, dass nach der Meinung des Architas dies nur id der überlbeiligeD Proportion alleio geschehe. Im Allgemeinen kann dies aber nicht gesagt werden. Jetzt weiten wir zum Folgenden übergehen. In weichet Zahlenptoportion das Onmina besteht, nnd dass es in der barteht, welobe giGsBer ist als 75:74, die aber kleiner ist als 74i73. Zuerst also behaupte ich, dass die Zahlen, welche ein Com hatlen, eine grössere Proportion mit einander bilden als 75:74, eine' Heinere jedoch als 7i : 73. Dies wird folgendermassen bewiesen. Vor illen Dingen muss daran erinnert werden, dass 6 Ganztöne e um ein Comms überschreiten. EsseialsoAcsSeSlii; a[B) möge hierzu die Consonanz Diapason im Doppelten ausgedrückt behaupieo , nämlich StilSS ; gisis (C) aber möge am 6 Ganztöne von der Zahl A abstellen and sei = 831 iil , was Alles aus der Stellnng der Ganzlöne im Sten Buche einzusehen ist. Zwischen a (B) also und gisis (C} ist die Propor- tion eines Gamma enthalten. Ich subtrahire nun die Zahl a IB) von der Zahl gisis (C] wonach q (D) übrig bleibt, was in TIG3 Einheiten be- sieht. Diese Zahl q (D) ist kleiner ab der 73te Theil der Ziih! a (B) , grösser aber als der 7ite Theil. Denn wenn ich dieselbe Z^hl q (D), also 7153, mit 73 multiplicire , so erhalte ich die Zahl r (E), die in SJi169 Einheiten besieht. Wenn ich dieselbe Zahl (7153] mit 7i multi- pUcire, so erhalle ich die Zahl s (F) 5293S8. Von diesen Zahlen ist r (E) ^ tieiaer als die Zahl a (B), s (F) aber grösser als die Zahl i) [B). Rieh- ^ lig wurde also von der Zahl q (D) gesagt , dass sie kleiner als der 73te gp Theil, grösser aber als der 7*le Theil von a (B) sei. Deswegen übertrifft auch die Zahl gisis (C) die Zahl a (B) um einen tleinereo Theil, als es der 73te Theil von der letztem ist, um einen grösseren aber, als es der 7ite Theil derselben Zahl ist. Also ist auch die Proportion gisis: a (C:B} grösser als 75:74, kleiner aber iils "4:73. Denn in der ersteren ist die Einheit der 74te Theil der kleine- rea Zahl, in der späteren ist die Einheit der 73te Theil. 6Ganztöne=A[=a64l44] : gisis (C) [=531441] Diapason =A [=863144] :a(B) [=544288] Comma=a (B) [=5S4S88] : gisis (C) [= 531 441 ] Differenz=q(D)=7153 73X71 53 = 8281 69=r(E) 74X71 53 ==54932ä=s(F]. S2 90 Datiaelbe ist aucli auf andere Art zu entwickeln , als es vorher ge- schah. Weoa nämlich eine Proportion um die richtige Differeoz der Zah- len gleicherweise vermehrt wird, so wird zwischen deo Zahlen , wdche nach der Äddilion entstehen, eine kleinere Proportion stattfinden, als zwischen den Zahlen, die vor der Addition in einer gewissen Proportion zu einander standen. Wenn wir z. B. zu den beiden Zahlen i und 6 ihre Differenz i hinzu addiren, so erhalten wir 8 und 6 ; zwischen 6 und 4 besieht die Proporiioii Sesquialler, zwischen 8 und 6 die Proportion Sesquiten. Die Proportion Sesquilerz ist aber kleiner, als die Proportion Sesquialter. Nachdem wir dies vorausgeschickt haben , wollen wir die früheren Zahlen aufstellen , welche die Proportion eines Comma enthal- ten ; also es sei glsis (A) =a 531441, a (B) ^ &ä4i88, deren Diffe- renz q [C} = 71 ä3. 'j Die Zahl q (C) möge nun die grössere Zahl gisis (A) 75 mal messen. Wenn mau dte Zahl q (C) mit 75 mulü- plicirt, so erhält man l (D) ^ 536475. Die Zahl t (D) übertrifft die Zahl gisis (A) um die Zahl u (E) = 5034. Femer möge die Zahl q (C) die Zahl a [B] li mal messen; q [Cj werde also mit 74 multiplicirt, woraus man s (F) ^ S393lt erhält. Diese Zahl s (F) ist um dieselbe Zahl u [E] grösser als a fBi, also um 5034. Die Zahl I (D) überschrMtel also die Zald gi.sis {A} um die Zahl u (E), und die Zahl a (B) wird von der Zahl s (F) ebenfalls um die Zahl u (E) übersch ritten. Wenn wir also zur Zahl gisis (A) die Zahl u (Ej addiren, so erhalten wir t (D). Wenn wir aber zur Zahl a [B] dieselbe Zahl u (E) addiren, so erhalten wir s [F] . Die Zahl t (Dj ist <las Product aus 79 und q (Cj ; s [Fj aber ist das Product aus 74 und q (C; . Es behaupten also t (D) und s (Fj die Pro- portion 75 : 74 ; t (D) und s (Fj sind die Zahlen gisis (Aj und a (Bj, wozu die Zahl u [Ej adtlirl wurde. Nothwendigerweise also findet zwi- schen gisis (A) und a (B) eUie grössere Proportion statt, als zwischen t (D; und s (Fj. Denn durch die Addition von u (E) zu gisis (A) und a [B) erhielten wir t (DJ und s (Fj . Die Proportion zwischen t (D) und s (Fj ist also kleiner als zwischen gisis (Aj und a (B). Zwischen t (DJ und s (Fj ist dieselbe Proportion, wie zwischen 75 und 74. Zwischen gisis (A) also und a (B) ist eme grössere Proportion , als zwischen 7S und 74 ; gisis (A) und n (Bj entbiellen das Comnu. Mithin ist die Propor- tion des Comma grösser, als 75 : 74. 1) Die Buchstebonbezelchnung der Zahleo ist hier, wie die Buchstaben ii Klammem beweisen, bol Boeiiui Uiellweise eine andere, als die trttbere. 91 gisis (ä) = 63Hil grössere Zahl a(Bj =S91ä88 kleinere Zahl Das Comma 531 44t : 634388 ist grösser als 75: 74 q (C| = 7163 1 (D) = 536475 u (Ej = 5034 s (F) = 529338 536475:529333 = 75: 74. Da wir also gezeigt haben, dass die Proportion eines Comma grösser ist , als die Proportion von 75 : 74 , so müssen wir jetzt zeigen , wie die Zahlen , welche den Zwischenraum eines Comma in sich enthalten , eine kleinere Proportion bilden , als 74:73. Dies wird auf folgende Weise gezeigt. Zuvörderst muss an das erinnert werden , was wir im zweiten Buche schon ausgesprochen haben, als wir über die Messung der Diffe- renz einige ErktSrungen gaben. Wenn wir nämlich von einer beliebigen Proportion die Differenz von den Zahlen subirahiren, welche diese Diffe- renz enthalten , so werden die Zahlen , welche übrig bleiben , eine grössere Proportion behaupten, als die Zahlen, welche vor der Verringe- rong um die Differenz vorhanden waren. Wir haben z. B. die Zahlen 8 und 6. Von diesen subtrahire ich ihre richtige Differenz, nämlich 3, so bleiben die Zahlen 6 und 4. In den früheren Zahlen 8 : 6 tag eine Proportion Sesquiterz , in diesen jedoch igt eine Proportion Sesquialter enIhalteD. Die Proportion Sesquialter ist aber grösser als die Proportion Sesquiterz. Wir haben also dieselben Zahlen gisis (AJ und a (B), wie wir sie früher bezeichneten, deren Differenz q (C) ist. Wir multipliciren die Differenz q (C) 74 mal, so erhalten wir die Zald s (F], nSmlich 5I93S3, welche, mit der Zahl gisis (A) verglichen, von dieser übertroffen wird um die Zahl p [Q], n&oilich 3119. Ferner multipliciren wir die- selbe Zahl q (C) 73 mal, dann erhalten wir die Zahl v (E), nämlich 5J3 1 69, welche, mit der Zahl a (B) vei^ichen, von dieser um dieselbe Zahl p (G) übertroffen wird, n&mlich um 3119. Die Zahl p (G) nun von den Zahlen gisis (A) und a (Bj subtrahirt, ergiebt s (F) und v (K) . Es werden also gisis (A) und a (B) eine kleinere Proportion enthalten, »Is s (F) und V (K) ; s (F) und v (K) behaupten nun die Proportion 74 : 73 , denn sie entstanden aus dem Product von q (Cj und 74 und dem Product von q (C) und 73. Die Proportion der Zahlen gisis (A) und 3 (B), die das Comma enthalten, ist also kleiner, als 74 : 73. Kurz vor- ler wurde gezeigt , dass dieselbe Proportion des Comma grösser sei als Td : 7 4 . Es wurde mithin dai^ethan, dass die Zahlen, weiche das Comma • ul % 92 enthalten, eine grössere Proportion als 75:74, eine kleinere aber als 74 : 73 unter einander bilden, was eben zu zeigen nöthig war. gisis (A) = 534441 a (B) s 524288 Das Comma 534441 : 584288, also gisis (A) :a (B) ist klei- ner als die Proportion 74 : 73. p (G) = 2H9 q (C) = 74 53 s (F) = 529322 V (K) = 5224 69 s (F):v (K) 529322:5224 69 = 74:73. xin. DasB der kleinere Ealbton grosser ist, als 20 : 19, nnd kleiner als 191/2 s 18 V2- Wenn in Bezug auf den kleineren Halbton auch eine solche Unter- suchung angestellt wird , so werden wir leicht die Proportioa desselben finden. Sie besteht zwischen 256 und 243. Es sei also 256 = a (A) und 243 =b (B) und deren Differenz 43 = z (C). Wir behaupten, Hi dass a (A) und b (B) eine kleinere Proportion enthalten, als 4 9Y2-^^V2- '^^ Es möge z (C), 49Y2 ^^ genommen, die Zahl a (A] messen, so entsteht ^ 253^2» welche Zahl wir mit x (D) bezeichnen. Diese Zahl also, mit "?Pj a (A) verglichen, ergiebt, dass sie von dieser letzteren um 2Y2 über- schritten wird. Es sei diese Differenz 2Y2 == r (F). Femer möge die Zahl z (C), 4 8y2 °^^ genonmien, die Zahl b (B) messen, so erhalten wir ^, 240Y2> welchen Werth wir mit y (E) bezeichnen; y (E) verglichen zu b (B) ergiebt, dass jene von dieser um dieselbe Zahl r (F) überschritten wird, nämlich um 2 Y2 i ^ W ^^^ Y (^) ^i"^ ^^^ ^^ dieselbe Differenz '^^t (F) kleiner, als a (A) und b (B); r (F), von a (A) und b (B) subtrahirt, ^% ergiebt x (D) und y (E) ; x (D) : y (E) ergiebt eine grössere Proportion % als a (A) : b (B). — Es bilden x (D) und y (E) mit einander dieselbe Pro-'^ft, portion wie 49Y2' 48Y2; a (A) :b (B) ist also eine kleinere Proportion "^G; als 4 9Y2 • ^ 8 Y2> ^^^ ^^ erweisen war. ^q a (A) = 256 grössere Zahl ^ 5^ b B) = 243 kleinere Zahl C der kleinere Halbton 256 : 243 bildet eine kleinere Proportion alt\ ^ 4 9Y2:<8Y2; denn 253Y2: 240Y2=^9Y2- ^^^2- > ii,' 93 Diese Proportion 256:243 scheint dennoch grösser zu sein, als 20:4 9. Wir haben also a (A), b (B) , z (G), als dieselben Zahlen, wie wir sie oben bezeichnet haben. Es möge nun z (G), 20 mal genommen, die Zahl a (A) messen, so erhalten wir 260, welchen Werth wir mit r (D) bezeichnen; diese Zahl also, zu a (A) verglichen, ergiebt, dass sie letztere um 4 überschreitet, welche Dififerenz wir mit u (F) bezeichnen. Femer möge z (G) , 19 mal genommen, die Zahl b (B) messen, so erhal- ten wir 247, welchen Werth wir mit m (E) bezeichnen ; diese Zahl m (£) , mit b (B) verglichen, ergiebt ebenfalls, dass sie letztere um dieselbeZahl u (F) = 4 überschreitet. Die Zahl r (D) überschreitet also die Zahl a (A) um dieselbe Zahl u (F), wie die Zahl m (E) die Zahl b (B] ; u (F) also, zu a (A) und h (B) addirt, ergiebt r (D) und m (£] . Die Proportion der Zahlen a (A) und b (B) ist mithin grösser als die der Zahlen r (D) und m (E) . Die Zahlen r (D] und m (E) entstanden aber aus dem Product von z (C) und 20, und z (G) und 19. Die Proportion von a (A) und b{B), welche den Halbton enthält, ist also grösser als die von 20 und 19. Es wurde mithin bewiesen, dass der kleinere Halbton eine grössere Proportion hat als 20: 19, eine kleinere aber als 19Y2- *8V2- J®*zt wollen wir den kleineren Halbton mit dem Gomma vergleichen , welches als das Letzte dem Gehör unterworfen ist und also auch die letzte Pro- portion bildet. Das Yerhältniss des kleineren Halbtones a:b==:256:243 ist eine grossere Proportion als 20 : 1 9 ^) . XIV. Dass der kleinere Ealbton grosser sei, als 3 Oommata, kleiner aber als 4 Oommata. Wir setzen uns also die Aufgabe zu beweisen , dass der kleinere jfialbton grösser ist, als 3 Gommata, kleiner aber als 4 Gommata, was inao aus Folgendem ganz leicht erkennen kann. Es seien nun 3 Zahlen [30 aufgestellt , dass sie zu einander die Proportion eines Diapason und ^ch von 6 Ganztönen enthalten. Es sei A (A) = 2621 44. Von dieser ll nehmen wir die Proportion von 5 Ganztönen bis Hsis (Bj , und es ^i fisis (Bj = 472392. Zu A werde a (Gj als Diapason gesetzt, und sei a (G), 524288. Sodann nehmen wir von A aus 6 Ganztöne bis gisis (D), und es sei gisis (D) = 531441. Nachdem diese Zahlen 1) 256 : 243 nach der Saitenlänge, zu welcher die Zahl der SchwiDgungen umgekehrten Yerhältniss steht. ! :*v: 94 so aufgestellt wurden, ist klar , dass zwischen a (C) und gisis (D) ein Comma Kegt, und dass deren Differenz 74 53 = K ist. Es werden also 2 Ganztöne von fisis (B) aus nach unten geführt bis zu der Zahl dis (£) =s 373248. Femer führe ich von dis (E) ein Diatessaron herauf bis zu gis (F) =r 497664. Weil nun zwischen dis (E) und fisis (B) zwei Ganztöne sind und zwischen dis (E) und gis (F) ein Diatessaron, so wird zwischen fisis (B) und gis (F) ein kleinerer Halbton gefunden. Denn wenn von der Consonanz Diatessaron t Ganztöne weggenommen werden, so bleibt ein kleinerer Halbton übrig, der in den ersten Zahlen 256 und 243 besteht, wie vorher gesagt wurde. Wenn wir eben dieselben Zahlen mit 4 944 multipliciren , so erhalten wir die Zahlen fisis (B) und gis (F). Und diese behaupten nothwendigerweise dieselbe Proportion als die vorhergenannten Zahlen, weil diese letzteren durch ein und dieselbe Zahl multiplicirl wurden und dann die ersteren ergaben. — Ebenso führe ich von gis (F) ein Diatessaron nach der Höhe bis zu eis' (G) = 663552. Wiederum führe ich von eis' (G) zwei Ganztöne herunter bis zu a (P) = 524288. Und dieses a (P) stellt nothwendigerweise denselben Klang dar, als a (C) , da a (P) durch solche Berechnung zur Gleichheit mit a (C) gelangt ist. Denn Aa (AG) ist die Consonanz Diapason, welche aus 5 Ganz- tönen und 2 kleineren Halbtönen besteht und von 6 Ganztönen durch ein Comma überschritten wird. Von derselben Zahl A ist die Zahl a (P) um 5 Ganztöne und 2 Halbtöne auf folgende Weise entfernt. Von der Zahl A 'Zur Zahl fisis (B) erhält man sicher 5 Ganztöne, von fisis (B) zu gis (F) wird ein kleinerer Halbton gerechnet, gis (F) zu a (P) schliesst wiederum einen kleineren Halbton ein. — Von A sind bis zu a (P) 5 Ganztöne und 2 kleinere Halbtöne geführt worden. Mit Recht also werden a (P) und a (C) mit denselben Zahlen geschrieben. Weil nun zwischen gis (F) und a (C) ein kleinerer Halbton ist, so woUen wir sehen, welche Differenz sie haben, und wir können dieselbe mit dem Comma vergleichen. *) Die Differenz derselben ist aber 26624, welche wir niit M bezeichnen. K also ist die Differenz des Comma, und M die des klei- neren Halbtones. Wenn wir nun die Zahl K (74 53) mit 3 multipliciren, so erhalten wir 24 459. Diese Zahl sei = L . Wenn vsrir dieselbe Zahl (V 4 5 3 ) mit 4 multipliciren wollen, so erhalten wir 2864 2, und es sei diese Zahl N. M ist also grösser als L, kleiner aber als N. N ist nun das Product aus K und 4 , L jedoch das Product aus K und 3 , M aber behauptet die 4) Bei den folgenden Zahlenwerthen behalte ich die Buchstabenbenennung des Boetius bei ; daher auch nicht durch Klammem seine Buchstaben beson- ders angedeutet sind. Differenz des kleJDereD Halbtones. Mit Recht also wurde gesagt, dass der kleinere Halbton kleiner sei als i Commata, jedoch grösser als 3 Commata. [um die Sache annähernd modern auszudrücken , so sei der Klang c = S63U4, dann ist: Diapason=c:c' = !6ä1i4: SSiSSS Intervall von fünf GanztÖnen ^ c:ais=S6tUi : 47S393 Intervall von sechs Ganztönen = c:his = S6tU4; 53144) Kleinerer Halbton = ais: h = 47S39t ; 491664 Zwei Ganztäne = ais:fls = 47i393 : 373248 Diatessaron Bs:h = 373S48: 497664 Dialessaron h: e' = 497664 : 663SSS Intervall von zwei GanztÖnen e':c' = 663552 : 5343 8 S Differenz zwischen ais und h^S5S72 Differenz zwischen h und c := S6634 Intervall von sechs Ganztönen = c:his = ä62t44: 531441 Comma = his;c' = S3l44< ; 524288 Differenz des Comma = 71 B3.] XV. DsBB Apotome gröuer alz 4 Oommata ist, kleinei aliai als S, nnd daas der Oanzton grSaser als 8, kleiner als 9 Oommata ist. Auf dieselbe Weise können wir auch in Bezug auf den grösseren Halbton, von dem wir vorher sagten, dass er xApotome' genannt werde, finden, wie viel Conunata er enthalte. Es sei A (A) = 2621 44, der Klang, welcher um 5 Ganzlöne ent- fernt ist, sei fisis (B) = 472392; der Klang, welcher von A um 6 GanztÖne entfernt ist, sei gisis (D) = 531441. Zwischen üsis (Bj also und gisis (D) ist ein Ganz ton ; flsis (B] ist von gis (C) ^ 497664 um einen Halbton entfernt. Zwischen gis (C) und gisis (D) bleibt nun die Proportion der Apotome übrig. Denn da der Ganzton tisis gisis (B D] is( , so bleibt , wenn man von diesem Ganztone flsis gisis [B D) den kleineren Halbton wegnimmt, der grössere Halbton gis gisis (C DJ übrig, den wir vorher als Apotome bezeichneten, zwischen gisis [D] also und eis (C) ist die Differenz 33777 , diese sei = v (E) . Die DifTerenz für ein Comma war ^ 71 53, welche wir mit x (F) bezeichnen. Man mul- liplicire nun dieses CtHmna 7153 fünfmal, so erhält man 35765, und diese Zahl sei = m (G). Wenn man aber dieselbe Zahl x (P] 4 mal multii^icirt, so erbSll man die Zahl y (K] =2S6I2; m (G) also ist grösser 96 ab V (E) = 33117, y (K] aber ist kleiner als v (E) ; m (Qj ist das rüafmal genommene Comma, y (Kj das viermal genommene, und v [E] ist die Diffe- renz der Apotome. Mit Recht wurde daher gesagt, dass Apotome kleiner sei als 5 Commata, grösser aber als 4 Commata. Hieraus ist also bewie- sen, dass der Ganzton grösser ist, als g Commata, kleiner aber als 9 Com- mata. Denn wenn der kleinere Halbton grösser als 3 Commata ist, und wenn Apotome grösser als i Commata und kleiner als S Commata ist, so wird der kleinere Ualblon mit dem grösseren (also mit der Apolomei verbunden grösser als 8 Commata, kleiner aber als 9 Commata sein. Apotome und der kleinere Halbton ergeben zusammen den Ganzlon. Der Ganzton ist also grösser ab 8, kleiner aber als 9 Commata. A (Aj =86äU4 Gsis (B) = 472393 gis (C) = 497664 gisis (D; = 531441 m (G) = 35765 y (K) =iUii A : ßsis ^=!6iU4: 47I39S := sechs Ganztöne ßsis ; gis = 47S39i ; 497664 = Halbton gis ; gisis = 497664 : 531441 = Apotome. XVI. Beweis diinlt Zahlen fSr das froher Gesagte. Obschon nun durch diese Berechnung gezeigt wurde, wie der Ganz- ton »ch zu den Commaten verhält , so ist es gleichsam den Säumigen nicht zu erlassen, dass gezeigt werde , wie der Ganztoa selbst für sich betrachtet diese Proportion mit den Commaten behauptet. Es sei abo A (A)=26SU4, fisis (B] aber sei von diesemS Ganztöne entfemt^47S392, <\ (C) aber behaupte zu A (A] die Symphonie Diapason in der Zahl »34288, und gisis (D) =531 44) sei von A (A) 6 Ganztöne entfernt; gbis (D) steht von a (C) um ein Comma ab, also um eben so viel, als 6 Ganz- töne von der Consonanz Diapason differiren ; es sei diese Differenz v (E i ^ 71 53 ; gisis (D) ist von flsb (B) um einen Ganzton entfernt, wie es 6 Ganztöne von 5 Ganztönen sind; dies sei == p (F) 59049. Wenn wir v (E) mit 9 multipliciren , so eriisiten wir r [H] ^ 64377. Wenn wir es mit 8 multipliciren, so erhalten wir 563S4, und dies sei m (G) : r (H) übertrifft die Zahl p (F) ; m [G) aber ist kleiner als p (F) , welches die Differenz des Ganztones bt; r (H) aber enthält 9, m (Gj 8 Commata. 97 Es wurde also bewiesen , dass der Ganzion kleiner als 9 , grosser als 8 Commata sei. Durch das Vorhergegangene möchte wohl schon gezeigt worden sein , dass der grössere Halbton vom kleineren Halbton um ein Comma entfernt ist ; wir werden dies jedoch auch für sich und mit hin- zugesetzten Zahlen durch folgende Berechnung beweisen. Es sei gis (A) = 497664, von dieser ist die schon vorher bezeich- nete Zahl a (B] == 52I4SI88 um einen kleineren Halbton entfernt. Apo- tome ist von gis (Aj die Zahl gisis (G) = 534 444 . Weil also gis a (AB) der kleinere Halbton, gis gisis (A G) aber der grössere Halbton ist, so ist die Differenz zwischen a (B) und gisis (G) zu suchen. Diese ist 7153 und dies sei v (D) . Diese Zahl zeigte schon vorher das Gomma. Zwi- schen dem grössern und kleinern Halbton ist also ein Gomma Differenz ^) . Kleinerer Gomma Halbton (Differenz 74 53) gis (A) a (B) gisis (G) 497664 524288 534 444 Apotome. Femer nehme ich mir vor zu beweisen , dass der Ganzton um ein Comma allein grösser sei als 2 kleinere Halbtöne. Es sei ais (A)= 472392. Hierzu werde ein Ganzton nach der Höhe zu genommen, also his (D) = 534 444 . Von ais (A) werde nun ein kleinerer Halbton nach der Höhe zu genommen und dies sei h (B) = 497664. Ebenso werde von h (B) ein anderer kleiner Halbton nach der Höhe genommen, und dieser sei c (C) = 524288. Weil also ais his (A D) der Ganzton ist, ais c (A G) aber 2 kleinere Halbtöne enthalten, so wollen wir sehen, welche Differenz zwischen den Zahlen c (G) und his (D) besteht; diese ist v (E) =74 53. 4) Für den Vergleich mit der modernen Musik eignet sich auch folgende ToDbestimmung besonders gut : his (C) = 534444, c (B) = 524288, h (A) = 497664. Denn wenn man vom Tone G ausgeht und die 42te Quinte, also (l)^^ nimmt, so erhalten wir für his und die neben demselben liegende 7te Octave c {^)^ die Verhältnisszahlen 531444 : 524288, von welchen die erstere dem Tone his, die letztere aber dem Tone c entspricht. Kleinerer Gomma Halbton (Differenz 7453) h (A) c (B) his (C) 497664 524288 534444 Apotome. Boeiias. 7 ! r Es ist also gezeigt worden, dass der Ganzton um ein Comma grosser ist, nis 'i kleinere llalblüne. Kleinerer Kleinerer Comma Halbton Halbton i7!398 i9766i 5i42S8 53 Uli. ;iis [A) h (B) c (C) bis (D) Weil nun Alles, was zu beweisen war, in richtiger Berechnung ge- zeigt worden isl, so wollen wir jetzt diö regelreclite Einlheilung für das Monochord geben , welche für die musikalische Institution übrig bleibt. Weil diesei' Gcijeiisland in längerer Darlegung auseinandergesetzt ist , so meinten wir. diiss er auf die folgende Untersuchung des nächsten Buches zu verschieben sei. BUCH IV. DitsB dia Differenzen der Stimmen in dei (messbaren) Grösse bestehen. Obschon wir Alles, was zu beweisen war, dun^li die. Ablüinilliing ho vorhergehenden Buche auseinandergesetzt haben, -^o scliadel es iteinocli uichts, wenn wir es noch einmal in Kürze zur Hülfe des Ge- illchlnisses darlegen , allerdings mit einer gewissen VerschiedenlK^il in der Behandlung, damit wir, wenn dies von Neuem zum Gcdnchlniss tixnmt, zu der Tlieilung der Kegel gelangen, worauf die ganze Aufmerk- samk^t gerichtet ist. Wenn sich alte Dinge im Zustande der Hulie be- landen, so würde unser Gehör kein Klang berühren. Dies wurde aber geschehen, weil bei dem Auflioren aller Bewegung dir Dinge anler eich keiaen Schlag erregen könnten ; zur Existenz der Slinime ist also der Schlag DÜthig. Dem Vorliandensein des Schlages miiss aber nothwen- digerweise Beweguog vorangehen. Wenn also Stimme exisliren soll , so niiss auch Bewegung vorbanden sein. Jede Bewegung hat in sich bald das Moment der Schnelligkeit, bald das der Langsamkeit. Wenn also eine Bewegung beim Schlagen langsam ist, so wird ein tiofcrcr Klang erzeugt ; denn wie die Langsamkeit dem Stillstande am nächsten kommt, so ist loch die Tiefe der Schweigsamkeil benachbart, liiuc scImcUc Bewe- gung ergiebt einen hohen Klang. Ausserdem gelangt eine tiefe Stimme durch Erhöhung bis zur Hitte , eine hohe aber durcli Erniedrigung zur Miite. Daher kommt es, dass jeder Klang gleichsam nu.s gewissen Tjiei- len zusammengesetzt zu sein scheint. Die ganze Verbindung der Theile wird durch eine gewisse Proportion zusammengeriigl. Die Verbindung der Klänge besteht also aus Proporlionen. Die Proportionen aber be- trachtet man hauptsächlich in den Zahlen. Die cinfai'lie Proportion der Zahlen findet man in vielfachen, übertheiligen und iibermehrl heil igen. Nach den vielfachen oder übertheiligen Proporlionen liört man die con- üonirenden oder dissonireuden Stimmen (Klüngel Uie consonirenden 100 Slimmcn (Klänge) sind die, welche, gleichzeit^ gescblagon, eioea ange- nehmen und vermischten Klang unter einander verbinden. Dissonireadc itind die, welche, zugleich geschlagen, keinen lieblichen und Termischteii Klang erzeugen. Nach diesen Voraussctuckungen, wollen wir ein wenig über die Proportionen sprechen. n. Venchiedene üntenucliiuigen Sber die Intervalle- Wenn ein vielfaches Intervall mit zwei multiplicirt wird , so gehl aus dieser Hultiplication wiederum ein vielfaches Intervall hervor, 'j Es sei ein vielfaches Intervall fiC, und B sei das Vielfache von C, so kann man erhalten C;B=BiD. Weil also B das Vielfache von C ist, so missl die Zahl C die Zahl B zwei- oderdreimal etc., und es ist C.-B:=Bi D. Es misst also die Zahl B die Zahl D. Deswegen nun, weil die Zahl C die Zahl B misst , wird sie auch D messen. Es ist also auch D ein Viel- faches von C, und C D ist ein Intervall, welches aus der Zusammensetzung und doppelten Verknüpfung des Intervalles BC besteht, das eben mit zwei multiplicirt wurde. Auch durch Zahlen wird dasselbe bewiesen. Es sei B von C das Doppelte, wie 3:1, und es möge entstehen C : B^ fi : D , so wird nun D das Vierfache sein. Vielfach ist aber B : C, d. h. S : < . Vielfach ist auch D : B, d. h. 4 : 2. Vielfach ist also auch D (= 4) : U(=l). Das Vierfache besteht aus 4 Einheiten und der mit % multi- plicirten Mitte, und S : l ist das Intervall BC. Vielfaches Intervall ( % 4 C B D [In modernen Tonbeslimmungen ansgedriickt erhalten wir, wenn wir C=A, B = a und D=a' setzen 1 S 4 A a a'.] Weitn ein mit i multiplicirtes Intervall ein Vielfaches bewirkt hat, RO wird das Intervall auch selbst ein Vielfaches sein. Es sei das Inter- vall'GB, und es werde dann C:B=B:D, und D sei zq C ein Viel- faches, so behaupte ich, dass auch B von C ein Vielfoches ist. Denn 1) Hier ist dioBuchslBbonbcnenDungdesBoetiusbeibehalteaworden; denn ilcr ganio Zusaiomonhimg crgiobt leicht, dass BooUus in dieser Entwickelnn^ kclni> lioslimroten Klanghohen sich gedacht lial , sondern nur im Altgemeincn durch Buchslnhon mnthoniatischo VcrtiHltnisse ausdrücken will. 101 weil D von C ein Vielfaches ist , so wird C die Zahl D und uticli die Zahl B messeD. Es wurde aber gezeigt, dass, wenn hei proportioDaler Aufstellung der Zahlen die erste Zahl bei der Vei^eichung die letzte Diissl, dieselbe auch die mittlere Zahl messen wird. C misst also B, und es ist B ein Vielfaches von C. Dies wollen wir wiederum durch Zahlen deutlich machen. Es seiC = 1, D aber aus verdoppelter Pro- [Kirtion entstanden, BC sei i, und dies ist das Vielfache von C, da es das Vierfache ist. Weil nun das Vierfache aus der doppelten Proportion BC erzeugt wird, so wird die Proportion BC die H&lfte davon sein. Die Proportion BC ist also eine doppelle. Das Doppelte ist aber vielfucli. Es nird also die Proportion BC vielfach sein. Vidfaches Intervall I : S = 3 : i : B = B : D. Bei einem überlheiligen Intervall wird weder eine, noch werden meh- rere mittlere Zahlen proportional! ter dazwischen gesetzt werden können. Es sei B C eine übertheilige Proportion und in derselben Proportion seien die kleinsten Zahlen D F und G. Weil D P und G die kleinsten Zahlen in derselben Proportion sind, so sind es auch die ersten derselben Propor- ;ion. Deswegen wird allein die Einheit dieselben messen. Es werde nun G von D F we^enommen, wonach D übrig bleibt. Hier ist also eine gemeinschaftliche Messung beider, und diese wird die Einheit sein. Aus 'liescm Grunde wird keine Zahl zwischen FD und G fallen, welche kleiner als G und grösser als FD wäre, da diese Zahlen nur durch die Einheil von einander verschieden sind. Wie viel Zahlen aber in den überlheiligen Proportionen proportionaUter zwischen die kleinsten derselben Propor- lion falten, ebenso viel werden auch zwischen die übrigen Zahlen dei- M'lhcn Proportion fallen. Es kann nun aber zwischen den kleinsten Zah- len derselben Proportion FD und G keine andere Zahl dazwischen liegen. Es wird also auch zwischen B und C keine Zahl proporlionaliler dazw- ^lienfaUen. In Zahlen ausgedrückt nehmen wir eine beliebige über- Ihcilige Proportion an, z. B. die Sesquialler-Proporlion. also 1 : 1 S. In ilersclben Proportion sind die kleinsten Zahlen 3:3. Von 3 nehme ich I weg, so bleibt I übrig, und diese misst beide. Es wird also keine Zahl zwischen 3 imd 3 Hegen, welche grösser als a , kleiner aber als 3 isi. Die Einheit wird dnrch etwas Anderes getheilt , was jedoch nicht liierher gehört. Deswegen wird zwischen t und I S keine Zahl gefuil- ■ien. welche zu 1 dieselbe Proportion behauplel, die sie zu 15 ein- niflunt. k Scsquialtcr-Proportion in den kleinsten Zahlen Sesquifiller-Propon ion 10 : lA C = 10,G = S, D = ), F = 3, B=15. Wenn ein nicht vielfaches Inten'all durch S multiplicirt wird, so ist ilds, was nus dieser Multiplicalion entsieht, weder vielfach noch über- theillR. Es sei ein Intervall BC nicht vielfach, und es werde C : B ^ B : U , &a behaupte it^h , dass D von C weder vielfach noch übertheüig ist. Gesetzt, es w'Are D von C vielfach, so ist bekannt, dass, wenn ein Intervall durch 3 multiplicirt wird und hieraus ein vielfaches Intervall entsteht , auch das Intervall selbst , was mit t multiplicirt wurde , ein vielfaches lulervaU ist. Dann wird also BC ein vielfaches Intervall sein; als solches ist es aber nicht vorausgesetzt wordeo. Es wird aL«o D von C kein Vielfaches und auch kein Uebertheiliges sein. Denn es fallt keine mittlere Zahl einer iibertheiligen Proportion proportionaliter dazwischen. Zwischen D aber und C ist eine Zahl proportionaliter gesetzt worden, nitmiicli B. Denn wie C : B so B : D. Unmi^ich also wird D von C ent- weder vielfach oder übertheiltg sein, und dies sollte bewiesen werdea. Z. B.. in Zahlen auspcdrückl, sei also ein nicht vielfaches Iniervall 6 : 4 und es werde die Proportion aufgestellt i zu 6 wie 6 zu einer beliebi- gen andern Zahl. Hierzu wird also die Zahl 9 passen, welche weder vielfach noch iiberlhciHg von der Zahl 4 ist. Nicht vielfach und nicht iibertbeilig C : B = B : D 4:6 = 6:9. Wenu ein Inler^idl mit i multiplicirt wird, und es entsteht aus die- ser Hullipiication kein Vielfaches, so wird auch das lotervall selbst kein Vielfaches sein. Es sei das Inteniall BC und es werde gesetzt C: B= B : D , U soll von C kein Vielfaches sein. Ich behaupte , dass auch B von C kern VlelEachcs sein wird. Denn wenn es ein Vielfaches wäre, so müsste auch D ^on C ein Vielfaches sein. Dies ist aber nicht der Fall, folglich wird auch B \oa C nichl vielfach sein. Nicht vtelfech Nicht vielbch 103 Ein doppeltes Inlervall wird aus den beiden grösslen iibertheUigea verbunden, aus Sesquialter und Sesquilerz. Es sei A von B ein Sesqui- aller und B von C ein Sesquilerz. Ich behaupte, dass A von C ein Dop- pdles ist. Da nun A von B ein Sesquialter ist, so hat es B ganz und dessen Hälfte in sich. 3XA ist also = 3XB. Femer, da B von C ein Sesquilerz ist, so hat B das C ganz und den 3ten Theil desselben in sich. 3XB ist also = *XC- 3 XB war aber gleich SXA. JXAislalso = iXC und daher ist 1XA=8XC- Folglich wird A das Doppelte van C sein. In Zahlen ausgedrückt, sei der Sesquialter 13:8 und der Sesquiterz 8:6. Also ist 11 von 6 das Doppelte. Das Doppelte [Wenn wir bei moderaer Tonbestinunung A = a' und C = A setzen, Jann ist a:A als Oclave=)S :6; ferner ist, bei Bestimmung von B^d, » : d der Sesquialter und d : A der Sesquiterz , mithin die Plagateinlhei- lung der Octave A — d — a dargethan.] Aus einem doppelten Intervall und dem Sesquialter wird ein drei- faches Intervall erzeugt. Es sei A von B das Doppelte und B von C ein Sesquialter. Ich behaupte, dass A von C das Dreifache ist. Denn wenn A von B das Doppelte ist, so ist I X A ^ ä X B, und wenn ferner B von G ein Sesquialter ist, so hat B das C ganz und die Hälfte desselben in sich. S X B ist also = 3 X C ; 3 X B war aber = 1 X A, und folglich ist 1XA=3XC; also ist A das Dreifache vonC. In Zahlen ausgedrückt, sei 6:3 das Doppelte , und Sesquialter sei 3 : S , dann ist 6 das Drei- fache von i. Das Dreifache A 1 C 6 : 2 Das Doppelte [C^A, A^^e', B^(!, A:e^Se9quiaH«r, mithin ist hier die authen- tische Einliiciliing tlcr Octave A — e — a gezeigt]. WeDD von einem Sesquialler-Intervall ein Sesquiterz-Inl«rvall ab- gezogen wird, so bleibt ein Sesquioctav-lntervall übrig. Es sei A von B Sesquialter und C von B Sesquiterz, so behaupte ich, dass A von C Ses- quioctav sei. Denn wenn A von B Sesquialter ist, so hat A das B ganz und die Hairie desselben in sich. 8XA ist also^läXB. Ferner, wenn C von B Sesquiterz ist, so hat C das fi ganz in sich und den dritten Thei! desselben. 9XCist=12XB- 12 XB war aber=8XA, und also ist 8XA:=!)XC; folglich ist A==C und dem achten Theile von C, mithin ist A von C Sesqiiioctav. In Zahlen ausgedrückt sei nun das Inter- vall Sesquinlter 9 : fi und das Inlervall Sesqnilerz 8:6; 9 : 8 ist also eine Sesqnioctav-Proportion. Sesquialter Sesquioclav Sesquiterz. [Moderne Tonbestimmung A:=h, C^a. B:=e, e : h = Sesquialter, e : a=Sesquiterz und a:h ^Sesquioclav.] Sechs Sesquioctav-Proportionen sind grösser als ein doppeltes Inter- vall. Es sei die Zahl A gegeben. Von dieser sei B , von dieser C , von dieserD, von dieser !■', von dieserG, und von dieser K Sesquioctav. nies geschehe auf die Weise , wie es in der Arithmetik beschrieben wurde. Es seien also die Zahlen ABCDFG K, und es sei A = 2631 44, davon die sesquiociavc Zahl B^29i9t3, hiervon das sesquiociavc (: = 33(776, davon das sesquioctave D = 373I18, hiervon das sesqui- ociavc F^ 419904, davon das sesquioctave G=:472398, davon das sesquioctave K= 531141. K ist grosser als 9 XA. Sechs Scsquioclav- Proporlionen sind also grosser als ein doppeltes Inlervall. Sechs Sesquioclav-Proporlionen sind grösser als ein doppeltos lotervall SaBqnioctaT StB^DiDctav B«sqiii<ict» SesqniDetar 8«eqnii}cUT SeBqniscUT Sesqniactai ABC D F G K 261144 394913 331776 373348 419904 473393 53 I 4 i t 105 Die Znlil A, zweimal genommen, isl = Diapason. Es fehll Anna zur Zahl K die Zahl 7(ö:J. Das doppelle Intervall ist SfiaUi : 53i288. [Annlihernd moderne Tonbe^ timmung A=a, B=h, C^cis', D=dis', F=:cis', G = fisis', K=giHis', mithin a h eis diä eis lisis gisis' SC3U4 S9i9lä 331776 373Si8 il9904 473391 SSUtl a ; o' = 363144 : S24288 a' : gisis' = 534588 : 531441 = Comma 53144* — SS4288 = 7153.] BenensDng der musikalisch en Noten durch grieohiaohe und lateinisohe Buchstaben. Da wir die Snile nach den \ orhergenannleu Consonanzen eintiieilen wollen und eben diese Einlheilung die nothlgen KISnge in allen drei Klang- seschleclitern darstellen wird, so müssen wir zunächst die musikalischen Solen anführen, damit, wenn wir die eingetbeille Reihe mit diesen Noten («zeichnet haben, leicht erkannt werden kann, welcher Name einer jeden zukommt. Denn die allen Musiker baben wegen der kürzeren :>cii reibweise, um nicht immer das Hinzusetzen der ganzen Namen nöLhig 211 haben, gewisse Noten ausgedacht, mit welchen die RlUnge der Saiten hezeicboel werden, luid diese Iheilten sie nacii Gescbiechtern und Ton- arten ein. Zugleich erlangten sie durch diese Kürze, dass, wemi einmal ein Musiker einen Gesang aufscbreiben wollte, er über den Vers, wel- cher nach der rhythmischen Zusammenstellung dos Metrums auseinander gedehnt [nach den einzelnen Verstüsscn oingelbeill] war, diese Ton- zciehen schrieb, und sie fanden daher auf so wunderbare Weise, dass nieht nur die Worte der Dichtungen, durcli Buchstaben dargestellt, son- ■Icru auch selbst die Kfclodien, die eben uiil deu crwäbnien Noten be- «eichnol wurden, auf die Nachwelt übcz^ehen konnten. Von allen diesen Tonarten wollen wir einstweilen nur die eine. »Ly- düiche". und die Noten derselben in den drei Geschlechtern aufzeichnen ; dasselbe in den übrigen Tonarten zu thun verschiebenwir auf spätere Zeit. Wenn wir einmal die Aufstellung der Noten mit Benennung von griechi- -*hen Buchstaben beschrieben haben werden , dann dürfte der Leser durrh keine Neuheil mehr beunruhigt werden. Diese ganze Beschrei- bung der Noten gesciüehl durch griechische Buchslaben, die bald versiüm- 106 melt, biild in anderer Slüllung gesetzt sind. Wir nberhülen uns, cEwssvon dem Ansehen des Allerthutns zu verändern. Es werden also die zuerst und darüber gesetzlsn Noten für den Vortrag der Worte , die zu zweit und untergGselzlon für das Sailenspiel gelten. Proslambanomenos, welcher »acquisilus« genannt werden kann, ist ein nicht vollkommenes Zeta 7 und ein liegendes Tau H=|_. Hypale hypaton, d. h. principalis principalium, ist ein umge- kehrtes Gamma -] und ein richtiges Gamma P^ J. Parhypatc hypalon d, h- subprincipalis principalium, istein nicht u vollständiges Beta R und ein nach unten umgekehrtes Gamma U ^ , . (Lichanos) Hypaton onharmonios, d.h. principalium enhar- monios, ist ein nach imleu umgekehrtes Alpha V und ein umgekehrtes (Lichanos) Hypalon chromatice, d. h. principalium chroma- tica, ist ein nach unten umgedrehtes Alpha, welches eine Linie hat, V und ein umgedrehtes Gamma, welches zwei Linien hat Ts =^. [Lichanas)H ypaton dialODOS, d.h. principalium eslenta [dia- lODOs), ist ein griechisches Phi 4|>und ein Digammon F^ J. liypate mcson, d. h. principalis mediarum, ist Sigma C und Sigma C::=— . Parhypatc Dicton, d.h. subprincipalis mediarum ist ein Rho P und ein umgedrehtes Sigma = \ . [Lichanosl Meson cnharmonios, d. h. mediarum enharmo- nios, ist ein griechisches Pi TT und ein umgedrehtes Sigma 0=^q- (Lichanos) Meson chromatice, d. h. mediarum chromalicii, ist ein griechisches Pi mit einem Strich TT- und ein un^edrehtes Sigma, welches durch die Mitte einen Strich hat , &■ = ^ . (Lichanos] Meson diatonos, d. h. mediarum extenta, ist eia griechisches My Mund ein griechisches zersplittertes (unvollkommenes) Mese, d. h. mcdiü, ist ein Iota I und einliegendes Lambda <=^ . Trile syncmmcnon, d. h. Icrtia conjunclarum, ist ein Theta O md ein umgedrehtes Lambda y=ö. 107 (Paranete) Synemmenon enharmonios, d.h. conjunctarum enharmonios, ist ein griechisches Eta H und ein liegendes umgedrehtes Lambda, welches durch die Mitte einen Strich hat, >= ^. (Paranete) Synemmenon chromatice, d. h. conjunctarum chromatica, ist ein griechisches Eta mit einem Strich H" und ein umge- H" kehrtes Lambda mit einem Strich ^ ==^ (Paranete) Synemmenon diatonos, d. h. conjunctarum exten ta, ist ein Gamma f" und ein Ny N = N- Netesynemmenon, d. h. ultima conjunctarum, ist ein umge- drehtes Omega quadratum If und ein Zeta Z=:^. Paramese, d. h. submedia, ist ein ZetaZ und ein liegendes grie- chisches Pi (; =. . T r i te die z eu gm e n on, d. h. tertia divisarum, ist ein E quadratum E und ein umgedrehtes griechisches Pi j[_| = . (Paranete) Diezeugmenon enharmonios, d. h. diversarum enharmonios, ist ein Delta und ein liegendes griechisches umgedrehtes (Paranete) Diezeugmenon chromatice, d. h. divisarum chromatica, ist ein Delta, welches einen Strich hat, A* und ein liegendes umgedrehtes griechisches Pi, welches eine Winkellinie hat, Zl=^. (Paranete) Diezeugmenon diatonos, d. h. divisarum diato- nos^ ist ein umgedrehtes Omega quadratum if und ein Zeta Z=:H . Nete diezeugmenon, d. h. ultima divisarum, ist ein liegendes Phi «^und ein verzogenes Ny ▼V= yy. Trite hyperbolaeon, d. h. tertia excellentium , ist ein nach unten zugekehries Ypsilon, das sich nach rechts hin wendet , ^ und ein halbes Alpha, das sich nach links abwärts wendet, X= y. (Paranete) Hyperbolaeon enharrponios, d. h. excellen- tium enharmonios, ist ein umgedrehtes Tau J. und ein halbes nach rechts hin umgedrehtes Alpha y=y . (Paranete) Hyperbolaeon chromatice, d. h. excellentium chromatica, ist ein umgedrehtes Tau mit einer Linie j^ und ein halbes nach rechts hin umgedrehtes Alpha , welches rückwärts eine Linie hat, r=A J 108 fParanete) Hyperbolaeon diatonos, d. h. cxcelientium ex- tenta y ist ein griechisches My mit einem Acutus M und ein verkürztes Pi mit einem Acutus n'=:f|f. Nete hyperbolaeon ist ein Iota mit einem Acutus I und ein r liegendes Lambda mit einem Acutus ^= i. Aufstellung der musikalischen Noten durch passende Klänge ausgedrückt in den drei Klanggeschlechtern. fis 7 Proslambanomenos as' H > Paranete synemme- non chromatice gis ? Hypate hypaton a' R Paranete synemme- non diatonos a R L Parhypate hypaton h' z Nete synemmenon bb* V > Lichanos hypaton enharuionios gis' z 1= Paramese b 1: Lichanos hypaton chromatice a' E u Trite diezeugmenon h F Lichanos hypaton diatonos bb'* A Paranete diezeugme- non enharmonios eis d' eses * C c Hypate meson b' A- ZI Paranete diezeugme- non chromatice p Ü 1t' Parhypate meson h' U z Paranete diezeugme- non diatonos Lichanos meson enharmonios eis" ■e- VV Nete diezeugmenon es' e' TT M Lichanos meson chromatice d" X Trite hyperbolaeon Lichanos meson diatonos eses"* J. Paranete hyperbolaeon y enharmonios fis' 1 < Mose es" ^ Paranete hyperbolaeon chromatice 8 asas'* o V Trile synemmenon • e" M' T Paranete hyperbolaeon diatonos H > Paranete synemme- non enharmonios fis" 1' Nete hyperbolaeon. [Der Klang der enharmonischen Tone ist durch moderne Tonbe- stimmungen eigentlich nicht auszudrücken , daher wir in den betreffen- den Fällen zu der Tonbenennung das Zeichen * gesetzt haben.] 1^: ^it -I 's I t » fe s- 1 1 ^ S 'S rS 3» )« s <- ^ >ti >t 's ^ ^>i l4 Eintheilimg des regulären Honooliordea im di&tonisolieii ZlanggeBchleoIit. Nun ist es Zelt, zur Eintheilung des regulären Monochordes zu kom- men. In Betreif dieser Sache ist vorauszuschicken, dass, gleichviel ob die zu beschreibende Eintheüung in Rücksicht auf die Mensur der Saite oder auf die Zahlen und ihre Proportion festgestellt wird, ein grösserer Zwischenraum der Saite und eine grössere Mehrheit der Zahl tiefere Klänge bewirkt. Wenn aber die Länge der Saite verkürzt wurde und in den Zahlen nicht mehr eine solche Mehrheit vorhanden ist , so ist es nothwendig, dass höhere Klänge erzeugt werden. Aus dieser Vergleich ung wird nach demselben Verhältniss ein tieferer oder höherer Klang gefunden, wie sich die längere und aus mehr Zahlen bestehende, oder die kürzere un3 aus weniger Zahlen besiehende Pro- portion gestaltet. Der Leser möge sich dadurch nicht beunruhigen lassen, dass wir vorher nach der Höhe die Zwischenräume der Propor- tionen mit der grösseren Zahl, nach der Tiefe hin mit der kleinern Zahl bezeichnet haben, da Anspannung Höhe, Nachlassen Tiefe hervorbringt. Dort bezeichneten wir nur die Zwischenräume der Proportionen, indem wir nichts über die Eigenthümlichkeit der Tiefe und Höhe erwähnten und daher nach der Hohe zu mit grösseren Zahlen die Spannung , mit kleineren Zahlen nach der Tiefe hin das Nachlassen bezeichneten. Hier aber, wo wir die Zwischenräume der Saiten und die Klänge messen, ipüssen wir noih wendigerweise der Natur der Sache folgen und der grösseren Länge der Saiten, aus welcher die Tiefe besteht, mehr Zahlen, der kleineren Saite aber, aus welcher die Höhe der Stimme hervorgebt, weniger Zahlen geben. Es sei die Saite AB angespannt, ihr sei eine Schnur gleich, je nach den voi^setztcn Eintheilungen zerlegt, so dass also, wenn diese Schnur der Saite beigefügt wird, dieselben Eintheilungen an der Länge der Saite bezeichnet werden , welche wir vorher in der Schnur gemacht hatten. Wir machen Jetzt die Theilung so, dass wir gleichsam die Saile selbst und nicht die Schnur tlieilen. Es werde also AB in i Theile durch 3 Punkte zerlegt: CDE. Es wird nun die ganze Saite AB das Doppelte von DB und AD sein. AD und DB sind die doppelteu von AC, CD, DE, EB. Es wird also AB die tiefste Saite d. h. Proslambanomenos, DB aber Mcse sein, da es die Hälfte der ganzen Saite ist. Und gleichwie AB von BD das Doppelte dem Zwischenräume nach ist, so ist BD von AB das Doppelte der Höhe nach, da, wie früher 111 gesagt, die Ordnung des Zwischenraumes und der Hohe immer wechsel- seilig ist. Denn um wie viel die Saite höher klingt, um so viel kleiner ist sie an Grösse ; deswegen wird auch E B Nete hyperbolaeon sein, weil Efi die Hälfte von DB der Grösse nach, und das Doppelte der Höhe nach ist. Ferner ist EB der 4te Theil von AB dem Zwischenräume nach, das Vierfache aber der Höhe nach. Es wird also Nete hyperbolaeon die dop- pelte Höhe von Mese haben ; Mese aber die doppelte von Proslambano- menos, Nete hyperbolaeon das Vierfache nach der Höhe hin von Proslam- banomenos , und es wird also Proslambanomenos zu Mese im Diapason, und Mese zu Nete hyperbolaeon wieder im Diapason, und Proslambano- menos zu Nete hyperbolaeon im Bisdiapason ertönen. Ferner, da AC, CD, DE, EB gleiche Theile sind, so hat AB 4 von denselben Theilen, von denen GB 3 hat ; AB :GB ist also Sesquiterz, und da GB 3 von den gleichen Theilen hat , von welchen D B nur % besitzt , so wird G B : D B Sesquialter sein, und ferner, weil GB 3 von den gleichen Theilen hat, von welchen EB einen besitzt, so wird GB von EB das Dreifache sein; es wird also G B Lichanos hypaton diatonos sein, und es wird Proslam- banomenos zu Lichanos hypaton diatonos in der Gonsonanz Diatessaron ertönen. Dieselbe Lichanos hypaton diatonos wird zu Mese in der Gonso- nanz Diapente erklingen, und zu Nete hyperbolaeon wird Lichanos hypa- ton diatonos im »Diapason und Diapente« ertönen. Wenn wir ferner von der ganzen Saite AB den neunten Theil nehmen, alsoAF, so werden FB 8 Theile enthalten. Es wird also FB Hypate hypaton zu AB die Sesquioctav-Proportion bilden, in der Musik aber den Ganzton. Bisdiapason i Diapason Diatessa ron Diapason und Diapente Ganzton Diapente Diapason .(A) (F) (( fis gis J C) (D) li fis' fis" ^ 3 < h r t > 1 = < 1' Mese Nete hyperbolaeon i Lichanos h ypaton diatonos ■ Hypate hypaton i P roslambanomenos 112 Um wie viel der Zwischenraum grösser ist, um so viel ist der Klang tiefer, und umgekehrt, um wie viel er kleiner ist, um so viel ist er höher. Indem also AB um den vierkchen Zwischenraum grösser ist, als EB, so wird Proslaml>anomenos im Vierfachen tiefer und E B im Vierfachen hoher sein. AB:FB liegt dem Zwischenraum nach in der Sesquioctav-Pro- portion , deswegen steht F B im Verhältniss eines Ganztones zu AB , es entsteht also Hypate hypaton. AB:GB steht dem Zwischenraum nach im Sesquiterzverhältniss , es wird daher C B Lichanos hypaton diatonos sein. Es wird also CB nach der Höhe zu AB im Verhältniss der Conso- nanz Diatessaron stehen. Ferner ist AB dem Zwischenräume nach das Doppelte zu DB, deswegen wird in Bezug auf Höhe auch DB zu AB das Doppelte sein. Und so wird EB als Nete hyperbolaeon erscheinen, was der lehrbegierige Leser leicht erkennt, wenn er es scharf beobachtet. Die frühere Beschreibung zeigt die daruntergesetzten Tonzeichen aus jener Darstellung, in welcher wir die Noten den Saiten hinzusetzten, weil es zu weitläufig war, die Namen derselben hinzuzuschreiben. Ebenso wenn wir AB durch 3 Einschnitte theilen, so wird der 3te Theil AG sein. Zwei Theile also sind GB. Es wird also AB=Proslambano- menos zu GB=Hypate meson die Gonsonanz Diapente in der Propor- tion Sesquialter aufgestellt ergeben , C B aber zu G B wird Sesquioctave sein und wird den Ganzton enthalten und dies liegt in der Ordnung. Denn Lichanos hypaton diatonos, d. h. GB zu Hypate meson, d. h. GB, enthält den Ganzton. Ferner Proslambanomenos = AB zu Lichanos hypaton diatonos = GB enthält die Gonsonanz Diatessaron. Proslambanomenos =AB zu Hypate meson =GB enthält die Gonso- nanz Diapente. Ebenso enthält GB zu DB, d. h. Lichanos hypaton dia- tonos zu Mese, die Gonsonanz Diapente; GB aber zu DB, d. h. Hypate meson zu Mese , enthält die Gonsonanz Diatessaron. Lichanos hypaton = GB zu Hypate meson=GB enthält die Entfernung eines Ganztones. Wenn ich aber von GB den 4ten Theil nehme, so wird es GK sein. CB zu KB behauptet also die Proportion Sesquiterz, KB steht von DB um die Proportion Sesquioctave aus einander. Es wird also KB Lichanos dia- tonos meson sein und G B = Lichanos hypaton diatonos zu K B = Lichanos meson diatonos behauptet die Gonsonanz Diatessaron. Wenn ich aber von DB den 9ten Theil nehme, so wird es D L sein, und LB ist dannParamese. Wenn ich von DB den 4ten Theil nehme, so ist es DM, und MB wird Nete synemmenon sein. Wenn ich von DB den 3ten Theil nehme, so ist er D N, und NB wird Nete diezeugmcnon sein. Wenn aber KB in zwei gleiche Theile zerlegt wird, so entsteht KX, und XB ist Paranete hyperbolatjon. 113 Proslambanomenos Lichanos hypaton • Hypate meson Lichanos meson Mese Paramese Nete synemmenon A CG K D D M NX Paranete hyperbolaeon B Nete diezeugmenon AB = fis i« = Proslambanomenos] , c c CB = h f GB = eis = Hypate meson Diapente = Sesquialter GB = cis' 9 AB = fis '^ r- CB = h ^ CB = h 4> DB = fis' • ' < SB = eis' ^ DB = fis' ' M r.B=h i === Lichanos hypaton diatonos = Hypate meson Ganzton = Ses€[uioctave = Proslambanomenos = Lichanos hypaton diatonos ' Diatessaron = Sesquiterz Lichanos hypaton diatonos 1 > Diapente = Sesquialter Mese \ N = Hypate meson = Mese Diatessaron = Sesquiterz KB = e' -- == Lichanos meson diatonos = Lichanos hypaton diatonos ►Diatessaron = Sesquiterz . I DB = es' ' = Mese LB = gis' 2 Kß = h' u Ganzton =Sesquioctave = Paramese = Nete svnemmenon Ganzton =; Sesquioctave ^^ = eis" "^ == Nete diezeugmenon t t KoÄtiOB. 8 114 „ M' \ = e r\' ^ Paranete hyperbolaeonl > Diatessaron = Segquil«rz. = h' 2 ^^ ^^'^ synemmenon l Eintheilimg des Uonochordes der Meten bypeibolaeon dtuoti die drei Oesclileohtei. Jetzt also ist die Beschreibung des diatonischen Ktanggescblechtes in dem Modus gemacht worden, welcher der einfachere und hauptsäch- lichste ist, den wir sLydius« Denneii . Ueber diese Tonarten ist jetzt nichts zu erörtern : damit aber die vermischte Beschreibung durch die drei Ge- schlechter laufe und allen Tönen die eigenth um liehe Menge der Zahlen zur Erhaltung der Proportionea hinzugesetzt werde, so ist die Zahl für die Töne und Diesen ausgedacht worden, welche dies Alles ausfüllen kann, so dass sie als grösste dem Proslambanomenos zugeschriebeu wird, welche sei 9S(6; die kleinste aber sei 2304. Die Proportionen der übrigen Töne sind mit denselben verknüpft. Wir schreiten also von unten nach oben und zeigen die Benennungen alter Saiten nicht allein durch Namen, sondern auch durch hinzugesetzte Buchstaben. Weil wir nun die Eintheüung der drei Geschlechter vornehmen und die Anzahl der Buchstaben von der Reihe der Saiten überschritten wird, so nehmen wir, wo die Buchslaben fehlen, dieselben doppelt auf die Weise , dass, wenn wir bis zu Z gelangt sind , wir die übrigen Saiten so heschreihen9XA = AÄ, 8XB=BB, SXC^CC). Wirhaben also die erste und grÖsste Za^, welche den Platz von Prosta mbanomenos be- hauptet ^ 99< 6. Die BeschaOenheit der ganzen Saite gehe von fis A! bis zu fis" (LL). Dieses fis (Al=Proslambanomenos= 9816 theile icli so in die Hälfte zu fis' ^0). dass die ganze Saite fis 'A) die doppelte von fis' (0) ist. Ebenso sei fis' (0' die doppelte von Bs" [LLj. Es vird also fn (A] Proslambanomcnos . fis' [O] aber Mese und fis" [LL) Nete h\-per< bolaeon sein, und fis (AI wird die Zahl 9X6, fis' (Ol die Hälfte davoi = 1608 enthalten, so dass Mese zu Proslambanomenos in der Consonan: Diapason ertönt. Die Saite fis" aber (LL] ist die Hälfte der Mese, so das Proslambanomenos zu Nele hyperfoolaeon das Vierfache ist and als S\-iu phoaie Bisdiapason zu dieser erlönt: es sei also fis" (LL) ^ S30 4 . 1} Wir seilen wieder die roodemen Tonbestimmnogea hiniu. Dif> Klammern ein$!e!>chlossenen BnchsialMii sind die BezeichDODgen des Boetiu 115 Wenn ich von 2304 den 8ten Theil nehme^ also S!88, und zu 2304 addire, so erhalte ich 25^2, und es wird e" (KK) = 2592 =Paranete hy- perbolaeon zu Nete hyperbolaeon die Entfernung eines Ganztones hehaup- len. Ferner nehme ich von e" (KK) = 2592 den 8ten Theil ==324 und iddlre ihn zu 2 5 9 2 , so erhalte ich 2 9 1 6 = d" (F F) = Trite hyperbolaeon dialoDos im diatonischen Geschlecht, was von Paranete hyperbolaeon um ?inen ganzen Ton und um den Ditonus von Nete hyperbolaeon =fis" (LL) entfernt ist und im chromatischen Geschlechte als Trite hyperbolaeon ihromatice erscheint , im enharmonischen Geschlechte aber als Paranete ii\perbolaeon enharmonios. Aus welchem Grunde dies geschieht , sieht nan leichter ein, [wenn wir die drei ersten Tetrachorde der drei Qe- schlechter, von Nete hyperbolaeon anfangend, beschrieben haben. Wenn ch von der Proportion Sesquiterz 2 sesquioctave wegnehme , so bleibt 5D kleinerer Halbton übrig. Ich nehme den 3ten Theil von fis" (L L) , Ih. von Nete hyperbolaeon, das ist 768. Diese Zahl addire ich zu Wy SO erhalte ich 3072. Zu derselben gehört eis" (DD) = Nete die- wigmenon, welches mit Trite hyperbolaeon einen kleineren Halbton ent- i. Dean weil Nete diezeugmenon zu Nete hyperbolaeon die Consonanz ialessaron aufweist und Trite hyperbolaeon zu Nete hyperbolaeon um inen Ditonus entfernt ist , so bleibt der Zwischenraum übrig, welcher »de diezeugmenon und Trite hyperbolaeon trennt , und dieser ist ein feinerer Halbton. r Bisdiapason Doppeloctave I Diapason Octave ^ambanomenos fis (A) Mese üs' (0) Nete hyperbolaeon üs" (LL) 7 I r H < ^ 924 6 4608 2304 Tetrachord hyperbolaeon im diatonischen Geschlecht. Nete diezeugmenon = eis" (DD) yy = 3072 Trite hyperbolaeon = d" (F F) Paranete hyperbolaeon = e" (KK) Nete hyperbolaeon = fis" (L L) X = 2946 M' q' = 2592 r ^ = 2304 8 116 Nachdem wir das Tetracliord h^'perbolaeon im diatonischen Ge- schlechte vollständig entwickelt haben, sind jetzt die Tetrachorde des chromatischen und enharmonischen Geschlechtes auf folgende Weise ergänzend darzulegen. Paranete hyperbolaeon ist al§o von Nete hyper- bolaeon im diatonischen Geschlechte um einen Ganzton entfernt, im chro- matischen Geschlecht jedoch um 3 HalbtÖne , im enharmonischen aber um 2 Ganztöne. Wenn wir die Entfernung von Paranete hyperbolaeon und Nete hyperbolaeon im diatonischen Geschlecht nehmen und noch die Hälfte von Paranete hyperbolaeon hinzu addiren und dem diatonischen Geschlechte anfügen , so werden wir die Zahl haben , welche von Nete hyperbolaeon um 3 Halbtöne entfernt ist, und dieser Ton wird im chro- matischen Geschlechte Paranete hyperbolaeon sein. Ich subtrahire also von 2592, d. h. von Paranete hyperbolaeon des diatonischen Geschlechtes, 2304 d. h. Nete hyperbolaeon, so bleibt übrig 288, dies halbire ich, und es bleibt übrig 4 44. Diese Zahl addire ich zu 2592, d. h. zu Paranete hyperbolaeon des diatonischen Geschlechtes, und ich erhalte 2736 ; dies wird Paranete hyperbolaeon chromatice sein. Ferner, weil Trite hyper- bolaeon sowohl diatonisch wie chromatisch um 2 Ganztöne von Nete hyperbolaeon entfernt ist und im enharmonischen Geschlecht Paranete i hyperbolaeon von Nete hyperbolaeon um 2 Ganztöne diflTerirt, so wird im| enharmonischen Geschlechte Paranete hyperbolaeon dasselbe sein, was im diatonischen oder chromatischen Trite hyperbolaeon ist. Weil aber Trite hyperbolaeon im diatonischen und chromatischen Geschlechte zu Nete diezeugmenon den Zwischenraum eines kleineren Halbtons bewahrt, und das Tetrachord des enharmonischen Geschlechtes aus 2 Ganztönen und 2 Diesen besteht, welche die halben Zwischenräume von einem klei- nern Halbton sind , so nehme ich diese Entfernung zwischen Nete die- zeugmenon und Paranete hyperbolaeon enharmonios. Weil Nete die- zeugmenon = 3072 und Paranete hyperbolaeon enharmonios = 294^ ist, so ist deren Entfernung 156 ; davon nehme ich die Hälfte, nämlict 78 und addire dieselbe zu 2916, so erhalte ich 2994. Dies wird El sein, nämlich Trite hyperbolaeon enharmonios. Es wurde also das Te- trachord hyperbolaeon in den drei Geschlechtern beschrieben , dessei Form wir hier hinzugesetzt haben. 117 ' Tclrachord hyperbolaeon im diatonischen Geschlecht, - — - ■ - ■■ Nete diezeugmenon ■ = ci8"(DD)= 307! t Halblon Trite hyperbolaeon = d" (FF) = 2916 T GsDzlon Paranete hyperbolaeon diatonos = e" (KK) = 3592 T Ganzton Nete hyperbolaeon = fis" (LL}= 2304 Fflrachord hyperbolaeon im chromatischen Geschletlil. Nete diezeugmenon =ci8"[DD) = 3072 t Halbton Trite hyperbolaeon chroma- tice =d" (FF) = 29U t Halbton ~ - Paranete hyperbolaeon chro- matica =65" (HH) =2736 Ttt Drei Halbtöne Nete hyperbolaeon =fis" [LL)=2304 Ifirichord hyperbolaeon im enharroonischen Geschlecli - Nete diezeugmenon ^ eis" (D D} = 307S 9 Diesis - Trite hyperbolaeon enharmo- nios - Paranete hyperbolaeon en- harmonios , , . . ^ d" (NN) = I9( 6 " üwei Ganztone Nete hyperbolaeon = ßs" (LL) = 2304 Beweis für die oben anseinaadergeBetite BeBchreibnng. Orei Tetrachorde sind uns also durch solche Berechnung aus>>ir *'i^Tte*etzt worden. Denn das ganze Tetrachord enthält dieConson»r •wssaroD , mithin erlänen Nele hyperbolaeon und Nele diezeiigmenn US in den drei GcM^ldecbleni, im dialooischeD, chromaliscfoen and eohaitno- nischen, in der Symphonie Diatessaron. Die Coosonanz Dialessaron bestehl aber aus S Ganztönen oDd einem kleineren Halblon. In dieser Weise ge- schab durch die drei Geschlechter die TheUaog in den TOrangestellten i Tetrarhorden. Ini diatonischen Geschlechle behauptet Paranele byper- bolacon = S592 zu Nete hyperbolaeon i^ 2304 die Entfernung eines Ganzlones, welche wir mit einem solchen Zeichen versehen T. Ferner behauptet Trite hyperbolaeon im diatonischon Geschlechte ^ S9I6 zu Paranele hyperbolaeonimdiatonischenGeschlechle^ 3593 wiederum die Differenz eines Ganztones, diewir mitT bezeichnet haben. Nete diezeug- ! menon aber zu Trile hyperbolaeon, d. h. 3073 : 391 6, zeigt einen Halb- ton, welchen wir mll einem Uhnlichen Zeichen versehen T. Der ganze Zwischenraum von Nete diezcugmenon zu Nete hyperbolaeon besteht aus t Ganztönen und einem Halbton. Diese 3 GanztÖne und der Halbton sind im chromatischen Geschlechte durch folgende Rechnung gelheilt. Das zweite Geschlecht nSmUch, das chromatische, wurde auf diese Weise beschrieben. Paranele hyperbolaeon chroraatice = 3736 zu Nete hyper- bolaeon = 330t enthält den Zwischenraum, welchen Paranele hyper- bolaeon im diatonischen Geschlechte zu Nete hyperbolaeon hat, und dies ' ist ein Ganzton, gleich 3 Halbtönen, einem grössern und kleinern, und noch dazu enthält es den wiederum getheUten Zwischenraum von Para- I nete hyperbolaeon des diatonischen Geschlechtes zu Nete hyperbolaeon. | Hieraus geschah die Hallte eines Ganztoncs. Sie ist es aber nicht ganz, i da, wie oben ausführlich dargethan wurde, ein Ganzton nicht in 3 gleiche Theile zerlegt werden kann. Wir werden also diesen Zwischenraum von 3 Halbtönen, d. h. Ganzton pnd Halbton, so bezeichnen TTT. Femer enth&lt Paranete hyperbolaeon cbromatice zu Trile hyper- bolaeon den Theil des Ganztones, welchen wir Halbton nennen, der noch von 3 GanzlÖnen übrig blieb, die zwischen Trite hyperbolaeon dialonos ; und Nete hyperbolaeon liegen. Wenn wir die i Halbtone wegnehmen, , so bleibt vom ganzen Tetrachord der Zwischenraum eines Halbtones ' übrig, welcher zwischen Nele diezcugmenon und Trile bypertiolaeon liegt . Es besteht also auch dieses Tetracbord aus 3 Ganztönen und dem Halb- lon, und dassslbo ist so eingelbeilt, daas ein Zwischenraom den Umfang von 3 Halbtönen zeigt und 3 Zwischenräume den von 3 Halblönen be- Kitien. Diese 3 Zwischenräume werden durch ( Saiten (Klänge) aus- drückt. 119 Im eohaimonischen Geschlecht ist es ebenfalls ganz leicht, die Sache zu erkennen. Nete hyperbolaeon = ^ 3 4 ist von Paranete .hyperbolaeou enliarmonios==29l 6 um % Ganztöne entfernt, welche wir so bezeichnen TT. Vom ganzen Tetrachord , der aus 2 Ganztönen und dem Halbton besieht, bleibt also nur der Halbton übrig , der zwischen Nete diezeug- menon und Paranete hyperbolaeon enharmonios liegt. In Betreff dessel- ben nahmen wir die Theilung von t Diesen vor, nachdem wir Trite i))7)erbolaeon enharmonios dazwischen gesetzt hatten, und den Zwi- schenraum der Diesis bezeichnen wir mit ^. So also haben wir das lelrachord hyperbolaeon beschrieben. Nach dieser Abhandlung kommen wir zum Tetrachord diezeugmenon. Wir wollen uns aber bei den übri- ?ea Tetrachorden mit dergleichen Erwähnungen nicht aufhalten, da diese Beschreibung auch bei den übrigen als Beispiel dienen kann. ^ vn. Eintheilung des Monochordes in Bezug auf die ITeten diezeugmeiLon durch die drei ^schlechter. Wenn wir von Nete diezeugmenon =: 3 072 die Hälfte nehmen, so ist ^es=:4 536. Zu 3072 hinzu addirt, giebt 4608, und das istMese, welche vir mit dem Buchstaben fis' (0) bezeichnet haben. Wenn wir von Nete diezeugmenon eis" (DD) = 3072 den 3ten Theil nehmen, so erhalten wir 4024. Zu 3072 hinzu addirt, giebt 4096, was Paramese ergiebt, die lir mit dem Buchstaben gis' (X) bezeichnet haben. Nete diezeugmenon = 3072 zu Mese = 4608 ertönt als Proportion Sesquialter in der Con- iOöanz Diapente. Ebenso behauptet Nete diezeugmenon = 3072 zu Paramese = 4096 als Proportion Sesquiterz die Gonsonanz Diatessa- M. Wenn wir also von Nete diezeugmenon =3072 den 8ten Theil tarnen, so ist dies 384; zu 3072 addirt, giebt 3456, und es wird dies ^ranete diezeugmenon diatonos sein, was wir mit dem Buchstaben ^'[CC] bezeichnen und was zu Nete diezeugmenon den Ganzton ergiebt. '^enn wir hiervon, d. h. von 3456, den 8ten Theil nehmen »> 43 2 und ^ 3456 addiren, so erhalten wir 3888. Dies ist a' (Y) Trite diezeugme- »^•n diatonos. Weil Nete diezeugmenon zu Paramese die Proportion Ses- luiterz behauptet, Trite diezeugmenon aber von Nete diezeugmenon um • Ganztöne entfernt ist , so wird zwischen Trite diezeugmenon und Pa- ^Qiese ein kleinerer Halbton sein. Das diatonische Geschlecht ist in ^m Tetrachorde und Pentachorde so ausgefüllt worden , dass in dem ^trachorde, welches von Nete diezeugmenon bis zu Paramese geht, die 120 CoDsonanz Diatessaron, in dem Pentachorde aber von Nete diezeugmenon zu Mese, die Consonanz Diapente vorhanden ist. Das enharmonische und chromatische Geschlecht wollen wir jedoch in diese Berechnung mit hineinziehen. Ich nehme die Entfernung von Nete und Paranete die- zeugmenon diatonos, d. h. von 3072 und 3456, deren Differenz 384 ist. Diese theile ich und erhalte 4 9SI, welche Zahl, zu Paranete diezeugmenon = 3456 hinzu addirt 3648 giebt. Dies wird Paranete diezeugmenon chromatice sein , bezeichnet mit dem Buchstaben b' (B B) , welcher Klang von Nete diezeugmenon um einen Ganzton und einen Halbtou, d. h. um 3 Halbtöne entfernt ist, und früher zu Trite diezeugmenon einen diatonischen Ganzton enthielt, jetzt aber ein chromatisches Inter- vall, d.h. 3888, als übrigbleibenden Halbton von jenem Ganzton, weü zwischen Paranete diezeugmenon diatonos und Trite diezeugmenon diatonos eine TheUung vorgenommen vnirde. Nun bleibt noch von dem Tetrachorde ein anderer Halbton zwischen Trite diezeugmenon chroma- tice und Paramese übrig, welcher nämlich von der Consonanz Diatessa- ron abgerechnet ist, die zwischen Nete diezeugmenon und Paramese besteht , nachdem zwei Ganztöne hinweggenommen sind , welche Nete diezeugmenon chromatice und Trite diezeugmenon chromatice enthielten. Was aber im diatonischen Geschlechte Trite diezeugmenon diatonos ist, das ist im chromatischen Trite diezeugmenon chromatice und wird im enharmonischen Geschlechte Paranete diezeugmenon enharmonios ge- nannt, da es um zwei Ganztöne von Nete diezeugmenon entfernt ist. Dieser Klang wird mit a' (AA) bezeichnet. Zwischen Nete diezeugmenon und Paranete diezeugmenon enharmonios liegt keine Saite, weshalb letz- teres mit dem Worte Paranete benannt wird. Den Halbton nun, welcher zwischen Paranete diezeugmenon enharmonios und Paramese liegt, d.h. zwischen a' (AA) und gis (X), theilen wir auf die Weise, dass 2 Diesen entstehen. Ich nehme die Differenz von Paranete diezeugmenon enhar- monios und Paramese, d. h. von 3888 und 4096, so ist dieselbe 208, diese theile ich und erhalte 104; dies zu 3888 hinzu addirt, giebt 3992. Dies wird Trite diezeugmenon enharmonios sein, was mit dem Buch- staben bb'* (Z) bezeichnet wurde. Die Aufzeichnung dieses Tetrachordes in den drei Geschlechtern habe ich unten hinzugefügt und das früher ent- wickelte Tetrachord hyperbolaeon mit eingereiht , damit von beiden ein Schema vorhanden wäre und die verbundene Form der ganzen Aufstel- lung etwas deutlicher werden möchte. 121 Tetrachord diezeugmenon im diatonischen Geschlecht. c o o CS Ö Ol Mese — 4608 — fis' (0) • T Paramese — 4096 — gis' (X) t Trite diezeugmenon diatonos — 3888 — a' (Y) T Paranete diezeugmenon diatonos — 3456 — h' (CG) Diatessaron T Nete diezeugmenon — 3072 — eis" (DD) Tetrachord diezeugmenon im chromatischen Geschlecht. Paramese = 4096 = gis' (X) Trite diezeugmenon chromatice = 3888 = a' (Y) Paranete diezeugmenon chromatice = 3648 = b' (BB) TTT d o u (0 > CO Q Nete diezeugmenon = 3072 = eis" (DD)^ Tetrachord diezeugmenon im enharmonischen Geschlecht, Paramese == 4096 = gis' (X) Trite diezeugmenon enharmonios = 3992 = bb'* (Z) Paranete diezeugmenon enharmonios = 3888 =s a' (AA) o TT a e et > CO CO S Nete diezeugmenon 3072 = eis" (DD) 122 Tetrachord diezeugmenon und Tetrachord hyper- bolaeon verbunden. > 1) Diatonisches Geschlecht. Paramese = 4096 = gis' (X) o T Trite diezeugmenon diatonos = 3888 = a' (Y) Paranete diezeugmenon diatonos = 3456 = h' (CG) Tetrachord * diezeugme- non Diatessaron Nete diezeugmenon = 3072 =:cis"(DD) T Trite hyperbolaeon diatonos = 291 6 = d" (FF) Paranete hyperbolaeon diatonos = 2592 = e" (KK) Nete hyperbolaeon 2304 = fis"(LL) Tetrachord hyberbo- laeon Diatessaron Paramese 2) Chromatisches Geschlecht. = 4096^gis' (X) \ Trite diezeugmenon chromatice = 3 8 8 8 = a' (Y) _i i t_ Paranete diezeugmenon chro- matice Nete diezeugmenon = 3648=b' (BB) = 3072=cis"(DD) Tetrachord diezeugme- non Diatessaron Trite hyperbolaeon chromatice = 2 9 1 6 = d" (FF) f t t Paranete hyperbolaeon chro- matice Nete hyperbolaeon = 2736 = es" (HH) = 2304=fis" (LL) Tetrachord hyperbo- laeon Diatessaron o o TT 123 3] Enharmonisches Geschlecht. Paramese =4096 = gis' (X) Trite diezeugmenon enharmo- nios =3992 =bb'* (Z) Paranete diezeugmenon enhar- monios =3888 = a'(AA) Nete diezeugmenos = 3072 = eis" (DD) Tetrachord diezeugme- non Diatessaron o TT Trile hyperbolaeon enharmo- nios =SI994 = eses"*(EE) Paranete hyperbolaeon enhar- monios =294 6 =: d" (NN) Tetrachord hyperbo- r* laeon Diatessaron Nete hyperbolaeon . . . =2304 =fis" (LL) (folgt umstehende Tabelle, Seite 424). VIII. Eintheilnng des Monochordes in Bezug auf die Noten synemmenon durch die drei Geschleohter. Zwei mit einander verbundene Tetrachorde, welche jedoch von der Mese getrennt waren , zeigte in ihrer Aufstellung das frühere Schema in den drei Geschlechtern. Jetzt kommen wir zu einem anderen Tetrachord, welches synemmenon genannt wird, weil es mit der Mese verbunden ist. Yoi:her sagten wir, dass zwischen Nete diezeugmenon und Mese die Consonanz Diapente sei , die Consonanz Diapente aber aus 3 Ganztönen und einem Halbton bestehe ; es sind also 3 Ganztöne in diesem Penta- chord, von denen einer zwischen Nete diezeugmenon und Paranete die- zeugmenon diatonos liegt , der andere aber von Paranete diezeugmenon diatonos zu Trite diezeugmenon diatonos , und der dritte von Paramese zu Mese. Es bleibt ein Halbton übrig von Trite diezeugmenon diatonos zu Paramese. Das Tetrachord von Nete diezeugmenon zu Paramese ist nun von Mese um den Ganzton getrennt , welcher zwischen Paramese und Mese liegt. Wenn wir von dem Pentachorde, welches von Nete die- zeugmenon zu Mese gebildet ist , einen Ganzton wegnehmen , nämlich 1 124 S- 00 S i CO M ^ P 3. s • .1» p, CO ;3r et N 4li o • ts 5 S ? s Bf K9 2- tf Ob BD •S (0 <» ®?-+ f- oo B*? o CO « ff OD? gj <» N CO M ff 'sa s -+ H- 5. M 2 • *< H- I -t- I- o <» OB H M Sil - g i I c» .o 2 ^ et' O A • -+ C^ e* 3. g g: a s- S »'S 1"=H' ^ fl> p. i *?f? K9 O O O OB H 5- H ••, II e-= A ffls? I ^ 125 den, welcher zwischen Nete diezeugmeoon und Paranele diezeugraenon diatonos liegt , so könnten wir ein anderes Tetrachord mit Hese verbin- den, so dass ein Tetrachord synemmenon, d. h. ein verbundenes, ent- stände und zwar auf folgende Weise ; Paranete diezeugmenon ^ h' (CC) enthält die Zahl 3456. Von dieser Zahl den 3ten Theil genommen und zu 34S6 hinzu addirt, giebt Hese. Die Zahl also, welche im Tetrachord diezeugmenon mit dem Buch- staben h' [CC] bezeichnet wurde, stand von Nete diezeugmenon im dia- tonischen Geschlechte um einen Ganzton aus einander und wurde Para- nele diezeugmenon diatonos genannt ; im Tetrachord synemmenon aber, d. h. der verbundenen (Tone}, sei dieser Klang Nete synemmenon in den drei Geechlechlem aufgestellt und mit dem Buchstaben h' (V) bezeichnet. Hiervon (von 3456) werde der 8te Theil genommen, nämlich 43ä , und zu 3456 hinzu addirt, was 3S88 giebt. Dies ist Paranete synemmenon, welches mit dem Buchstaben a' (T) notirt wird. Von dieser Zahl wird wieder der 8le Theil genommen , nämlich 486; diesen zu 3888 hinzu addirt, giebt 4374, und dies ist Trile synemmenon diatonos, d. h. g' (Q). Weil mm Nete synemmenon zu Mese, d. h. 34SG zu 4608, die Propor- tion Sesquilerz enthält (Diatessaron) Trile synemmenon aber zu Nete synenunenon, d.h. 4374:3456, die Proportion von 2 Ganztönen behaup- tet, so bleibt die Proportion eines Halbtones von Trile synemmenon dia- tonos zu Mese. Dieses Tetrachord ist also mit Mese verbunden und daher wird es synemmenon, d. h. gleichsam ein fortlaufendes und ver- bundenes, genannt. Vom diatonischen Geschlecht ist also die Proportion auf die angegebene Weise gemacht worden. Die Eintheilung des chro- matischen Geschlechtes ist folgende : Ich nehme von Nete synemmenon und Paranete synemmenon, d. h. von 3456 und 3888, die Differenz d. h. 439, diese theile ich so, dass ein Halblon wird ; es entsteht ! 16, und dies addire ich zu 3888, so dass 3 Halbtöne werden, also 4t04, und dies ist Paranetesynemmenonchroma- lice, für welchen Klang der Buchstabe as' (S) gesetzt ist. Zwischen Para- nete synemmenon chromalice und Trite synemmenon, was früher diaio- nisch war, jetzt chromatisch ist, liegt ein Halbton. Von Trite synemmenon chromatice bis Mese findet man einen anderen Halbton. Weil nun von Nete synemmenon bis Trite synemmenon diatonos oder chromatice zwei Ganztöne sind, so ist das, was im diatonischen oder chromatischen Geschlecht Trite synemmenon diatonos oder chromalice ist, im enhar- monischen Geschlecht Paranete synemmenon enharmonios, welche Klang- stufe die Zahl 4374 liat und mil g' (R) bezeichnet wird, von welcher 126 bis zu Mese ein Halbloii ist. Diesen theile ich in I Diesen auf die Weise : ich nehme die Differenz von Paranete synemmenon enharmonios und Mese, d, h, von 4374 und 4608, nämlich 334, diese theile ich, was H7 giebt; dies zu Paranete synemmenon enharmonios, d. h. zu 4374, hinzu addirt, ^bt 4491, was mit dem Buchstaben asas'* (P) notirt wird; und es sei dies Trite synemmenon eaharmonios. Es wird also zwischen Pa- ranete synemmenon enharmonios und Mese, d. h. zwischen 4374 und 4608, ein Halbton sein , der durch Trite synemmenon enharmonios ge- theilt wurde, was mit 4491 festgestellt ist. Hithin ist auch die Berech- nung dieses Telrachordes entwiciielt worden. Jetzt wollen wir das Schema aufslelien, damit auch dieses Tetrachord mit den übrigen Tetra- rhorden , hyperboiaeon und diezeugmenon verbunden wird , um einen richtigen Fortschritt in der beschreibenden Darlegung zu bewirken. Tetrachord synemmenon im diatonischen Geschlecht. Mese = 4608 = fis' (0) t Trite synemmenon diatonos ^ 4374 ^ g* (Q) Paranete synemmenon diatonos == 3888 = a' (T) f Nete symmenon = 3456 = h' (V) Tetrachord synemmenon im chromatischen Geschlecht. Mese = 4608 = fis' (0) t Trite synemmenon chromatice = 4374 == g' (Q) t Paranete synemmenon chromatic« = 4104 = as' (S) +tt Nete synemmenon = 3456 = h' (V) Tetrachord synemmenon im enharmonischen Geschlecht. Mese = 4608 = fis' (0) Trite synemmenon enharmonios = 4491 ^ asas'* (P) Paranete synemmenon enharmonios = 4374 ^ g' (R} ?rbolaeon. Zu Seite ^26. fis' (O) Mese 4608 Mese 4608 Mese 4608 I Mese 4608 Mese 4608 Mese 4608 (FF) jt Trite hyperbo- laeon diatonos 2916 Trite hyperbo- laeon chroma- tice 2946 d" (NN) T /r es (HH) Paranete hyperbo- laeon chroma- tice 2736 e' (KK) Paranete hyperbo- laeon diatonos 2592 fis" (LL) Nete hyperbo- laeon I 2304 ^ Paranete hyperbo- laeon enharmo- nios 2946 o T Nete hyperbo- laeon 2304 Nete hyperbo- laeon 2304 T fc:: Die Tetrachorde meson, syDeramenon, diezeu und hyperboUeoD, in den drei Geschlechtern i ander verbunden. Hypale meson Parhypate meson enhannonios Parhypale meson diaton os Parhypate meson chromatice Lichanos meson enhannonios Lichanos meson chromalice Lichanos meson diaton os Trite synemmenon enhannonios Trite synemmenon diatonos Trite synemmenon chromatice Paranete synemmenon enhannonios Paranete synemmenon chromatice Paramese Trite diezeugmenon enhannonios Paranete synemmenon diatonos Trite diezeugmenon diatonos Trite diezeugmenon chromatice Paranete diezeugmenon enhannonios Paranete diezeugmenon chromatice Nete synemmenon Paranete diezeugmenon diatonos Nete diezeugmenon Trite hyperbolaeon enhannonios Trite hyperbolaeon diatonos Trite hyperbolaeon chromatice Paranete hyperbolaeon enhannonios = Paranete hyperbolaeon chromatice = Paranete hyperb<daeon diatonos = Nete hyperbolaeon = = 6(4i = eis' (H) = 5988 = eses" (K) = 583S = d' (J) = 583« = d' (J) = 5833 = d' (L) = 5*78 = es' (N) = 5184 = e (M) = 4608 = fis '' (0) = 1*91 = asas" (P = *374 = g' (Q) - = *374 = g' (Q) = 437* = e' (ß) ' = 410* =" as '(S) - = *096 = gis' (X) = 3995 = bb'» (Z) = 3888 = a' (T) = 3888 = a' (Y) ^ = 3888 ^ a' (Y) ■■ = 3888 ^ a' (AA)' = 3648 : = b' (BB)i = 3456 : = h' (V) = 3456 : = h' (CO) = 307S = = cis ;"(Db- = »991 = = eses"-j = 2916 = = d" (FF); . = 2916 = = d" (FF) = 29)6 = = d" (NN> = S736 = = es" (Hrf = 2595 = = e" (KKV = 2304 = = fis" (Li;~~ Oll ' * H 141 Hypermixo- lydius. Mixolydius oder Hyperdorius. • • <0 • 9 O Q •5 • CO S ■| a • CA 9 hl O Q) V H z \ E N n 9 H 3 8 Prosla mban omenos . F 0) r 7 \ E W h 9 H 3 e Hypate hypaton. y R L F A UJ V X n b 0) Parhypate hypaton. n T =1 F CD V H 7 \ E N n Lichanos hypaton. M C c F 0) r 7 \ E Hypate meson. A < o p y li. R L F X A UJ Parhypate meson. H 7 K A M T =1 F 0) Z' V H Lichanos meson. r N H 7 I < M n C c F (D Mese. B / Z e V A o K p ü y 3 Trite synemmenon. X X A r N H 7 K A M n T =1 Paranete synemmenon. y % X U Z r N H 7 1 M n Nete synemmenon. u z r N z 1 < M o K c c F Paramese. y B / E ü V A Y p O y Trite diezeugmenon. y X u z r N H 7 1 < M n Paranete diezeugmenon. y VI U Z r N Z 1 z M n Nete diezeugmenon. A' o' JL X y B / E ü V A Trite hyperbolaeon. i Y X X U Z r N H 7 Paranete hyperbolaeon. r H' r X y VI U z n N Nete hyperbolaeon. Il w 142 R 1) ►0 tr i' • t e OD • 1 g o ts o 2. ■ 5* CR • S B O i g • CD 0) (D 0) 8 er X o X -0 =J z =1 € =1 ' z T ^ m ^ m ^ h < m ^ m ^ E > E > T N, T ^ T N T *^ X < t- -n X < H ■" X > , -1 J -1 -J > ssS8 > 8 r ;o > 8 > 8 r Ti t 8 > 8 •n^ «K3+ JO + S + Tl 5«^ •n ♦ •n « •n ♦ -n «• Fx -üH OO F^ -u H F X JJ H F v< O 5*?0 o o ü=J Ü=J et) Ü=J Ot) Ü 8^=J ü =) C -0 O =} ü =3 T^O J2 T^O 7^ O J 2 •^2 J2 -<m< -32 >> >7^ j sSz J 2 J 2 r- > ^> > 7^ ^ > A A- A- NIX **4X A- A JSS^- Sl I < ® <© SIX <® Nj JsSx N X n N n N HN Z -1 z -1 t: n z -1 z-i z-i t=R z-1 :2-| z s5-i • SB •< 1 • ^ 09 "^OB ■ nc: ^oa N a N c; N c: Nc; Nc: X^ x^ i t • X ^ X ■> ^■> x^ S 4» s i •5* f • ^ H ^ H X >- X H X XH 1 a • 7^ O -) 2 -» 2 4 2 f: >> «> > An Nh X ^^ X — *_ — ai 1 Seite 14.2. "tGc lij DoriuT syiu-f- Zu Seite U8. Tetrachord hyperbolaeon Modus h3rpodori ugmenon anete Kete zeug- diezeug- non menon Trite Paranete hyper- hyper- bolaeon bolaeon Kete hyper- bolaeon M A ■" Modus hypophrygii h < V N I Z E u Modus hypolydius Modus dorius. Modus phrygius. ^ I N U Modus lydiuB. ^ X Modus mixolydius od hypcFdorius. Modus hypermixo- ' '^aius. Jy< H 10 n < 7 rA I © r N u K c u z H r B X vv 7 N / X y r U A T M z y y TT i' ' IZ vv \ T 'Z ± O' A' J2B5= H X y K' <' 7' LL M' A' H' r' m i ^=fl 1 < 7' N* • T- " --- : 143 Weil nun von den alten Musikern durch die einzelnen Tonarten eine jede Stimme (ein jeder Klang) mit verschiedenen Tonzeichen bezeichnet ist, so erscheint es mir als nothwendig , die Beschreibung der Tonzeichen (Noten) vorher anzugeben , damit der genauere EinbUck in diese Ton- arten nach der Erkenntniss der Tonzeichen an sich leichter sei. XV. Das vorhergehende Schema der KlSlnge also enthält die hinzuge- schriebenen Namen und die danebengesetzten Tonzeichen ; und welches von diesen einem jeden Modus zukommt, z. B. dem lydischen , phry- gisdien, dorischen etc., bezeichnet die Hinzufügung der Benennungen. Weil wir nun sagten, dass diese Moden in den Gattungen der Gonsonanz Diapason gefunden werden , so beschreiben wir dieselben nur im diato- nischen Geschlecht, damit man ohne Verzug leicht erkenne, welche Ordnung dieselben haben. XVI. Die firfiher aufgestellten Besohreibimgen der Moden. Wir sagten vorher, dass sieben Moden seien ; es scheint aber nicht unpassend zu sein , dass noch ein achter hinzugefügt ist. Ueber die Art und Weise dieser Hinzufügung sprechen wir ein wenig später. Jetzt ist das zu betrachten, dass diese kleinen Spalten , welche die richtige Ord- nung der Linien unter einander trennt, einige musikalische Zeichen haben, andere aber keine, z. B. in dem Modus, welcher Hypermixolydius ge- nannt wird. Die erste Spalte ist mit dem Buchstaben (JU, die dritte mit <p bezeichnet. In der zweiten fehlt ein Zeichen. In dieser Unterbrechung der Zeichen wird gezeigt, dass ein Ganzton dazwischenliegt. WeU aber das Zeichen <p in der dritten und das Zeichen X in der vierten Spalte durch keine Spalte getrennt wird, aber die Linie in richtiger Ordnung gezogen ist, so bezeichnet dies, dass ein Halbton dazwischenliegt, was auf diese Weise dargethan wird. Denn wenn (JU (a) Proslambanomenos ist, <p (h) Hypate hypaton, X (c') Parhypate hypaton, so ist nothwendig, dass zwi- schen Proslambanomenos, d. i. (JU (a), und zwischen Hypate hypaton, d. i. <p (h), die Entfernung eines Ganztones, zwischen Hypate hypa- ton aber, d. h. ^ (h), und Parhypate hypaton, d. h. Y (c'), die Ent- fernung eines Halbtones sei. Dies ist nun regelmässig bei allen zu be- trachten, so dass , wenn eine ganze Spalte die Tonzeichen getrennt hat, wir wissen, dass zwischen diesen Tonzeichen die Entfernung eines Ganz- ^i 144 lones ist. Wenn aber nur eine Linie und nicht eine Spalte die Ton- zeichen trennt, so wissen wir recht wohl, dass dies die Entfernung eines Halbtones anzeigt. Wenn also nach diesen Yorausschickungen zwei in der Gonsonanz Bisdiapason aufgestellte Ordnungen wechselseitig ver- glichen werden, um nämlich zu erkennen, welche Ordnung tiefer sei, so sehen wir noth wendigerweise, wenn Proslambanomenos in der einen Ordnung tiefer ist , als Proslambanomenos in der andern , oder ii^end eine andere Stimme als tiefer notirt wird , als eine Stimme , die in dem andern Modus dieselbe Stelle einnimmt , wenn sie nämlich in demselben diatonischen Geschlecht aufgestellt ist: dass auch die ganze Ordnung tiefer ist. Dies wird jedoch besser nach der Mitte abgemessen , welche mit Mese bezeichnet wird. Von zwei Moden also in den Consonanzen Bisdiapason wird die ganze Ordnung desjenigen tiefer sein, dessen Mitte tiefer ist. Denn die übrigen Stimmen, einzeln verglichen, werden eben- falls als tiefer befunden. Wenn also eine Mitte von einer andern Mitte um einen Ganzton höher oder tiefer erscheint, so werden auch alle Stimmen , wenn sie in demselben Geschlecht sind , mit einander einzeln verglichen, um einen Ganzton höher oder tiefer erscheinen. Wenn unter vier Mitten die erste zur vierten die Entfernung Diatessaron bewahrt , so möge die erste von der zweiten und die zweite von der dritten um einen Ganzton , die dritte aber von der vierten um einen Halbton entfernt sein, auf folgende Weise i). Es seien die Mitten AB CD (ahcis'd'), und A (a) zu D (d') verglichen ergebe die Proportion Sesquiterz, d. h. Diatessaron, so möge auch A (a) von B (h) um einen Ganzton, B (h) von C (eis') um einen Ganzton abstehen ; es bleibt also übrig, dass C (eis') zu D (d') die Entfernung eines Halbtons bewahrt. Die Sesquiterz - Proportion Diatessaron A(a) B(h) C(cis') D (d') I i l Ganzton Ganzton Halbton Sobald fünf Mitten vorhanden sind, geschieht es auf dieselbe Weise. Wenn die erste von der fünften um die Proportion Sesquialter und die erste von der zweiten, die zweite von der dritten und die vierte von der fünften um einen ganzen Ton entfernt ist, so ist von der dritten zur vier- 4) In der folgenden Darstellung bezeichnen die in Klammern gesetzten Bachstaben die moderne Tonbestimmung. 145 ten die DiffereDz eines Halblones. Die Milien nun von einigen Moden. weldie sich Proslambanomenos (des faypodorischea Modus) nähern, ge- boren zu tieferen Moden ; welche sich den Netea näbera , veranlassen höhere Hoden. Auf dervorhergehendenTabelle (s. Seite 1 (2) also sind bei der Beschreibung der Moden nach links hin zuerst die Proslam banomenen aufgesteilt. Nach rechts hin aber wird die Tabelle zuletzt durch die Netcn begrenzl. Der Modus hypermixolydius wird also von allen der höchste, und der Modus hypodorius von allen der tiefste sein. Wir wollen von dem tiefsten, dem Modus hypodorius anfangen und werden die übrigen narh ihrer Differenz bezeichnen. Im hypodorischen Modus steht Mese LU (a] von Mese im bypophrygtschen Modus um einen Ganzton ab. Dies wird sehr leicht erkannt, wenn man zu Mese des hypophrygischen Modus, welche ist 9 (h) , mit Ul [a} desselben hypophrygischen Modus vergleicht, wel- ches ist Mese des hypodorischen Modus, im hypophrygischen aber Licha- nos meson. Denn y [1>] ^^^ ^ (a) stehen um einen Ganzton von ein- ander ab, was die dazwischen liegende Spalte zeigt. Ebenso zeigt Mese des hypoiydischen Modus von Mese des hypophrygischen Modus die DltTe- renz eines Ganztones. Denn C (eis'), d. h. Mese des hypolydische» Modus, ist um einen Ganzton von 9 [h) entfernt, welcher Klang im hypoiydischen Modus Lieb anos meson, im hypophrygischen aber Mese ist. Ebenso ist Mese des hypoiydischen, d. h. C [eis'], von Mese des dorischen Modus um einen Halbton entfernt. Dies kann daraus erkannt werden, weil die nach oben fortschreitende Ordnung von der Mese des hypoiydischen Modus und die nach oben fortschreitende Ordnung von der Mese des dorischen Modus eine Linie, nicht eine Spalte trennt. Da- her kommt es, dass Mese des hypodorischen Modus von Hese des dori- schen um die voUkommne Consonanz Diatessaron entfernt ist. Dies wird auf folgende Weise dargethan. Was nämlich UJ (a) Mese im hypodorischen Modas ist, ist auch UJ (a) Hypate meson im dorischen. Hypate meson eines jeden Modus und Geschlechtes ist aber von Mese eines jeden Modus und Geschlechtes um die Consonanz Diatessaron entfernt. Ebenso diffe- rirt Hese in dem dorischen Modus, d. i. TT (d') , von Mese im phrygischen Modus, d. i. M [e') , um einen Ganzton. Denn was Mese in dem dorischen Modus ist, nämlich TT, dasselbe ist im phrygischen Modus Lichanos meson. Femer istMese im phrygischen Modus, d.h. M [e'),vonMeseimlydischen Modus, d. i. I(fis'), um einen Ganzton entfernt. Denn was im phrygischen M (e') Mese ist, das ist im lydischen Modus Lichanos meson. Ferner ist Mese des lydischen Modus, d.i. I(fis'), von Mese des mixolydischen, d. i, H (g'j um einen Halbton entfernt. Denn wenn die Mitte der richligen Ord- BmUdi. 10 146 itUDgdfislydischea Modus mit derHiUe der richtigen Ordnung des mlKolydi- sehen Modus verglichen wird, so ersieht man, dass diese Mitten nicht durch eine Spalte, sondern durch eine Linie getrennt werden. Ebenso ist auch Mese des mixolydischen H (gO von Mese des hjpermixolydischen Modus, d. i. (~ (a'), um einen Ganzion entfernt, deswegen, weil H [g'j, was im niixolydisclien Modus Mese, im hypermiiiolydiscben Lichanos meson ist- Datier kommt es, dass Mese des dorischen Modus von Hese des mixoly- schen um die Consonanz Diatessaron entfernt ist. Dies wird auf folgende Weise dargethan. TT (d'], was in dem dorischen Modus Mese ist, ist nämlich im miAolydischen Hypate meson. Hese zu Hypate meson be- wahrt aber in jedem Modus die Consonanz Diatessaron. Ebenso bewahrt Mese des dorischen, d. i. TT [d'}, zu Mese des hypermixotydischen Mo- dus, d. i. P (a'), die Coosonanz Diapente. Denn Mese in dem dorischen Modus, d. i. TT (d'), ist im hypermixolydischen Modus Lichanos h\-palon. Wenn Lichanos hypaton aber zu Mese im diatonischen Geschlechle in jedem Modus verglichen wird, so zeigt es die Consonanz Diapente. Wa- rum aber der achte Modus, nänalich der Modus hypermixolydius, hinzu- Cefügl worden ist, erbellt daraus. Es sei die Consonanz Bisdiapason diese: ABCDEFGHIKLMNOP A H c d e r g a h c' d' e' f g' a' XVII. ' Beweis für daa hier aufgeatellte Sohema der Hoden. A zu H (A zu a] bewahrt die Consonanz Diapason ; denn sie wird durch acht verbundene Klänge gebildet. Wir haben gesagt , dass dies die erste Galtung der Consonanz Diapason sei, n'amlich A — H (A — a), die zweite aber B— I (H — h), die dritte C — K (c — c'), die vierte D— L [d — d'), die fünfte E — M (e— e'), die sechste F— N [t—f], die siebente G — (e— g'). Es bleibt also ausserdem H — P (a-— a') übrig, welche '■/.av Eriiillung der ganzen Ordnung hinzugefügt ist, und dies ist der achte Modus, den Plolemaeus noch mit verknüpft. XVUI. Wie unzweifelhaft die muBikalisclien OosBonansen mit dem Ohre beorüieüt werden können. Um aber unzweifelhaft das Wesen der Consonanzeo zu beurtheUeDj wird kurz ULid einfach durch ein Instrument bewirkt werden können. f- 147 Es sei die Regel (das Monochord) AD sorgfältig ausgespannt, wozu zwei Halbkugeln , welche die Griechen »Magadis« nennen , hinzugefügt werden , so dass von der Krümmung E die zu B herabgezogene Linie rechte Winkel bewirkt. Ebenso soll die von der Krümmung F zum Punkte G herabgezogene Linie rechte Winkel bUden. Diese Linien seien aber glatt und sauber gezogen und für den Gebrauch gut vorbereitet. Ueber denselben werde eine nach allen Seiten hin gleiche Saite ange- spannt, welche ist AEFD. Wenn ich also die Beschaffenheit der Con- sonanz Diatessaron finden will, so thue ich es auf folgende Weise. Vom Punkte £, in welchem die Saite den Halbkreis berührt, bis zum PunSte F, in welchem wiederum auf der anderen Seite die Saite mit dem andern Halb- kreis verbunden wird, theile ich den Zwischenraum E F in sieben Theile und setze zum vierten dieser sieben Theile den Punkt K. Es ist also EK zu KF Sesquiterz. Wenn ich also zu K eine den früheren gleiche Halbkugel hinzufüge und beide wechselseitig, nämlich E K und K F, mit Anwendung des Plectrums schlage, so wird der Zwischenraum Diatessa- ron ertönen. Wenn ich die Theile EK und KF zugleich schlage, so er- kenne ich die Consonanz Diatessaron. Wenn ich Diapente bewirken will, so theile ich die ganze Saite in fünf gleiche TheUe, d.h. den Zwischen- i\ räum von E zu F theile ich und gebe drei Theile der einen und zwei TheUe der andern Proportion und dann wäge ich durch die so gestellte Halb- kugel nach der früher angegebenen Weise die Gonsonanzen und Disso- nanzen ab. Ebenso wenn ich die Gonsonanz Diapason temperiren will, so theile ich das Ganze in drei Theile ; indem ich dann diese drei Theüe in einen und zwei zerlege, und dieselben zugleich oder wechselseitig schlage, erkenne ich leicht, was consonirt oder dissonirt. Auf dreifache Weise wird es also so wiedergegeben , was aus den vermischten Gonso- nanzen entsteht , so dass , wenn wir die ganze Saite in vier Theile zer- legen und diese ganze Ausdehnung der Saite in drei und einen TheU getheilt wird, dann die den drei Theilen zugefügte Halbkugel die Disso- nanz und Gonsonanz der dreifachen Proportion wiedergiebt. E KP B C 40* BUCH V. Eingang. Nach der EintheiluDg des regulären Monochordes glaube ich noch hinzufügen zu müssen, in welchen Punkten die alten Musikgelehrten verschiedener Meinung waren. Ueber alle miiss man ein genaues Urtheil haben und muss das, was dem vorliegenden Werke fehlt, aus dem Haus- halt massiger Gelehrsamkeit ergänzen. Es kann nämlich auch eine an- dere Eintheilung geben, in welcher nicht eine Saite angenommen wird, die man nach den aufgestellten Proportionen theilt. Sondern man kann achroder noch mehr Saiten annehmen, wie es bei derKithar zu geschehen pflegt und dann kann man die ganze gleichsam vor Augen gerückte Be- rechnung der Proportionen erkennen, wie viel Saiten nothwendig sind. I. üeber die Gewalt der Hannonie und welche Instrumente für deren Benr- theilung vorhanden aind und wieweit man den Sinnen Glauben beimessen dürfe. Hierüber wollen wir ein wenig später sprechen. Jetzt müssen wir sagen, welche Kraft die Harmonie besitzt, über deren Einrichtung wir vier Bücher vollgeschrieben haben. Die Natur derselben aber und den Ausdruck ihr^r Kraft haben wir für den Verlauf dieses fünften Buches auf- gespart. Harmonie ist nämlich die Fähigkeit, welche die Differenzen der hohen und tiefen Töne mit dem Gefühle und der Vernunft abwägt. Denn Gefühl und Vernunft sind gleichsam gewisse Instrumente der harmonischen Fähigkeit. Das Gefühl nämlich nimmt etwas noch Verworrenes waJir, obschon zwar das Gefühlte der wahren Beschaffenheit nahe kommt. Die Vernunft aber beurtheilt die Richtigkeit und richtet ihre Aufmerksamkeit allein auf die Differenzen. Daher findet das Gefühl etwas noch Unge- ordnetes , obgleich es der Wahrheil nahe kommt , erfasst jedoch durch Hinzutreten der Vernunft die Richtigkeit. Hingegen findet wohl die Ver- 149 nanft die Richtigkeit, nimmt aber durch Hinzutreten des Gefühls die noch angeordnete obgleich der Wahrheit nahekommende Wahrscheinlichkeit auf. Denn das Gefühl erfasst nichts, was geradezu ganz richtig wäre, es gelangt nur bis zu einem der Wahrheit sehr naheliegenden Punkte ; die Vernunft hingegen beurtheUt. Z. B. wenn man mit der Hand einen Kreis zeichnet, so meint das Auge vielleicht, dass dieser Kreis richtig ist ; die Vernunft sieht aber ein , dass dies durchaus nicht so richtig ist , was ähnlich erscheint. Das kommt daher , weil der Sinn an die Materie ge- bunden ist und Gattungen in derselben zusanunenfasst, die so zerflossen, unvollkommen , unbestimmt und nicht bis zur Nagelprobe ausgeglättet sind, gleichwie es die Materie selbst ist. Deswegen folgt dem Sinn selbst auch Verwirrung ; weil nun die Materie die geistige Vernunft nicht aufhält, so betrachtet letztere die Einzelnheiten, welche sie vorher sieht, nicht sub- jectiv und es begleiten daher dieselbe (Vernunft) Richtigkeit und Wahr- heit, und was der Sinn mehr oder weniger verfehlt, verbessert und ergänzt sie. Vielleicht mochte aber das, was der Sinn nicht vollständig, sondern \erworren und nicht ganz der Wahrheit gemäss gleichsam als unkundiger Beurtheiler aufnimmt, im Einzelnen nicht gerade viele Irrthümer zeigen. Wenn die Irrthümer jedoch gesammelt werden, so vervielfältigen sie sich zu einer Suname und deswegen bewirken sie eine grosse Differenz. Wenn z. B. der Sinn meint, dass zwei Stimmen einen ganzen Ton von einander liegen und dies ist nicht der Fall, oder er meint, dass von der einen der beiden Stimmen bis zur dritten die Entfernung eines Ganztones sei, und es ist nicht die volikommne und wahre Entfernung eines Ganztones ; oder er hält die Entfernung von der dritten und vierten für einen ganzen Ton und er irrt auch darin , indem es nicht die Entfernung eines Ganztones ist : oder er meint, dass von der vierten zur fünften die Entfernung eines Halbtones sei und er urtheUt auch darin nicht ganz wahr und richtig, so möchte vielleicht im Einzelnen der Irrthum weniger gross erscheinen. Was aber der Sinn im ersten Ganzton übrig liess , und was im zweiten und dritten Ganzton und im vierten Halbton verfehlt wurde, das wird, zu einem Ganzen verbunden und gesammelt, bewirken , dass die erste zur fünften Stimme die Consonanz Diapente nicht enthält, was geschehen müsste, wenn drei Ganztöne und einen Halbton der Sinn richtig beur- theilt hätte. Was also in den einzelnen Tönen weniger klar erschien, (las zeigt sich gesammelt deutlich in der Consonanz. Um nun zur Er- kenn tniss zu bringen , dass der Sinn Verworrenes zusammenfasst , auf keine Weise aber bis zur Unfehlbarkeit der Vernunft emporsteigt, wollen wir folgende Betrachtungen anstellen. Zu einer gegebenen Linie eine 150 andere grössere oder kleinere zu finden , ist für den Sinn weiter nidit schwer. Nach einer bestimmten Messung jedoch eine um ein bestimmtes Mass grössere oder kleinere Linie zu finden , wird nicht die erste Erfas- sung des Sinnes bewirken können , sondern nur die geistige Erfindung der Vernunft. Wenn ferner die Aufgabe vorliegt, eine gegebene Linie zu verdoppeln oder in die Hälfte zu theilen, so ist es vielleicht in diesem Falle dem Sinne gestattet, etwas genauer als verworren eine grössere oder kleinere Linie zu finden , dennoch muss es durch Erfindung der Vernunft festgestellt werden. Wenn aber die Aufgabe gestellt ist, dass das Dreifache der vorliegenden Linie gesetzt, oder von derselben der dritte Theil abgeschnitten , oder das Vierfache gesetzt oder der vierte Theii abgeschnitten werde , würde dies für den Sinn nicht unmöglich erscheinen, wenn nicht die Unfehlbarkeit der Vernunft hinzuträte? Das also fehlt dem Sinn, weQ im Forlgang für die Vernunft der Platz wächst ^ ■ . Wenn man die Aufgabe stellt, den achten Theil von einer vorliegenden Linie wegzunehmen , oder das Achtfache derselben zu geben , so wird man im ersteren Falle veranlasst, die Hälfte des Ganzen zu nehmen, so- dann die Hälfte dieser Hälfte , so dass diese der vierte Theil des Ganzen ist, und dann wiederum die Hälfte des vierten Theiles, so dass diese der achte Theü des Ganzen ist. Im letzteren Falle muss man das Doppelte des Ganzen, dann das Doppelte des Doppelten, d. i. gleich dem Vier- fachen des Ganzen, sodann das Doppelte des Vierfachen , d. i. gleich dem Achtfachen des Ganzen, nehmen. Also bewirkt in so grosser Zäh- lung der Dinge der Sinn nichts , da sein Urtheii ein zwar schnelles aber ganz oberflächliches ist und eine Folgerichtigkeit durchaus nicht herzu- stellen vermag. Deswegen darf man auch nicht das ganze Urtheii dem Gehörssinn zutrauen, sondern es ist auch die Vernunft in Erwägung zu ziehen, welche den irrenden Sinn richtet und regiert, und auf welche sich der irrende und unvollkommne Sinn gleichwie auf einen Stab stützt . Wie aber die einzelnen Künste Instrumente haben, mit welchen sie theijs etwas Verworrenes bilden, z. B. die Maurerkelle, theils aber auch solche, mit welchen man das Ganze abwägt, z. B. den Zirkel, so hat auch die harmonische Kraft zwei Theile des Urtheils, von denen der eine der- jenige ist, mit welchem der Sinn die Differenzen der vorhandenen Stim- men umfasst, der andere aber derjenige, durch welchen er in genauester Weise die Reihe und Messung der Differenzen betrachtet. 4) Der Sinn nimmt zuerst eine Sache auf; die) genaue Erkenntniss dersel- ben, die Begründung ihres Wesens, kurz, alle logischen Erörterungen fallen der Vernunft zu. Was harmoniBClie Be^l sei, odet wie die Pythagoreer oder AtintozennB odei FtolemaetiB die liamLoiiisiilie Spaiuiimg erklärt haben. Ein InstrumeDt der Art, auf welchem mit Anwendung einer Art von Berechnung die Differenzen der Tone erCorscht werden , wird har- monische Begel genannt , in welcher Sache sich die Meinung vieler Ge- lehrten im Zwiespalt befindet. Gewisse Leute nümlich , welche den Lehren der Pythagoreer am meisten Glauben schenkten , sagten , dass alles Vernunflgemässe daraus hervoi^ehe , dass nämlich gew isser massen der Sinn die Samenkörner der Erkenntniss ausstreue , die Berechnung (Vernunft) letztere zur Reife bringe. Aristoxenus hingegen sagte, dass im Gegentheil der Versland Geföhrte und Begleiter sei und dass Alles nach dem Urlheil des Gefühls abgemessen werde und die Messung und Uebereinslimmung ebendesselben aufrecht zu erhallen sei. Von Ptole- mäus aber wird gewissermassen die Anspannung der Harmonie so defl- nirt, dass nichts dem Gehör und der Vernunft entgegen sein könne. Dies nämlich scheint der Harmoniker nach Ptotemäus zu bezwecken, dass dies, was das Gefühl beurtheilt, auch die Vernunft abwägt und die Ver- nunft die Proportionen so findet, dass sich das Gefühl dagegen nicht sträubt und durch die Eintracht dieser beiden die ganze Anspannung der Harmonie gemischt wird. Darin tadelt er hauplsächlich den Aristoxenus und die Pythagoreer, weil Arisloxenus in nichts der Vernunft, sondern nur den Sinnen traul , die Pythagoreer aber , weil sie am allerwenigsten auf die Sinne , am allermeisten jedoch auf die Berechnungsverhältnisse Gewicht legen. lU. Wie AristoxemiB oder die Ffthagoreei oderFtolemäns Festgeatellt haben, worin Tiefe und Höhe bestehe. Weil nun Alle darin übereinstimmen, dass der Klang ein Schlag der Luft sei, so setzten die Anhänger des Arislosenus und die Pythagoreer die Differenz von Tiefe und Höhe in ein verschiedenes Verhältniss. Ari- stoxenus nämlich meint, dass die Differenzen der Töne nach der Tiefe und Höhe in der Qualität beständen. Die Pythagoreer stellten sie in der Quantität fest. Ptolemäus scheint den Pythagoreem näher zu stehen, weil er selbst glaubt, dass Tiefe und Höhe nicht in der Qualität, sondern in der Quantität aufgestellt werden ; denn dichtere und feinere Körper 152 e brächten Hohe , seltnere und ausgebreitetere Tiefe hervor , so dass jetzt nichts über die Art und Weise der Anspannung und des Nachlassens ge- sagt wird ; obschon auch , wenn sich etwas lockert , dies gleichsam eine seltnere dickere , wenn es aber angespannt wird , eine dichtere und fei- nere Gestalt annimmt. IV. üeber die Differenzen der Hänge nach der Meinimg des Ptolemäns. Nachdem dies so entwickelt wurde, theilt Ptolemäus die Differenzen der Klänge auf folgende Weise ; einige der Stimmen sind unison, andere nicht. Unison sind diejenigen, von welchen nur ein Ton entweder in der Tiefe oder in der Höhe vorhanden ist. Nicht unison sind die , von denen die eine tiefer, die andere höher ist. Von diesen sind nun einige so beschaffen, dass die Differenz derselben unter einander durch ein gemeinschaftliches Ende verbunden wird. Denn nicht ist sie getrennt, sondern sie wird von der Tiefe nach der Hohe so geleitet, dass sie stetig erscheint. Andere aber sind nicht unison, deren Differenz durch dazwischen erscheinendes Stillschweigen getrennt wird. Die Verbindung der Stimmen durch ein gemeinschaftliches Ende geschieht aber auf fol- gende Weise. Wenn man z. B. in den Wolken einen Bogen erblickt, so sind die Farben desselben einander so nahe , dass es keine bestimmte Grenze giebt, wenn die eine von der andern unterschieden werden sollte, z.B. der Uebergang vom Rothen zum Gelben, und dass sich der Bogen in stetiger Veränderung zur folgenden Farbe befindet , indem keine be- stimmte Farbe in der Mitte dazwischenliegt , welche beide von einander trennt. Ebenso ist es auch bei den Tönen ; wenn nämlich Jemand eine Saite in Schwingung versetzt und dieselbe während der schwingenden Bewe- gung dreht (anspannt] , so geschieht es , dass im Anfang das Tönen ein tieferes ist, beim Drehen aber jene Stimme (jener Klang) höher wird und daher ein steliges Tönen einer tiefen und hohen Stimme (eines tiefen und hohen Klanges) entsteht. V. Welche Stimmen für die Harmonie passend sind. Wenn nun also einige von den nicht unisonen Stimmen stetig , an- dere getrennt sind, so sind »stetige« solche, deren Differenz unter einander durch ein gemeinschaftliches Ende verbunden wird , und nicht möchte .153 die hohe und tiefe Stimme einen bestimmten Ort haben, welchen sie fpsl- iiielte. Die »getrennleno aber haben eigene Plätze, gleicliwie die luucr- mischtea Farben, deren Differenz, durcli ihren gewissen PIüIz fe>;(gcsti?ll(. untersucht wird. Stelige nicht unisone Stimmen sind von der liamioni- sehen Wissenschaft ausgeschlossen. Denn sie sind an sicli liHbsl lui-.ilin- lich und erzeugen keinen bestimmlen Scliall. Getrennlf Summen iibvc dienen der harmonischen Kunst als Unterlage. Denn liic Diirci'cnz der »useinanderliegcnden und an sich unähnlichen Stimmen kfinii rilipL'wogeit werden, unter welchen die, welche in der Verbindung (.■iuL^a Ge.fang lie- vvirken, i^^'I'^^^': (melodische) genannt werden ; exjwXsT; unraelotii-fln-l aber diejenigen, aus deren Verbindung kein Gesang hervur^elicii kann. Welche Zahl der Proportionen die ^rthagoieer feststeUen. Consonirende werden die Stimmen genannt, wtli.i)f iu iiirerVer- knüprung gemisclile und liebliche Tiine hervorbringen, Dissotnioude diejenigen, bei welchen dies keinesweges der Fall ist. Sn «eil j;elil nuij das Unheil desPtolemiius über die Differenzen derTiini'. h-\.7.[ sclii'inl uns aber nölbig zu sein, mitzulheilen, was von den übiij/en lluÄiki'rii bei Aurstellung der Consoaanzcn Verschiedenes aufgesteliv i^l. Die Pylliii- coreer hallen nämlich die Consonanzen Diapente undDi.ilessaron für ein- fache, und aus diesen verbinden sie eine Consonanz Dia|insoii, nncli seien "Diapente und Diapason« und Bisdiapason Consonanzen . jene iu drei- facher, diese in vierfacher Proportion. uDiapasoDuadDiatessaronoaber halten sie nicht für eine Consonanz; deswegen, weil sie nicht in eine überlheilige und vielfache Prüporliuii rälll, sondernineinevielfachübennehrthelige DiesePrti I rbi men ist nämlich wie S:3 ; wenn Jemand in die Hilte d o'^ ^ I i ( iz io erhält er die Zalden 8, 4, 3. Von d esen bewirken s l 1 C nanz Diapason, 4 : 3 Diatessaron. 8 ; 3 ^vl^d aber ml If I ul mehrtheilige Proportion gestellt. Welche Bedeutung i IT I I mehrtheilige Proportion hat, ist aus dei »arthmetacl r I i erkennen und aus dem, was wir im z\cten Buche 1 I tl I entwickelt haben. Die Pythagoreer setzen d e Conson i nie 1 fachen und übertheUigen Proportionen gle chwie e^ i b I II zweiten und vierten Buche gesagt worden st Auf wel i \r1 I 1 I ■< goreer Diapason mit der doppelten Proport on Diateasar n I s s 154 qaiterz und Diapente mit dem Sesquialter verbinden, ist aus dem zwei- ten und vierten Buche dieser »musikalischen Institution« zu erlernen. VII. Cass PtolemäuB die Pythagoreer in der Zahl der Proportionen angreift. PtolemUus aber greift die Pythagoreer an, und zwar diesen ganzen Beweis , welchen wir in den vorgenannten Büchern auf mehrfache Art entwickelt haben , worin auch das Alles vorkommt , dass sie (die Pytha- goreer) Diatessaron und Diapente mit dem Sesquialter und Sesquiterz verbinden, zu den übrigen übermehrtheiligen Proportionen aber, da- sie von derselben Gattung sind, überhaupt keine Consonanzen hinzufügen. VIII. Beweis nach Ptolemäus für die Oonsonanz Diapason und Diatessaron. Er beweist, dass aus »Diapason und Diatessaron« eine gewisse Sym- phonie deswegen entstehe, weil die Consonanz Diapason eine solche Ver- schmelzung des Klanges bewirkt, dass sie ein und dieselbe Saite zu sein scheint, und dies meinen auch die Pythagoreer. Daher müsse man, wenn mit dieser eine andere Consonanz verknüpft würde, eine voll- kommne und unverletzliche Consonanz erhalten. Denn sie wird ja der Consonanz Diapason, gleichwie einer Saite hinzugefügt. Es sei z. B. die Consonanz Diapason, welche im Umfange von Hypate meson und Nete diezeugmenon liegt. Diese beiden stimmen so zusammen und ver- binden sich durch den Klang so mit einander , dass eine einzige Stimme gleichsam einer Saite nicht gleichsam als eine Mischung von zwei Saiten das Ohr berührt. Jedwede Consonanz also , die wir mit dieser Conso- nanz Diapason verbinden, zeigt sich wieder als eine vollkommne Conso- nanz , weil sie gleichsam mit einer Stimme und Saite verbunden wird. Wenn also mit Hypate meson und Nete diezeugmenon* nach der Höhe zwei Diatessaron verbunden würden, also mit Nete diezeugmenon die, welche ist Nete hyperbolaeon , mit Hypate meson aber die , welche ist Mese , so werden beide zu beiden in Consonanzen ertönen , sowohl Mese zu Nete diezeugmenon , also auch ebendieselbe Mese zu Hypate meson. Ebenso Nete hyperbolaeon zu Nete diezeugmenon und zu Hypate meson. Wenn ferner in der Tiefe die Consonanzen von zwei Diatessaron angefügt werden , so wird zu Hypate meson die Consonanz Diatessaron Hypate hypaton enthalten, zu Nete diezeugmenon aber Paramese. Und 155 es wird Hypale liypalon zu Hypate meson und zu Nele diezeugmcnon ebenso consonirend erlönen, wie Paraniese zu Nete diezcugmenon und zu Hypale meson. In dieser Weise enthalt die tiefere Saite mit ihrer nächst höheren die Consonanz Diatessaron, zu ihrer letzten aber »Diates- saron und Diapason« ; z. B. enthält Hypate hypaton zu Hypnle niMon <IU- Consonanz Diatessaron, zu Nele diezeugraenon dieConsonanx »Diiiles.snr(jih und Diapason«. Ebenso Nete hyperbolaeon, welche die höhere äaite ist. enthält zu ihrer nächst lieferen Nete diezeugmenon die Conf^onanz Di;i- lessaron, zu Hypale meso» die Consonanz »Diatessaron tind Diapason". IX. WeloheB die Eigenthfimlichkeit dei Oonsonani Diapason ist, Dies aber pflegt deswegen zu geschehen, weil Diapa.^on hein:ihe eine einzige Slimme , und eine solche Consonanz ist , dass sie gewisser- niassen nur einen Ton erzeugt. Gleichwie durch die ZaM I dicjcuii;'' Zahl, welche hinzugefügt oder dazwischen gesetzt wurde, vollkommen und unverletzt bewahrt wird, obgleich dies bei den übrigen Zahlen iiiclil der Fall ist, so ist es auch bei dieser Consonanz. Denn wenn man ! zu 3 hinzufügt, so erhält man unmittelbar 5 und die Zahleii^uttuim ist also verändert worden. Wenn man aber 9 zu U) addirl , si> erhält man 1 S ; und S ist in der Verbindung mit 1 erhalten wei- den. Ebenso ist es mit der Zahl 3 und den übrigen miS dieselbi' Weise. So also bleibt auch die Symphonie Diapason In ihrer Slelliuif; als Consonanz , mag sie eine andere Consonanz , welche e'i sei, zit sich genommen haben ; nicht verändert sie sich, nicht entsteht uns dem roii- sonirenden Intervall ein dissonirendes. Denn gleichwie iVw Symphonii! Diapente mit der Consonanz Diapason verbunden in dreifacher Proporliou die Consonanz »Diapason nnd Diapente" bewahrt, so auch erisiebl die Ver- bindung der Consonanz Diatessaron mit Diapason eine andere Consonanz. und es entsteht nach PtoleraSus die Hinzufiigung einer anderen Conso- nanz, d. h. der, welche ist »Diapason und Diatessaron«, die in lior vieUatli iibermehrlh eil igen Proportion besteht. Und es ist diese Proportion dii- zweifach überzweflheilige wie S : 3, denn die Zahl 8 enlhiill .! zncjni.i! und zwei Theile derselben in sich, d, h, S Einheiten. y 156 X. Auf welche Weise Ftolemäus die Oonsonanzen aufstellt. Ueber die Meinung der Pythagoreer urtheilt Ptolemäus folgender- massen ; — wir müssen jedoch davon anfangen , auf welche Weise er selbst die Proportionen und Zahlen der Consonanzen aufspürt. — Die Stimmen, sagt er, sind unter einander entweder unison oder nicht uni- son. Von den nicht unisonen Stinmien sind einige »ähnlichtönend«, einige »consonirend«, einige »melodisch«, einige »dissonirend« , einige »unmelo- disch«. Unison sind nämlich diejenigen, welche, einzeln in Schwingung gesetzt, ein und denselben Ton wiedergeben. Aehnlichtönend sind aber die, welche, zugleich in Schwingung versetzt, einen Klang aus zwei Tönen und zwar einen gew isser massen ähnlichen Ton bewirken , wie Diapason und deren Verdoppelung Bisdiapason ^ Consonirend sind aber die, welche in ihrer Zusammensetzung und Vermischung dennoch einen angenehmen Klang hervorbringen , wie Diapente und Diatessaron. Melodisch aber sind die , welche zwar nicht consonirend sind , welche aber dennoch richtig zum Gesänge passen können; sie sind gleichsam die Stimmen, welche die Consonanzen verbinden. Dissonirend sind aber die, welche die Töne nicht vermischen, und unangenehm das Gefühl berühren, ün- melodisch aber sind die, welche bei Verbindung der Consonanzen nicht aufgenommen werden , über welche wir bald darauf bei der Eintheilung der Tetrachorde sprechen werden. Weil also die ähnhchtönenden Stim- men der Vergleichung mit einer Stimme zunächst liegen, so ist es noth- wendig, dass zu den gleichen Zahlen diese Ungleichheit der Zahlen hinzugefügt werde, welche den gleichen zunächst liegt. Der Gleichheit der Zahlen liegt zunächst die doppelte Proportion. Denn diese ist sowohl die erste Gattung der Vielfachheit als auch überschreitet die grössere Zahl , wenn sie die kleinere übertrifll , diese um sich selbst , so dass mithin 2 die Zahl \ um \ überschreitet , welche ebenderselben Einheit gleich ist, mit Recht daher die doppelte Proportion für die ähnlichtönenden Klänge passt, also für Diapason. Bisdiapason aber gehört für die zwei- mal doppelte, d. h. für die vierfache Proportion. Welche Proportionen rmn die doppelte Proportion der ersten und vorzüglichsten Consonanz theilen, diesen Proportionen sind die Consonanzen anzupassen, welche die Consonanz Diapason um ein Gleiches theüen. Daher kommt es, dass Diapente mit der Sesquialter-Proportion , Diatessaron aber mit der Ses- quilerz-Proportion verbunden wird. Die Consonanzen aber bewirken in ihrer Verbindung mit den ähnlichtönenden andere Consonanzen, wie 157 »Diapente uod Dinpason« in dreifacher Proponion, »Diatessaron und Dia- pasoD« in der Proporlion 8 : 3. Stelodisch sind nun die, -welche »Dia- pente und Dialessarono theilen , wie der Ganzion und die übrigen Pro- portionen , da sie ähnhche Theile derselben sind, über welche wir bald nachher bei der Eintheilung der Telrachorde sprechen werden. XL Welche Stimmen ähnlichtöiieiid, welche ooueouiiend und urelohe melodisch sind. Aehnlich tönende Stimmen sind also Diapason und Bisdiapason, weil durch deren Beschaffenheit und Mischung gewissermassen ein einziger und einfacher Ton bewirlil wird. Die Consonanzcn aber sind die ersten in den überlheiligen Proportionen, nämlich im Sesquialter und Sesquiterz, d. h. Diapente und Diatessaron; »Diapason und Diapenteic sowohl, als auch oDiapason und Diatessaron" sind aus ahn lieh tonenden Consonanzen zusammengesetzt und verbunden. Die übrigen, »melodischen«, können zwischen dieselben gesetzt werden, so dass zwischen Diatessaron und Diapente der Ganzton als Differenz erscheint, und es werden gewtsser- massen die ähntichtönenden aus den Consonanzen verbunden , wie Dia- pason ans Diatessaron und Diapente, die consonirenden aber aus denen, weiche melodische Tone [iii|i£Xsi4) genannt werden, wie z. B. Diapenle und Diatessaron aus den Ganztönen und den übrigen nachher zu nennen- den Proportionen. Wie aber das Yerhältniss all dieser Klänge gewonnen werden kann, ist aus der Beschreibung der Stelle im vierten Buche am Ende zu entnehmen, wo eine Saite über die Halbkugeln gespannt wurde. Daselbst findet man die Aequisonanz Diapason und Bisdiapason, die einfachen Consonanzen Diapente und Diatessaron , die zusammenge- setzten Consonanzen »Diapason und Diapente« und »Diapason und Dia- tessaron« und auch die melodischen Klänge , wie sie in der Differenz eines Ganztones bestehen. XU. Wie Aiiatoxenns das laterrall betraclitat. Was hierüber Aristoxentis meint, ist in der Kürze zu eröffnen. Weü jener nun gar keine Behandlung für die Berechnung aufgestellt hat, son- dern Alles dem ürtheil der Ohren überlUsst, deswegen bezeichnet er die Stimmen selbst nicht mitzählen, um etwa die Proportionen derselben 158 zu orhallen , sondern er nimiul die Differenz derselben in der Mitle , so (lass er also die Forscliung nicht an den Summen (EUängen) selbst vor- riinimi, sondern dort findet, wo sie unter einander diCTeriren ; er verfähn hierbei allzu unvorsichtig, wenn er glaubt, die Differenz derjenigen Stim- men zu kennen , von deoeii er keine Grosse oder Mensur aufstellt. Er behauptet also, dass Dialessaron eine Consonanz von zwei Ganztönen und einem llalbton, Diapente eine Consonanz von drei Ganzlönen und einem llalbton und Diapason eine Consonanz von sechs Ganztönen sei, wovon in den frühem Büchern gezeigt wurde, dass dies nicht der Fall sein könne. DeBchieibnng des Octachordes , worin geieigtviid, dasa die OonBOuanB Diapason kleiner ist, als Beohs ßanrtdne. Ptolemäus lehrt aber durch die Einlheilung eines gewissen Octa- chordes, dass Diapason in weniger als sechs Ganztönen liege. Man spanne acht Saiten an, nänüich ABCDEFGH und es liege AK in der Sesquiociav-Proportion zu EL, ebenso BL von CM, und CM von der, weicheist DN, und DN von der, welche ist EX und EX von der, welche ist FO, und FO von der, welche ist GP. Es werden also sechs GanztÖne sein. Ferner werde zwischen FO und GP die mittlere Saite HR gezogen. Es wird also AK das Doppelte von dem sein, wel- ches ist HB. Zugleich in Schwingung gesetzt, werden AR und HB in der Aequisonanz Diapason ertönen. Wenn man aber G P in Schwingung verselzl, so wird diese Saite immer ein wenig höher sein als HR. Und um dieses werden sechs GanztÖne die Consonanz Diapason überschreiten. Wenn nämlich AK und GP in Schwingung versetzt im Diapason ertön- ten, so wäre Diapason eine Consonanz von sechs Ganztönen. Wenn aber, anstatt dieser nicht consonirenden Töne AK und GP, die Töne AK und II R im Diapason ertönten , und H B höher wäre , als G P , so würde die Consonanz Diapason sechs Ganzlöne überschreiten. Weil nun jetzt bei den consonirenden Tonen AK und HB eben derselbe Ton HR von dem, welcher ist GP, tiefer gefunden wird, so kann nicht bezweifelt werden, dass sechs Ganztöne die Consonanz Diapason übersohreilen. Und so kann man auch mit dem Sinne wahrnehmen, dass die Consonanz Diapa~ son innerhalb eines Zwischenraumes liegt, welcher geringer ist als sechs Ganztöne. So also wird der Irrthum des Arisioxenus ohne Zweifel ub- widerleglicli bewiesen. Sa88 die Ooqbohmis DiatesBaron m einem TetroGhoid entholteii ist. Jetzt müsseü wir über die Eintheilung der Telrachorde sprechen. Denn die Consonanz Diatessaron wird durch vier Sailen bewirkt , des- wegen wird sie auch Diatessaron genannt. Damit also durch zwei auf heiden Seiten in Rücksicht auf die Symphonie Diatessaron aufgestellte consooirende Saiten ein Telrachord entstehe, ist es nolhwendig, dass zwei Saiten in der Mitte aufgestellt werden , welche zu einander wech- selseitig und zu den Uusserslen Sailen drei Proportionen bewirken. XV. Wie Ariatozenus den Oonston und die ZlanggeBChleclitei eintheilt, nebBt der AnfBtellmig diaaer HiutlieilTuig. Dieses Diatessaron theilt nun AHstoxenus in den RIanggeschlechtern auf folgende Weise ein. Er theilt nämlich den Ganztou in zwei Theile und jeden derselben nennt er Halbton. Diesen theilt er in drei Tiieilo, wovon er den dritten »Diesis des weichen chromatischen GeschlechtSK nennt ; er theilt ihn in vier Theile , wovon er den vierten Thei! mit der eigentlichen Mitte, d.h. mildem achten Theile des ganzen Tones, «Diesis des hemiolisch-^h romalisch en Geschlechts« nennt. Ferner nennt er den vierten Thei! allein »Diesis enharmonios«. Da es sich also so verhält und die Eintheilung der Geschlechter nach ihm (Aristoxenus) eine doppelte ist : so ist nämlich ein Geschlecht wei- cher, da9 andere erregier. Und das weichere ist das enharmonische, das erreglere aber das diatonische. Zwischen diesen bestellt das chro- matische, welches der Erregung und Weichheit theilhaftig ist ; nach dieser b:dife.: 160 Ordnung also entstehen die Unterschiede von sechs Geschlechtern. Das erste nämlich ist das enharmonische, dann folgen drei chromatisch^, nämlich : das weiche chromatische, das hemiolisch-chromatische und das tonisch-chromatische. Die beiden übrigen sind das weiche und das ■erregte diatonische Geschlecht. Von diesen allen ist nach Aristoxenus die Eintheilung folgende. Weil nun der vierte Theil des Ganztones, wie vorher erwähnt, »Diesis enharmonios« genannt wird, und weil Aristoxenus nicht die Stimmen selbst unter einander vergleicht, sondern die Differenz der Stimmen und das Intervall abmisst , und nach ihm der Ganzton aus i 2 Einheiten besteht, so wird also der vierte Theil desselben drei enhar- monische Diesen haben. Weil nun femer die Gonsonanz Diatessaron aus zwei Ganztönen und dem Halbton verbunden wird , so wird die ganze Consonanz Diatessaron aus %Xif und 6 Einheiten bestehend au gestellt. Da es nun oft geschieht , dass , wenn man den Ganzton bis zu seinen achten Theilen zerlegen will , man nicht auf ganze Zahlen , sondern auf einige Theile derselben triffl, so muss man deswegen die ganze Conso- nanz Diatessaron mit der Zahl 60 bezeichnen. Der Ganzton hat nun 24, der Halbton \ % Einheiten, der vierte Theil des Ganztones, welcher »Diesis enharmonios« genannt wird , 6 Einheiten , der achte Theil hingegen 3 . Die Verbindung des vierten mit dem achten Theile, d. h. 6 mit 3, so dass es eine hemiolisch-chromatische Diesis giebt , wird in 9 Einheiten bestehen. Nach diesen Bestimmungen glaubte Aristoxenus, dass die drei Oeschlechter : nämlich das enharmonische , chromatische , diatonische, diese Eigenthümlichkeiten hätten , dass sie theils dicht, theils nicht dicht genannt werden. Dicht sind die, von denen zwei tiefere Ver- hältnisse das eine, welches nach der Hohe zu angefügt wurde, an Grösse nicht übertreffen. Nicht dicht aber die, von denen zwei Pro- portionen die eine übrige übertreffen können. Das enharmonische und chromatische ist nun dicht, das diatonische aber nicht dicht. Daher wird das enharmonische Geschlecht nach Aristoxenus so eingetheUt 6, 6, 48, so dass sich zwischen der tiefsten und ihr zunächst Hegenden Saite der vierte Theil des Ganztones befindet , welcher enharmonische Diesis genannt wird, da der Ganzton aus 24 Einheiten bestehend aufge- stellt ist. Ebenso ist dann das zweite Intervall von der zweiten zur drit- ten Saite der vierte Theü des Ganztones. Die übrigen Ganztöne jedoch, welche von 60 übrig bleiben, woraus die ganze Proportion besteht, lie- gen, von der tiefsten Saite an gerechnet, zwischen der dritten und der vierten höchsten Saite, sie bestehen in der Zahl 48, und die beiden Pro- portionen nach der Tiefe 6 und 6 übertreffen nicht die eine übrige 161 Proportion nach der Hohe, nämlich 48. Vom weichen chromatischen Geschlecht macht er diese Eintheilung 8, 8, 44, so dass 8 und 8 die dritten Theile der Ganztöne sind , da der Ganzton, wie gesagt, aus 24 Einheiten besteht. Dieser dritte Theil des Ganztones wird Diesis des weichen chromatischen Geschlechts genannt. Femer wird das Diatessa- ron des hemiolisch-chromatischen Geschlechts in 9, 9, 42 eingetheilt. Die Diesis des hemiolisch-chromatischen Geschlechts ist der achte Theil des Ganztones verbunden mit dem vierten, d. h. von 24 Einheiten sind es 6-|-3 Einheiten. Ferner ist nach Aristoxenus die Eintheilung des tonisch-chromatischen Geschlechts eine solche \t, H, 36 , indem er nämlich in zwei Intervallen zwei einzelne Halbtöne aufstellt und das Uebrigblelbende in das letzte IntervaU setzt. In all diesen Geschlechtern übertreffen die beiden dem tiefsten Klange zunächstliegenden Propor- tionen keinesweges an Grösse die nach der Höhe zu übrigbleibende Pro- portion und gehören daher, wie schon gesagt, zu den dichten Geschlech- tem. Dichte Geschlechter nämlich sind das enharmonische und chroma- tische. Aber auch die diatonische Eintheilung ist eine doppelte ; und zwar geschieht die Eintheilung des weichen diatonischen Geschlechtes auf fol- gende Weise : 1 2, 1 8, 30, so dass i 2 Halbton, \ 8 Halbton und der vierte Tbeil des Ganztones, 30 aber das Uebrigbleibende ist ; 4 2+^ ^ ^^^ nämlich = 30 und wird nicht von dem Theile, welcher übrig bleibt, übertroffen. Ferner ist die Eintheilung des erregten diatonischen Geschlechts eine solche, dass sie einen Haibton und zwei Ganztöne enthält, nämlich 4 2, 24, 24, von weichen 24 und 12, d. h. 36, nicht übertroffen werden von dem übrigen Theüe, welcher nach der Höhe zu hegt, sondern sie übertreffen vielmehr diesen. Es ist also nach Aristoxenus die vorhergenannte Eintheilung der Tetrachorde so, wie es durch die hinzugefügte Beschreibung gezeigt wird. 4) Enharmonisches Geschlecht 48 -H 6 + 6 = 60 2) Weich-chromatisches Geschlecht 44 + 8.4-8 = 60 3) Hemiolisch-chromatisches Geschlecht 42 4- 9 + 9 = 60 4) Tonisch-chromatisches Geschlecht 36-f-<2-|- 42 = 60 5) Weich-diatonisches Geschlecht 30-1-^8 + 42 = 60 6) Erregtes diatonisches Geschlecht 24 -f- «4 4- 42 = 60. Bo«tias. 4 4 IVl. Wie Aic^Ttu die Tetndiorie eintlieih nsd die BodmifaitBe doKlbeB. ArcbjUs, der Atlesin der BerecbooDR ZD begründen sacht«, ver- Dachlätisiftte nicht nur die Beobacblnog des Gebörssinnes bei den ersten Conflonaozen, Mndem er ffdgte bei Eintbeilong der Telracborde nur der Berechnung. Ja er machle es g<war so , dass weder er die Berechnar.;;. welche er erforschte, wirisam enlwidelle, noch auch die von ihm auf- geHteille Berechnong mit dnn Sinne nbereinsttmmte. Jener meint nim- lich, das§ es drei Geschlechter gäbe, das eDharmonische, chromaliscbe nnd dialoniKbe. In diesen bestimmt er Eovörder^ die (iefslen und böch- i4en Töne, ond zwar »elzl er in alles Geschlecblem die liefsten Tone in die Zahl 3016, die höchsten aber in die Zahl tSIS. Zwischen diesen Zahlen, behauptet er, liege die der tiersten Saile zunächst stehende Saite in der Zahl I94i und bewahre zu S016 die Proportion Sesqoivicesima Heptima (d. h. S7:28). Hierauf setzt er die zunächst liegende höhere Saite, also die dritte von der tiefsten an gerechnet, in das enharmonische Gemhlecht, und diese ist 1 §90, mit welcher 1 9i4 durch die Proportion Sew|nitricesima quinia (d. h. 35 : 36^ verbunden wird. 4 890 zur höch- sten Saile, also 1 51 1, behaupte die Proportion Sesquiquart (d. h. 4:5). Femer setzt er im diatonischen Geschlechte die Saite , welche von der llersten an gerechnet die drille, von der höchsten an gerechnet die zweite ist, in die Zahl 1701, zu welcher f9ti durch die Proportion Sesqui- seplima (d. h. 7:8) verbunden ist. 1701 zur höchsten Saite tStS liegt in der Proportion Sesquioctav (d. b. 8 ; 9) . Im chromatischen Geschlecht aber slollt er die Ansiebt auf, dass die Saite, welche von der tiefsten an ge- rechnet die drille und von der höchsten an gerechnet die zweite ist , zu 170t, welche Zahl im diatonischen Geschlecht« die dritte Saite von der tiefsten au gerechnet bezeichnet, dieselbe Proportion ei^ebe, wie 356 : 143. Diese Saite ist 179!, welche die zweite von der höchsten an gerech- net ist. Es hat also die zweite Saile im diatonischen Gesclilechte von der höchsten Saite aus gerechnet, d. h. 1 701 , zu der zweiten Saite im chro- matischen Geschlecht von der höchsten ausgerechnet, d. h. 179!, die- selbe Proportion wie 243 zu S56. Die Gestalt dieser eingetbeilten Te- trachorde nach der Meinung des Archylas zeigt das nachfolgende Schema. i) finbarmoDisches Geschlecht j 15)8 I89D 19*4 I ä0<6 3j Diatoaiscbes Geschlecht 45IS no4 19*4 S0(6 3) Chromatisches Geschlecht lets 1793 194t 2016 XV!I. ^ ^ Tis Ftolem&ne die TetracbordeintiieiltuigeD des AristoieiinB und Archytss tadelt. Ptoletnäas tadelt aber beide TetrachordeintheilungeD auf folgende Weise. Vor allen Dingen tadelt er den Archytas, weil er die zweile Saite von der höchslen an gerechnet, also 1 792, im chromaliscben Geschiechl so aufstellte, dass sie weder zur höchsten =:: 1 51 3, noch zu ihrer nächst tieferen ^ 1 944 irgend eine übertheilige Proportion bewirkt , da doch Archytas eine so grosse Achtung für die übertheiligen Verliällnisse hatte, dass er sie sogar bei Berechnung der Consonanzen aiirnalim. Ferner tadelt er ihn, weil der Sinn die erste Proportion von der tiefsten Saite an gerechnet im chromatischen Geschlechte für eine grössere erkennt, als sie Archytas angenommen hat, indem dieser im chromatischen Geschlechle 1 944 zu 201 G als Proportion Sesquivicesinia seplima (d. h. 27 : 28J auf- <rtel1te, hingegen es nach der gewöhnlichen Modulation des chromatischen Geschlechtes die Proportion Sesquivicesima prima [d. h. S1 : SS) sein müsste. Ferner ist die Proportion, welche das enharmonische Ge- schlecht als die erste nach der Eintheilung des Archytas enthalt, von der BeschaOenbeit, dass sie weit kleiner sein muss, als sie in den übrigen Geschlechtem gefunden wird. Dieser jedoch behauptete , dass sie ganz gleich sei mit den übrigen Geschlechtern , indem er die ersleo Propor- l...:mm.. 164 iionen in den drei Geschlechtßrn, von der iiefeten Saite an gerechnet, als Sesquivicesima septima-Proportionen (d. h. 27: 28] aufstellt. Den An- stoxenus hingegen beschuldigt er, weil er, im weichen chromatischen und im hemiolisch-chromatischen Geschlechte die ersten und zweiten Propor- tionen, von der tiefsten Saite an gerechnet, so aufgestellt hat , dass zwi- schen ihnen ein so geringer Abstand wäre, wie es der Sinn nicht unter- scheiden könnte. Das erste Verh'ältniss im weichen chromatischen Ge- schlechtist nämlich nach Aristoxenus 8 ; aber im hemiolisch-chromatischen 9. 8:9 stehen um die Differenz der Einheit aus einander. Der Ganzton besteht nur nach seiner Aufstellung oder vielmehr Vorstellung aus 24 Ein- heiten, von denen die Einheit der 2 iste Theil ist. Die ersten Proportio- nen, von der tiefsten Saite an gerechnet, des weichen chromatischen und hemiolisch-chromatischen Geschlechtes weichen also um den 2isten Theil des Ganztones von einander ab, was wegen der Geringfügigkeit der Diffe- renz auf keine Weise das Gehör empfindet. Derselbe tadelt auch den Aristoxenus , dass er vom diatonischen Geschlechte nur zwei Einthei- lungen gemacht habe, so dass er es in ein weiches und erregtes eintheilt, da auch noch andere Gattungen vom diatonischen Geschlecht gefunden werden könnten. xvm. Wie er sagt, dass die Eintheilnng der Tetrachorde gesohehen müsse. Ptolemäus theilt die Tetrachorde durch verschiedene Berechnung. Das stellt er zu Anfang auf, dass zwischen den beiden äussersten Tönen solche Stimmen angepasst werden, welche für sich in übertheiligen Pro- portionen hervortreten, und zwar in ungleichen, weil die übertheilige Proportion nicht in gleiche Theile zerlegt werden kann , so dass also die ganze Proportion der höchsten zur tiefsten Saite grösser ist als die drei anderen, welche in den übrigen Stimmen vorzunehmen sind. In diesen müssen die, welche wir dichte nennen, von der Beschaffenheit sein, dass die zwei Proportionen , welche der Tiefe zunächst liegen , kleiner sind , als die Proportion , welche nach der Höhe zu übrig bleibt ; in den nicht dichten aber wie in den diatonischen Geschlechtem findet eine üeberiheiligkeit statt (d. h. die beiden tiefem Proportionen sind zusam- men grösser, als die nach der Höhe zu übrigbleibende) . Sachliche Erkläraugeu. Boetius beginnt seine »Vorrede* mit allgemeinen Betrachtungen über Wabmebmung und Erkenntniss der Dinge. Die Sinne sind oacb seiner Ansiebt allerdings dem Heascben verlieben , damit sie den Geist auf die ausser ihm liegenden Gegen- stände hinrühren ; sie vennögen aber nicht allein ein vollgültiges Urtheil zu erzielen, welches erst durch umlassende VerstandesthUligkeit ge- wonnen werden kann. Von den Sinnen, welche zur Aufnahme von sinnlich wahrnehmbaren Dingen geschickt sind , nennt er zunächst den Geaichlssinn, bei dessen Erwähnung er unbestreitbar auf die Pbtonische Analyse des oSchens« hindeutet , welche sich im »Timaeus« Cap. 16') vorfindet. Plato sagt au der bezeichneten Stelle, dass die Gülter zuerst in dem Umfange des Kopfes nach Anbringung des Gesichts die »Werk- zeuge « befestigt halten, welche für die gesanuute UeberlegungsthHligkeil der Seele dienen sollten .... und zwar zunächst die Leiter des Lichtes, die » Augen tr.... »Sobald Tageslicht mit der Stri»nung des Seh- sb^la in Verbindung trat,« sagt Plato, »da bildete sich, indem Gleich- artiges zu Gleichartigem ausströmte und ein Zusammengesetztes wurde, ein einziger verwandter Körper in der geraden Richtung der Augen da, wo nur das von innen SIrämende dem, was von aussen hinzukam, ent- gegentrat. Dieser war nun in Folge der ähnlichen Beschaffenheit ganz und gar für gleiche Eindrucke empränglich und verursachte bei jedem Gegenstände, mit dem er in Berührung kam und der mit ihm in eine gewisse Verbindung trat, — indem die entstandene Bewegung den ganzen Körper bis zur Seele durchzog, — die Empfindung, durch welcbe man behauptet zu sehen. « Ebenso deuten die Ansichten de« t) Plato, Timaeus oap. IS (45 Bj Si& irp&rav \iit «cpi tg t^( xEipoXi]« etc. 166 Boetius über den Gehörssinn auf die Meinungen Plato's hin, welcher nach den Theorien über den Gesichtssinn die Stimme und die Hörwerk- zeuge behandelt. Gleichwie Gott das Gesicht für die Menschen er- funden habe, damit sie die Umkreisungen der Vernunft am Himmel sähen und für die Umläufe des Denkens im eigenen Innern Gewinn zö- gen, so seien auch Stimme und Gehör zu demselben Zwecke Ge- schenke der Götter. »Denn sowohl die Rede ist zu eben diesem be- stimmt und trägt den grössten Theil dazu bei, als auch aUer Nutzen, den die Musik der Stimme dem Gehör gewährt , der Harmonie wegen gege- ben ist 1) . Die Harmonie aber , welche den Umkreisungen der Seele in uns verwandte Umläufe hat, scheint dem, welcher vernünftig mit den Musen Umgang pflegt , nicht zu einem vernunftlosen Vergnügen zu die- nen, sondern ist uns von den Musen als Helferin verheben worden , um den regelmässig gewordenen Umlauf der Seele in uns zur Ordnung und üebereinstimmung mit sich selbst zurückzuführen. Auch der Rhyth- mus wurde uns wegen der Unregelmässigkeit in uns und wegen des der Grazien bedürftigen menschlichen Wesens von den Göttern ver- liehen.« Da Boetius diese Piatonischen Theorien kannte, so wusste er auch , wie der griechische Weise die Phüosophie für das höchste Gut hielt und am meisten nach Erforschung der Wahrheit strebte. Da- her betont er als Eklektiker die scharfe , fachmännische Verstandes- thätigkeit , mit deren Anwendung erst nach geschehener Wahrnehmung das rechte Ziel zu erreichen sei. Bei der Musik müsse jedoch auch die Gemüthserregung beachtet werden, welche als Folge jener Kunst er- scheine ; sie übe aus diesem Grunde einen so grossen Einfluss aus , dem alle Lebensalter unterworfen wären, so dass wohlPlato sehr richtig sage, die Weltseele bestehe aus einer musikalischen Harmonie. Indem er nun Auszüge aus seinem Gewährsmanne bringt , die besonders auf die Kna- benerziehung und das Staatsleben hinzielen , stellt er zugleich die Be- hauptung auf, dass bei ganzen Nationen die Verwandtschaft ihrer Sitten mit den Tonweisen ganz deutlich ausgeprägt sei. Als schla- gendes Beispiel erwähnt er die Geten , welche bekanntlich nac^h Stra- bon's Bericht Frömmigkeit mit Abhärtung in ihren Sitten vereinigten und deren Neigung zu den kräftigen Tonweisen besonders charakteri- stisch war. Gemäss der Lehre des Plato dürfe man daher bei der Knabenerziehung nicht alle Tonweisen in Anwendung bringen , sondern nur die kräftigen und einfachen, damit die Jugend zum tüchtigen Staats- 4 ) 8aov T*a& (Jiouatxtjc cpcovijj ^^atjiov Tcpöc blxoi^v, Ivexa dpfxovCotc i^ &o^iv. 167 bürgerthum erzogen werde. Boetius giebt dabei nio.lil hesliinmt aa, welche Tooarten und Welsen der griechische Philosoph hauptsächlich empfiehlt ; er beschrankt sich in seinen Bemerkungen auf die allgemeine ethische Bedeutung, aus deren Beschaffenheit man jedoch die Stolle zu entdecken vermag, die ihm als Unterlage diente. Plato entwickelt namlichode republ.oIII, p. 398 das Ethos der Tonarlcn, welche bei Be- trachtung des vierten Buches von uns genauer erörtert werden sollen ; er empfiehlt auch besonders die dorische Tonart als eine für den grie- chischen Geist und das Staatswesen ganz geeignetes hiirmonisches Sy- stem '). Wie Plalo gegen den Verfall der Sitten zum .Sp^po des Staats- iebeos ankämpfte, so auch der von Boetius cilirte giii< IipmIic Philosoph Arisloteles, dessen Anschauungen über das Wesen ilii Mu-ik u od über dieselbe als Erziehungsmittet dem lateinischen Ektekliki.'i- voDsländlij be- kannt waren. Besonders hatte Boetius jedenfalls die Stellen im Sinne, welche sich in der "Politiko des Aristoteles VIII. B,, 3. u. ü. Cap. vorfin- den, wo derBegründer der Logik auch die Frage aufwirft uWozu lernt man Musik?« und darauf antwortet : nJetzl treibt man sie füst blos zum Ver- gnügeo. Die Alten aber übten sie im ernsthaften Studium und be- tracbteten sie als wesentliches Erziehungsmittel , well sie deo Itlenschen aicht blos zur Geschicklichkeit an GeschäTten, sondern auch dazu bilden wollten, dass er mit Anstand geschäfllos sein könnte . . . In den uns von den Alten überiieferten Erziehungsmethoden Ue;;t tum eio Zougniss dafür, dass es Dinge giebt, die man um ihrer selbst wIIIimi lehren und lernen muss. Dahin gehört offenbar die Husik. n Unsere Frage ist nun : Soll die Musik einen Theil der Krzieliuug ausmachen oder nicht? und welcher unter den drei Endzwecken — Bildung des Geistes, luftiger Zeitvertreib und anständige Besclififligung — ist eigentlich der, den das Musikleraen hervorbringt? Am ver- nünftigsten scheint es, die Musik zu allen drei Classeu zugleich zu rech- nen und anzunehmen, dass sie von jedem dieser drei Endzwecke etwas erreicht. Sie kann allerdings als Zeitvertreib , als Kurzweil betrachtet werden- Denn was ist dieses anders als Erholung, als Ausruhen nach der Arbeit? Sie soll ein angenehmes Hellmittel des SL-Iimerze.-; sein, den angestrengte Arbeit verursacht hatte. Auch zui- anstiindigen und angenehmen Beschäftigung in Stunden der Müsse eiguet sich die Musik, Wer giebt nicht zu, dass Instrumental- imd Gesangsmusik zu den an- t] Lachea, p. ISS D. ^ J 168 genehmsten Dingen gehört. So sagt schon Musaeus: Süss ist den Sterblichen melodischer Gesang. » Daher wird bei allen fröhlichen Zusammenkünften die Musik als das Mittel, Freude zu erwecken, herbeigerufen. Schon dies allein, sollte man glauben , gäbe der Musik ein Recht , in die Erziehung der Jugend aufgenommen zu werden. Denn alles Angenehme, was zugleich unschädlich Ist, muss man sich eigen machen , da es zu zwei Verhältnissen passt, zu dem letzten Ziele des Menschen und zur Erholung auf dem Wege zu diesem Ziele. Nur selten glückt es den Menschen, das Ziel zu erreichen. Aber s^r oft müssen sie im Streben darnach ausruhen. Es wird also gut sein , zu solchen Erholungen ein so anständiges Mittel , wie die Musik, bereit zu hab^ä. Die Musik ist nicht nur zum Zeitvertreib, sondern auch zur wirklichen Erholung und zur Ersetzung der Kräfte nach mühsamer Arbeit nützlich. Doch viel- leicht ergiebt sich bei näherer Untersuchung, dass dies nur ein zurälliger Nebenerfolg, aber ihre wesentliche Natur edler, ihr Endzweck von höherer Art ist. Vielleicht ist es nicht genug, des allgemeinen Vergnü- gens durch sie theilhaftig zu werden , das alle Menschen bei ihr empfin- den ; ein Vergnügen, das körperlicher Art und deswegen bei aller Ver- schiedenheit des Alters und der Charaktere da^lbe ist. Wir müssen sehen, ob sie nicht auch auf die Seele Einfluss haben und auf den Cha- rakter wirken könne. Die Erfahrung kann dies am besten entscheiden. Es kommt darauf an , ob Menschen durch die Musik niemals in ihrem Charakter anders geworden sind , als sie vorher waren. Dies müssen wir offenbar bejahen. Von mehreren Arten der Musik, insbesondere von den Gesängen des Olympus^) ist es bekannt. Letztere erwecken 4) Es ist dieser alte Olympus derselbe, welchen Plutarcb Cap. U (nach Westphal Cap. 8) erwähnt; hier wird von ihm gesagt, Aristoxenus habe ihn für den Erfinder des enharmonischen Klanggeschlechts gehalten, weil vor ihm Alles diatonisch und chromatisch gewesen sei. Aristoxenus tbeilt ferner die Entstehung des enharmonischen Geschlechts in folgender Weise mit: „Olympus habe das Melos oft zur diatonischen Parhypate, bald von der Paramese, bald von der Mese aus hingeführt und die Schönheit des aus solcher Führung entstandenen melodischen Charakters bewundert, wenn er nämlich die diatonische Lichanos unberührt Hess Die diatonische Li- chanos ist z. B. im Tetrachord e-f-g-a der Ton g, im chromatischen Ge- schlecht wird sie um einen chromatischen Halbton tiefer bewegt» also nach ges, und im enharmonischen Geschlecht tritt sie an die Steile der Parhypate, repräsentlrt mithin den Klang f, während die Parhypate eine Diesis im Aristoxenischen Sinne, d. h. ein Viertelstonintervall abwärts steigt. Wenn Dach Aller Geständniss einen gewissen EnthuGiasmus in der Seele. EnlbuGiastnus ist aber doch eine Hodification des Sittlichen, oiler dessen, was zum Charakter gehört. Ferner , wenn der blosse ii<i(^ih»liaiende Aasdruck der Rede , ohne Rhythmus und Melodie , uns zu einer Mit- empfindung bringen, uns in den vorgestellten Zustand versetzen kann; wie vieknehr wird die Musik dies zu bewirken vermögen ! Es ist über- haupl eine Eigenschaft der Musik, dass sie Vei^ügen macht. Die Mora- U(3t aber hat besonders das Mass der Lust und die enl.slehenden Nei- gungen der Liebe wie des Hasses zu bestimmen und auf die gehörigen Gegenstände zu lenken. Daher ist kein Sludium wichtiger als da», was den Menschen in den Stand setzt, über das Angenehme und Unange- oehme richtig zu urtheilen und besonders an guten Charakttjrziigen, so wie an edlen Handlungen Wohlgefallen zu finden. Es gieb) aber ausser der Natur nichts , worin Zorn und Sanftmuth , Tapl'erkcil , JUässigung und aUe andern moralischen Eigenschaften nebst ihrem Enti^ege »gesetz- ten sich so deutlich und ähnlich abbildeten, als Gesang und ithjthmus. Die Erfahrung beweist es. Aendert sich doch die ganze iSIimmung des Gemiiths, wenn man verschiedene Arten der Musik hörl. Das Ver- gnügen oder Hissver^ügen aber, das man aus der .\ebnlichkeit einer Darstellung mit ihrem Original schöpft , konmit demjenigen sehr nahe, was dieses selbst erregt. Ueberdies findet in andern sinnlichen Dar- stellungen das Sittliche weniger Ausdruck als in den musikalischen. Farben und Gestalten enUialten nicht sowotü ^en Ausdruck des Sitl- licben, sondern sind vielmehr nur Zeichen desselben , luii der beobach- teten sielen Verbindung willen. Solche Zeichen der Seele im Körperlichen Olympus also seine Melodie so aoordnele, dass sie sieb ouF ilen lüiien e-I-a hieli, {vielleicht in der recht wohlklingenden Melodictoiini'! h-a-f-e), so vermied er gemttss der Angabe des Plularcb den chBrokleristiscbeij klang des diatoniscben Geschlechts, nSmlicb die Licbanos «^ g. den chmekleriitti- scfaen Klang des chromatischen Geschlechts, d. b. die chronialii^utia Licbanos ^ ges, und die in folge der Bewegung des Klanges Llcbeno^ entslandeiic en- taarmoDische Parhypate = fes*, mithin wer das alte en ba rm oniäc he Ge schlecht des Olympus ganz verschieden von den drei spateren Klang^jescLIecblcrn, dem dlalODiscben e-f-g-a, chromatischen e-f-ges-a und enbarmonischen e-fes*-f-a. Nur ist die Frage, oh unler der Paramese der Klang h oder die alte Paramese ^ b, «elcbe spater Trite synemmenon hiess, gemeiol ist. Weiterhin sjirieht Platai'ch von dem Intervall a-b, welches bei den arcbaiscben Auleten nii:ht dnrcb den Vierlelston gethellt werde. Es kann sich diese Erörterung aber auch nur als Beispiel auf das Telrachord synemroenon heiieben, in vt^lthcni sich die Auleten DBoh archaischer Weise ebenso wie Olympus hei Anwenduug des Telracbords bewegten, (d. h. mit Auslassung der Licbanos) z. I>. a-b-<1 ' 170 zeigen sich in allen Leidenschaften. Was aber die Musik betrifft, so ist wohl ganz oifenbar , dass in den Tönen und ihrer Verbindung ein Aus- druck vieler sittlicher Eigenschaften liegt. Alle Hauptunterschiede be- züglich der moralischen Zustände finden sich wesentlich in den ver- schiedenen Gattungen der Musik , daher auch die Zuhörer von jeder in andere Gemüthsstimmung versetzt werden. Bei gewissen Tonarten, z. B. der mixolydischen, werden wir zur Traurigkeit gestimmt: durch andere zu einer gewissen Erschlaffung und Gleichgültigkeit ; noch an- dere , hauptsächlich die dorische , entfernen uns von beiden Extremen und bringen uns in eine mittlere ,^ ruhige Fassung. Die phrygische Ton- art begeistert zu einer raschen, heftigen Thätigkeit. Alle diese Unter- schiede sind von denen sehr richtig bemerkt worden , die über diesen Zweig der Erziehung philosophirt haben , und sie berufen sich dabei auf Thatsachen. Ebenso verhält es sich mit dem Rhythmus. Manche Rhythmen oder Tactarten stimmen zur Ruhe , andere treiben zur Bewe- gung an. Von den letzteren reizen einige zu heftigen, ausgelassenen, andere zu sanften , anständigen Bewegungen. Ist nun die Musik, welche Melodie und Rhythmus in sich vereinigt, fähig, dem moralischen Theil der Seele gewisse Eigenschaften einzuprägen , so muss auch unstreitig der Unterricht in derselben als ein Stück der Erziehung der Jugend an- gesehen werden. Dazu kommt, dass dieser Unterricht zur Natur des jugendlichen Alters vollkommen passt. Denn mit nichts beschäftigt sich di^ Jugend gern, was nicht mit Vergnügen gewürzt ist. Und diese Würze ist keinem Unterrichte so natürlich, als dem in der Musik. End- lich scheint zwischen der Natur der Seele und zwischen der Natur der Harmonien und Rhythmen eine Verwandtschaft zu sein, daher auch viele Philosophen von der Seele behauptet haben , dass sie entweder selbst Harmonie sei, oder dass sie Harmonie in sich enthalte.« Nach diesen Hinweisen belegt Boetius seine Excerpte mit historischen Thatsachen und erzählt uns, dass Zucht, Ehrbarkeit und Sitte in der Ton- kunst von dem berühmten spartanischen Musiklehrer Thaletasaus Gortyna stets aufrecht erhalten worden sei, als dieser die Knaben in der Musik für hohe Preise unterrichtete , wodurch aufs Neue die Rich- tigkeit der Forschungen bestätigt wird, dass man im Alterthum den Musikunterricht bereits zu Erwerbszwecken , wenn auch hauptsächlich im Dienste des Staates, benutzte. Ein solcher Fädagog wie Thaletas^), 4) Vgl. Plut. de muslca cap. 40 (Westphal cap. 7), ferner Athen. 45, p. «78 C; ed. Tauchnitz Tom. 4, pag. 423. Tbatetas von Gortyna gehört auch zu den Begründern der zweiten musischen Katastasis ; denn Plutarch erztthlt : 171 welcher nach dem gewichtigen Zeugnisse des Plutarch und des Po-- lymnastus^) aus Gortyna oder Gortys, der bedeutenden am Lethäus gelegenen, schon von Homer mit »mauern- und burgenreich « 2) bezeich- neten Stadt Creta's, stammte und nach der gewöhnlichen Annahme inner- halb des Zeitraums von 647 und 586 v. Chr. thätig war 3), musste natürlich auf die Jugend den grössten Einfluss ausüben , da er musika- lische Kenntnisse und Fertigkeiten mit philosophischem Ernst und wis- senschaftlicher Bildung vereinigte. Als Gegenstück ist Timotheus aus Milet genannt, dessen Abschweifungen vom classischen Geiste der Ton- kunst und sinnbethörende Neuerungen auf die Knabenherzen, ja über- haupt auf die Gemüther verderblich einwirkten, und somit als staatsgefährlich beseitigt werden mussten. Deshalb verbannten ihn die Lacedämonier und verhängten über ihn den auf Seite 4 im dorischen Dialect angeführten Senatsbeschluss, welchen wir zum bessern Verstand-^ niss hier im attischen Dialect und in deutscher Uebersetzung mittheilen : 'EirsiBi^ Ti|xo&eo(; o MtXi^aio? TrapaYiYVOfievoc e?? n^v Tjixexepav •iToXtv TT^v TuaXatav [xoooav TQTip.aCe xal n^v 6ia täv kirza j(op8a)v x(&a- ptv aitoatpecpofjLevo? TroXocpajviav sJaay^^ Xü|xa(veTai t«? axoa«; täv vicDv xat 8ta xr^^ 7roXo)fop8(a<; xal t^? xsvottjto«; too {xiXoü(; a^sv^ xal tcoixCXyjv avtl cli^zXr^^ xal TstaYfievr^? afAcptivvotat tt^v [xoooav iid X?^" [ULTO^ oovioTafJLSvo; TT^v TOO [jieXoo<; Siaoxsor^v avtl Tr^^ Ivapfxovfoo irpoc T^v avTtoTpocpov a|xoipT]v, TuapaxXYjöeU 8e xal eJ? TovaYtt>vaTr^<;*EXeü- aivta<; AT^fAr^Tpo? airpeTc^ 8tsaxeüaoaTO n^v too [xo&oo 8taox£üiQV tqv t^? ^\iiXT^<; o8ov7]; oüx Iv8ixa too? vioo; 8i8aoxst 8£8ox&at • scpT] [seil, o ßfifjLo?] itepl TooTotv TOO? ßaoiXia? xal too; dcpopou; |X£|xtj;aa&at Tt|x6- Die erste Feststellung der musischeD Kunstnormeu ist in Sparta geschehen und zwar durch Terpander. Die zweite ist vorzugsweise auf folgende Meister zurückzuführen : Thaletas von Gortyna, Xenodamus von Cythera, Xenocritus den Lokrer, Polymnastus den Kolophonier und Sakadas den Argiver .... Thaletas , Xenodamus, Xenocritus und deren Nachfolger waren Coroponisten von Päanen ; Polymnastus und seine Nachfolger waren Componisten der söge- naonten Orthioi ; Sakadas und seine Nachfolger waren Componisten vonElegien. 4) Paus. 4, 44, 8. ed. Schubart Vol. I, Seite 34. dlV 6 [tks Knc&sioc etc. %) Tet^iieoaa, vergl. II. 2, 646. Od. 8, 293 : latt hi tk; Xtao^ etc. 3) Plutarch hält ihn nach dem Zeugnisse des Glaucus für älter als Xeno- critus und sagt, dass er nach Archilochus gelebt habe. Vgl. Plut. c. 4 gegen das Ende hin. Man wird nicht irren, wenn man die Lebenszeit des Archilo- chus in das 8. Jahrhundert versetzt, da derselbe nach Glaucus bei Plut. jünger als Terpander war und dieser als Schöpfer der alten Kitharodik nicht später als ungefähr 800 v. Chr. gewirkt haben kann. Vgl. Plut. c. 4. J 172 Oeov, teavaYxaoat 8e xal täv IvSexa jjopBoiv ixtafiovra; tac Trepltau- xa^, u«oXi7ro|xivoo< Toic iirra, otccdc Sxaaroc to t^^ iroXsco^ ßapoc opwv suXaß^xat eU tiqv 2icapt7]v iiricpipelv tt xcuv p.iQ xaXcov ovtcov^ {xi^ icors TapaTTT]Tat xXioc aYcovtov. » Sintemal Timotheus aus Milet, eingewandert in unsern Staat, die von Alters ber gültige Musik verachtete und durch Abschaffung der sie*- bensaitigen Kithar und Einführung der Yielstimmigkeit das Gehör der Jünglinge verderbt und weil er durch die Saitenmenge und durch die Schlechtigkeit seiner neuen Harmonie die einfache und wohlgeordnete Musik umgewandelt zu einer unedlen und verworrenen , indem er die harmonische Ausschmückung ins chromatische Geschlecht versetzt an Stelle des enharmonischen ^) zu gegenseitiger Abwechselung , ferner in Anbetracht, dass er, berufen zum Wettkampf dereleusinischen Demeter, die Darstellung der Göttersage — nämlich der Geburtsschmerzen Se- mele's — ins Unschickliche hineingezogen hat und die Jünglinge Unge- bührliches zu glauben lehrt: deshalb beauftragte das Volk die Könige und die Ephoren , den Timotheus zu rügen und zu verbannen , sowie von den elf Saiten die überflüssigen herauszuschneiden und nur die sie- ben alten übrig zu lassen , damit Jeder im Hinblick auf die Würde des Staates sich scheue , etwas Ungebührliches in Sparta einzuführen , und damit der Ruhm der Wettkämpfe nicht im Mindesten geschmälert werde.« Mit den Angaben des Boetius über den vielberüchtigten Timotheus aus MUet sind die im Plutarch enthaltenen Verse zu vergleichen, welche der geistvolle RudolfWestphal^) in so treffender, charakteristischer Weise ins Deutsche übertragen hat. Plutarch erzählt nämlich, dass der Komiker Pherecrates die Musik als Frauenrolle personificirt, mit Spuren der Misshandlung am ganzen Leibe auf die Bühne gebracht und die Gerechtigkeit nach der Ursache dieser Schmach sich erkundigen lässt ; darauf antwortet nach des Dichters Anordnung die Musik : » Nicht red' ich ungern, denn zu reden trägt mein Herz Verlangen, wie das deine sich zu hören sehnt. Von meinen Unglücksbringern war Melanippides Der erste, denn er fasste mich und schwächte mich Und machte durch der Saiten zwölf mich windelweich. 1) Hier ist wohl das erwähnte alte eDbarmonische Geschlecht des lym - pus gemeint, welches keine Diesis im Aristoxenischen Sinne besass. 2) Vgl. R. Westphal, Plutarch über die Musik. (Verlag von F. E. C. Leuckart: Constantin Sander.) S. 54. 173 Ich darf jedoch trotzdem mit ihm zufrieden sein, Gedenk' ich meiner gegenwäiiigeD grossen Noth. Darauf hat Kinesias, der verfluchte Attiker, Mit seinen unharmonischen Strophen Windungen Hieb so geschändet, dass wie einst im Kriegesheer, So auch in seinen Dithyrambenpoeeien Zur rechten Hand sich seine linke Seite zeigt. Doch zu ertragen war mir selbst noch dieser Mann. Auch Phrynis hat durch Drehen, wie man Kreisel dreht, Und Biegen mich zu Grund gerichtet ganz und gar, Darstellend auf zwölf Saiten seine Harmonien. Doch auch mit diesem könnt' ich noch zufrieden sein. Denn was er fehlte, macht' er später wieder gut. Jetzt aber hat Timoth«iis aufs Schmählichste Mich niinirt, o Freundin !o — »Was für ein Timotheus ist dies?« — »Der Rothkopf aus Milet.« — lAuch dieser hat misshandelt dich?« — »Er üborlriOl Weit alle andern, singt Ameisenkribbeleien, Ganz unerhört vernichte, unharmonische. In hohen Tönen nach der Piekelpfeifen Art, Und hat mich gänzlich kurz und klein wie Kohl zerhackt Und angefüllt mit üblen Ingredienzien. Und als ich einst allein ging, übermannt' er mich, Entblösste mich und band mich mit zwölf Saiten fest.« Nachdem Timotheus als der Sittenverd erber hingestellt worden ist, tritt die ehrwürdige Gestall des Pythagoras (geb. swischen 580 und 568 V. Chr.) hervor, welcher inmitten wissenschaftlicher Forschungen die Gewalt der Musik zu guten Thaten anwendet. Er besänftigt in pas- senderWeise einen eifersüchtigen Jüngling, beruhigt mehrere berauschte, durch Flötenspiel aufgeregte junge Männer, welche in Folge seiner An- ordnung durch spondeisch gegliederte Melodien zur gesetzten Stim- mung und massvollen Haltung zurückgeführt werden. Die Wirkung der spondeischen Lieder ist hier von Boetius gewiss nicht in übertriebener Weise geschildert, da ja selbst dieGebildetsten der modernsten Zeitdurch Choräle, welche im spondeischen Rhythmus erklingen , Gemüthsruhe, Erhebung und edle Denkart erlangen. Etwas Fabelhaftes könnte da- gegen vielleicht in den Erzählungen von Terpander und Arion gefunden werden. Terpander war bekaanllich der berühmte Verbesserer der Kithar, Virtuos und Componist der Nomoi. Durch seine glänzenden 174 Eigenschaften mag er jedenfalls eine ausserordentliche Macht auf den psychischen Zustand seiner Hörer ausgeübt und körperlich Leidende so ergötzt haben, dass sie bei dem Genuss der herrlichen Kitharodik ihre Schmerzen vergassen. Von seiner historischen Bedeutung giebt uns Plu- tarch einen noch genaueren Bericht als Boetius und über seine Compo- sitionstechnik erfahren wir durch ein Gitat des griechischen Autors aus Heraclides, dass Terpander als Gomponist kitharodischer Nomoi seinen eigenen oder Homers He^Lametern für jeden einzelnen Nomos Me- lodien hinzugefügt und dieselben in den Agonen gesungen habe. »Terpan- der (heisst es weiter bei Heraclid) sei auch der erste gewesen, weicherden einzelnen kitharodischen Nomen bestimmte Namen gab . Die kitharodischen Nomoi wurden viel früher als die aulodischen durch Terpander festgestellt; er war der erste, welcher die kitharodischen zuerst mit besonderen Na- men benannte : Nomos Boiotios und Aiolios, Trochaios und Oxys, Kepion und Terpandreios ; auch hiess ein Nomos Tetraiodios. Ferner sind kitha- rodische Prooimien von Terpander componirt. Dass die alten kitharodi- schen Nomoi aus Hexametern bestanden, davon legt Timotheus einen Be- weis ab. Seine ersten Nomoi trug er nämlich so vor, dass er dithyram- bische Phraseologie und episches Metrum vereinte, um nicht gleich Anfangs als Uebertreter der alten musischen Kunstnormen zu erscheinen.« lieber das Zeitalter des Terpander hat R. Westphal die eingehendsten und scharfsinnigsten Forschungen angestellt , welche zu dem Resultate führ- ten, dass man ungefähr das Jahr 800 als die Zeit seiner Wirksamkeit annehmen dürfe ^) , da er ja nach Plutarch »älter als Archilochus« war. Der von Boetius neben Terpander genannte Arion aus Methymna, der nördlichsten Stadt auf der Insel Lesbos, gehörte wahrscheinlich zur Schule Terpanders ^) , des lesbischen Sängers aus Antissa , während er in der Dichtkunst als Schüler Alcmans bezeichnet wird. Seine Lieder sang er etwa in den Jahren von 628 — 585 v. Chr. und seine Bedeutung knüpft sich besonders an die von ihm erfundene Anordnung, dass er den Dithy- rambos, das bakchische Festlied, kunstvoll ausbildete und ihn durch Chöre , die sich im Kreise um den Altar bewegten , vortragen liess *) . Weniger wichtig ist der angeführte Thebaner Ismenias, Schüler des Antigonides, welcher zur Zeit Alexanders d. Gr. die Flöte in virtuo- ser Weise blies und jedenfalls durch gefällige Melodien sich beliebt und 4) Vgl. Plutarch, de musica cap. 8—6, u. R. WestpharsUebertragungS. 86. 5) Plehn, Lesbiacorum über, caput quintum, pag. 46ft: »Scholae Terpan- dri etiam Arionem Methymnaeum etc.«. 8} Daher k> kusche Chöre (%6xXtot ^opoi) . 175 nützlich mscbte, auch woht durch den Vortrag tänzelnder fibythmen die Tanzlust erregte und daher aus müden Beinen den Schmerz bannte, wo- gegen Etnpedocles (490 v. Chr.) als musikalischer Philosoph, welcher die ionische Phy^iik, eleatische Metaphysik und pythagoreische Harmonik zu combiniren suchte , als bedeutsame Persönlichkeit in der Kunstge- schichte hervortritt. Seine Handlungsweise gegenüber dem wüthenden Jüngling bestätigt die Gewalt der Musik und des ernsten Ithytbmus , als dessen Grundelemente die Bewegungen des menschlichen Körpers gellen mjissen. Wie diese selbst mit dem inneren Menschen im Zusammen- hange stehen , beweist nach der Ansicht des Boetius der Zustand des Democrilus (geb. zwischen 470 und 460 v. Chr.) , des nach der Sage •stets lachendeno '] Philosophen , der ab Ziel aller Erkenntnis; die Ge- müthsruhe annahm und in der Ethik , Physik , Naturgeschichte , Mathe- matik, Technik, Musik wohl erfahren war. Hippocrates (470), der wissen- schaftliche Begründer der Medicin , hörte von dem für wahnsinnig ge- haltenen Philosophen, dass die Herzschläge mit den Bewegungen des Körpers gleiches Tempo ionehielten, was jedoch \or der neueren medi- cinischen Wissenschaft kaum als Wahrheit bestehen dürfte. Jene Erzählungen in der Vorrede sollen nur die Behauptung be- gründen , dass alle Menschen trotz der Verschiedenheit in Charakter, Gewohnheiten und Neigungen in der Liebe zur Musik übereinstimmen müssten, so dass kein Alter und Geschlecht eine Ausnahme mache. Da- bei berührt Boetius die Kraft des Trostes, welche in der Tonkunst liege, wie man deutlich aus der Sitte Trauergesänge anzustimmen erkennen möge. Dm in Kürze das Hauptsächlichste anzuführen, wollen wir hier bemerken , dass man unter den Trauerliedern besonders die Wehklage oder den Olophyrmos, den lalemos und den Linos oder Ailinos unter- schied. Die »Wehklage« meint Athenäus^), hiess das Lied, welches bei Todesfällen, oder bei anderen traurigen Gelegenheiten gesungen wurde, lalemos war der Name eines Gesanges, welcben man während der Trauer anstimmte , wie Aescbylus^) , Euripides *) und Aristophanes , den Atbe- näus citirt, hinreichend bezeugen. Daher kommt das vom He.sychius gebrauchte Sprüchwort; »kläglicher oder frostiger , als ein lalemos« '') . 1) YcXaalvot. S) Allien. tt, c. 8, Sect. 10 (p. «t9 B). 5) Aeschylus Suppl. (DO 1^, t^! lT)XJ|M>t(>tv fj^itpcirij. *) Euripidea in Troad. 878 oto4, id>.e[ioi;, dU-w iti^flT]! etc. 6) Era.sm. Adag. chit. I, centur. lO, adag. Hfl ulalemo frigidlori) Bualer Anggabe vom Jahre 1St7, Seite 1 63. 176 Adrianus Juniiis führt ebenfalls das griechische Sprüchwort In etwas anderer Form an, wenn er von einer unglücklichen Sache bemerkt^ dass sie »werth sei , unter die lalemen gesetzt zu werden« ^) . Dies gründet sich auf eine Stelle des komischen Dichters Menander, welcher meint : »Wenn ein Liebhaber nicht Kühnheit besitzt , so ist er ein unglücklicher Mensch; der unter die lalemen oder Klagelieder gehört. « — Ueber das griechische Lied Lines endlich schreibt Herodot^) Folgendes: »Die Aegypter haben das Lied Lines , welches in PhÖnicien , Cypern und an- deren Ländern berühmt ist , wo es nach der Verschiedenheit der Völker verschiedene Namen führt. Es ist ausgemacht , dass es eben das Lied s'ei, welches bei den Griechen unter dem Namen Lines gesungen wird . . . Uebrigens heisst der Lines bei den Aegyptern Maneros. Sie behaupten, dass Maneros der einzige Sohn ihres ersten Königs gewesen sei ; als ihn nun ein frühzeitiger Tod ihnen entrissen , so hätten sie seinem Gedächt- nisse zu Ehren diese Art von Trauerlied gesungen , welches also seinen Ursprung blos ihnen zu danken habe.« Der Text des Herodot beweist deutlich, dass der Lines ein Leichenlied gewesen ist. Sophocles^) redet von dem Liede Atlinos ganz in demselben Sinne. Später übertrug man die Form jenes Trauergesanges auch auf Lieder heiteren Inhalts, wie man aus den Worten des Euripides beim Athenäus *) ersieht. Desglei- chen erzählt PoUux ^), dass der Lines und Lityerses Lieder der Feldarbei- ter gewesen seien, woraus man in Anbetracht der verschiedenen Zeitalter jener Schriftsteller sicher schliessen darf, dass der Gebrauch und die Be- deutung des ursprünglichen Trauergesanges »Lines« Veränderungen erlitt. Solche Trauergesänge der angedeuteten Art hatte wohl Boetius im Sinne, wenn er den in seinen Schilderungen oft gekünstelten und schwül- stigen Dichter Papinius Statins (64 n. Chr.) citirt, zu dessen kurzer Beschreibung der Leichenbestattungsmusik die Herzensfreudigkeit, welche heitere Melodien und Tanzlieder bei den Menschen hervorbringen, als Gegensatz dient, wonach unser Autor im Schlusssatz den Gedanken noch einmal kurz zusammenfasst, dass die Musik ein Geschenk der Natur und somit vom Wesen des Menschen gar nicht zu trennen sei ; eine solche herrliche Gabe müsse man hochhalten und ausbilden, was nur durch 4 ) Hesychius sagt : laX£(jLou oiicTpÖTepoc und Adrianus Junius : eU toi^« iaXi- 2) Herod. 2, cap. 79 ; ed. Abicht, fBand I, S. 285. 3) Sophocies im Ajax, V 627 : alXivov, alXivov etc. 4) Athen. U, Sect. 40, pag. 619. 5) Poliox 4, cap. 4 ; ed. Francof. pag. 42. 177 wissenschaftliche Forschung und Erkenntniss geschehen könne. Zu die- ser sucht er durch seine Abhandlung beizutragen, welcher er in Cap. II die Aufzählung der Musik-Gattungen vorausschickt, indem er die Musik des Weltalls, die menschliche Musik d. h. den Gesang und die Instrumentalmusik unterscheidet. Die Musik des Weltalls definirt Boetius wieder nach Platonischer Anschauungsweise , indem er jedenfalls die im Timäus enthaltenen Erörterungen über die harmoni- schen Theile der Weltseele im Auge hatte und geradezu den Inhalt der Gedanken Plato's excerpirte. Besonders bezieht sich das hier im Steit Gapitel Gesagte auf die im 7ten und 8ten Gapitel des Timäus enthaltenen Theorien , in welchen der griechische Philosoph nach Entwickelung der vier Elemente Feuer , Wasser , Luft und Erde , die auch Boetius kurz erwähnt, die akustische Proportionalität auseinandersetzt. Dieselbe entspringt nach den leitenden Ideen aus der Theilung des Weltbildners, von welcher Plato sagt : »Zuerst nahm er einen Theil von dem Ganzen hinweg, darauf das Doppelte desselben, zum dritten das Anderthalbfache des Zweiten und Dreifache des Ersten , zum vierten das Doppelte des Zweifachen , zum fünften das Dreifache des Dritten , zum sechsten das Achtfache des Ersten, zum siebenten das Siebenundzwanzigfache des Ersten. Hierauf füllte er sowohl die zweifachen als dreifachen Zwischen- räume aus, indem er noch Theile von dort (d.h. vom Ganzen] abschnitt und in die Mitte zwischen diese setzte, so dass in jedem Zwischenräume zwei Mittelglieder sich befanden, von denen das eine um denselben Theil der äussersten Glieder diese übertraf und übertroffen wurde, das andere aber um das Gleiche der Zahl nach sie sowohl übertraf, als übertroffen wurde. Da aber Zwischenräume von 1 Y2 > * Vs "^^ ^ Vs d^^ch diese Verbindungsglieder in den vorigen Zwischenräumen entstanden waren, so füllte er mit dem Zwischenräume von \ Yg die Zwischenräume von \ Y3 aus, indem er von einem jeden derselben einen TheU übrig Hess, so dass dieser übrig gelassene Zwischenraum des TheUes rücksichtlich des Zablenverh'ältnisses die Glieder 256 zu SI43 hatte.« Wir haben in dieser Stelle Plato's den Grund aller musikalischen Proportionen, auf deren Wesen Boetius im weiteren Verlaufe ausführlich eingeht, wo er dasselbe, was bereits Plutarch ^) anführt, genauer betrachtet. Es liegt nämlich die Proportion 6:8 = 9:12 zu Grunde, und dem Texte nach würden für die dreifachen Abstände z. B. zwischen den Zahlen 3 und 9 die Mittel- 4) Plut. de mus. c. 22. BoettoB. 42 178 glieder in den Werthen ^l^ und 6 bestehen, mithin als Proportion 3 : — = 6 : 9 aufzustellen sein. Zur Ausfüllung der Zwischenräume 1 und ty \ und 3, t und 3 etc. kommen natürlich auch Brüche als 4 8 3 8 Mittelglieder vor; denn \ : j=y' 2 ; \ : -= 2:3; 2 : j= 3:4; 4:-^=6:8; 9:~=<8:27i). Da nun Plato die Verhältnisse 2 .: 4 , 3:2)4:3,9:8, 256 : 243 anführt, so hat er die Intervalle der Octav, Quinte , Quarte , des Ganztons und Halbtons , mithin den harmonischen Grund des Tonsystems mit der Weltseele in Verbindung gebracht , an welche Boetius in der beregten Stelle erinnert. Es wurde ja die ganze Pythagoreische und Platonische ZahlenphUosophie auf jene akustischen Verhältnisse zurückgeführt , in welche man aus Verehrung für die hohe ethische Bedeutung der Musik im Alterthume das Seelen- und Geistes- leben bannte^). Die Zahlen 4, 2, 3, 4 bildeten nämlich die Tetraktys der Pythagoreer ; sie enthielten die drei consonirenden Intervalle 2:1==: 4) Es ist hier an die arithmetische und harmonische Tbeilung der Octave zu denken , mit der mittleren arithmetischen und harmonischen Proportionale, von welcher Boeckh (Vergl. Boeckh, Studien von Daub und Creuzer, Band III, S. 57) die Formel aufstellte : M SS grösseres Glied m = kleineres Glied H = mittlere Proportionale d s Differenz der kleineren äusseren und mittleren D sss Differenz der mittleren und grösseren äusseren dH" Des Differenz der beiden äusseren Glieder. Dann ist: 4) m:dsM:D 1] mDs=Md 8) m-f M:d + D = m:d=:M:D 4) (m + M) d=:(d + D) m, oder (m + M) D= (d+D) M 5) (m-f-M)H«tmM (d + D)m 6) d== Ds 7} H = m + M (d-hD)M m + M >mM m+M . (d4-D)m ^ 8 H«m-4- ^ — . ,- und m + M m-4-M t) Vergl. R. Westphal, Griech. Rhythmik und Harmonik S. $4. 179 Octav, 3 : 2 = Qumt, 4 ; 3 = Quart. Jene vier Zahlen addirt i + 2 + 3 + 4 = 10 ergab die bedeutsame Pythagoreische Dekas. Hierzu noch die Zahlen 8 und 9, welche in ihrem Yerhältniss den Ganzton repräsentirten , hin zugenommen , giebt 1+2 + 3 + 4-|-8 + 9 = 27, welche sieben Zahlen die Heptas Plato's bilden, auf deren Ordnung oben hingedeutet wurde. Desgleichen hält sich Boetius an den Timäus, wenn er von den Jahreszeiten spricht , welche Stelle keiner Analyse bedarf. Auch sind schon die Ansichten des Aristoteles über die Gewalt der Ton- kunst angeführt , dessen Theorien unser Autor bei Angabe der Organi- sation des menschlichen Seelenlebens wieder berührt und hier besonders darauf hinweist , dass die Theile der Seele durch Harmonie verknüpft seien, daher die menschliche Musik, d. h. der Gesang, körperlich und unkörperlich (psychisch) in der Natur des Menschen hegen und sich auf dessen Empfindungen , mögen diese bewusst oder unbewusst sein, gründen müsse. In Bezug auf das Material unterscheidet sich vom Ge- sang die Instrumentalmusik , welche auf Saiten- , Blas- , Wasser- und Schlaginstrumenten ausgeübt wird. Die hauptsächlichsten Saitenin- strumente der Alten waren die Lyra und Eithara. Schon Drie- berg hat mit Recht darauf hingewiesen, dass man an manchen Stellen der griechischen Schriftsteller unter Lyra nicht ein Instrument , sondern musikalisches Grundsystem zu verstehen habe , welches nach und nach zu grösserer Vollkommenheit gelangte ; diese Bedeutung von Lyra ist auch bei der späteren Abhandlung des Boetius, wo er das Anwachsen der Saitenzahl historisch erläutert, sicherlich anzunehmen, während er hier an diesem Orte nur die Tonwerkzeuge als solche im Auge hat. Mit dem Namen Lyra wurden nun im Allgemeinen Saiteninstrumente mit freiliegenden Saiten bezeichnet; von diesen waren in der classischen Zeit des griechischen Alterthums die Kitharis und Kithara hauptsächlich im Gebrauch und man kann, nach den Stellen in den Schrift- stellern zu urtheUen, fast zuversichtlich annehmen, dass der Name »Lyra« meistentheils für das klemere , leicht tragbare Hausinstrument »Kitharis« galt, während man das im Agon figurirende, zum Preis-Singen gespielte grosse Instrument als »Kithara« bestimmt von jenem trennend aufführte. Die Terpandriden benutzten jedenfalls das mächtigere Saiteninstrument zum Wettkampfe, in welchem sie so oft vor der versammelten Griechen- menge ihre ruhmgekrönte Virtuosität offenbarten. Ohne Zweifel waren die Griechen im Instrumentenbau erfahren, und mit Sicherheit darf man die Meinung aussprechen, dass sie bei ihren frühzeitigen Beziehungen zu Aegypten , in welchem Lande selbst Pythagoras seine musikwissen- 180 schattlichen Kenntnisse bereichert haben soll, auch von den daselbst gebräuchlichen harfenartig gebauten, mit mächtigen Resonanzkörpern versehenen Saiteninstrumenten Kunde erhielten. Die Kithara der Grie- chen wird wohl an Grösse und Bedeutung den ägyptischen mindestens gleich gewesen und als Nationalinstrument mit der grössten Sorgfalt aku- stisch zubereitet worden sein, wie sich nach den subtilen Unterschieden der Klangfärbungen gewiss annehmen lässt. Mithin darf als kaum zu widerlegende Behauptung aufgestellt werden , dass die Abbildungen der Lyra des Apollo nur als Symbole zu betrachten sind , welche für die wirkhche Beschaffenheit des Instrumentes keine Norm abgeben. Dabei müssen wir noch erwähnen , wie sich das Beiwort »siebensaitige« oder »achtsaitige« Lyra, welches irrthünüicherweise für die Beschrei- bung der gesammten Saitenzahl genommen wurde , mit der complicir- teren Einrichtung des wahrscheinlich an Tonmitteln weit reicheren Sai- teninstruments vereinigen lässt. Offenbar bezieht sich nämlich jenes Attri- but nur auf das für die Lyra oder Kitharis und für die Kithara zu Grunde gelegte Tonsystem ; denn wollte man den auf viersaitiger oder siebensai- tiger Lyra spielenden Mercur oder den mit siebensaitiger Kithar plastisch geformten Apollo als Vorbilder der griechischen Virtuosen betrachten, welche sich etwa gleicher Instrumente bedient hätten , dann würde man auch, wie Drieberg richtig sagt, von den griechischen Frauen annehmen müssen, sie seien von zwei Sperlingen gezogen worden , weü Aphrodite mit zwei Sperlingen fahrend abgebildet erscheint. Auf die nach theoreti- schen Grundsätzen geregelte Gonstruction der Lyra weiterhin eingehend, bemerken wir hier nur zunächst das äussere Aussehen der beiden haupt- sächlichsten griechischen Saiteninstrumente. Bürette^) unterscheidet bereits beide Tonwerkzeuge mit Genauigkeit und keinenfalls darf man die Behauptung R. W e s t p h a Ts ^) anzweifeln, dass zwischen beiden Klang- körpern eine erweisliche Verschiedenheit bestanden habe. Die Kithara war sicherlich ein aus mehreren einzelnen Stücken zusammengesetztes Instrument, die beiden Hauptseiten desselben in der Form von zwei Ochsen- hörnem gegen einander gekrümmt, nach oben auswärts, nach unten ein- wärts gebogen, in der Mitte der Arm (ic>JX^^) » ^^® Saiten unten und oben durch Querstege (xaXa(i.oi und 8ovaxe<) gehalten, von denen einer i) Bürette, Dissert. sur la Symphonie des Anciens und a. a. 0.; die Schrif- ten dieses französischen Musikhistorikers sind verzeichnet in C. F. Becker^s mus. Literatur. 2) R. Westpha), Geschichte d. alten und mittele Iterl. Musik, Erste Abthei- lung pag. 87—96. 181 auf dem unl«n beresligleti hohlen Keso Hnnzbodeii {if/eiav) lag. Pollux ') neani den uateren Sl«g Hy polyrjon (ÖTcoXupwv) , Lucian^] aber Hagadion ([ji.ct'j'aStDv] , welcher das unlere Ende einer jeden Saile festhielt. Der obere Steg hatte verschiedene Löcher mit darin befesliglen Wirbeln (xoXXoTce;, xoXXaßoi) als Saitenbalter , welche durch einen Schlüssel (;(op8oTOVOv) oder Saitendreher zum Zweck des Herauf- oder Herabstimmens der Saiten herumgedreht werden konnten. — Die Lyra oder Kithans, bei Homer Phormiox, isl ein kleineres In- strument, dessen zwei Hauptseiten weniger auseinanderstanden; der Boden desselben glich einer Schildkrotenschale , au welche sich die so oll erzählte fabelhafte Erfindung durch Hercur knüpfen ISsst, worüber jede brauchbare Mythologie Auskunft ertheilt. Da nun der Boden rund war, so konnte die Lyra oder Kitharis nicht aufrecht gestellt, sondern inusst« mit den Knien gehallen werden. Auf die Stellen im Homer , wo Lyra , Kitharis und Phorminx zu identificiren sind , hat Weslphal mit scharfsinnigen Auseinandersetzungen hingewiesen ; doch dürfte die An- nahme, Terpander habe nur die Kitharis, nicht aber die Kithara gespielt, zu bezweifeln sein , weil unserer Ansicht nach der Unterschied beider Instrumente schon in den Fabeln von Hercur und Apollo angedeutel ist und wahrscheinlich die Verschiedenheit der Schallkörper bis fast zur Homerischen Zeit hinaufreicht. Terpander spielte jedenfalls sowohl auf der Phorminx als auch auf der Kithara, er konnte deshalb die Phorminx d. h. die Kitharis als sein Instrument bezeichnen, und Kapion, der Ter- pandrid« , führte wohl später eine Verbesserung der Kithara ein , ohne dass er den Anspruch zu erheben berechtigt war, als Erfinder des im AgoD gebräuchlichen Saiteninstruments zu gelten. Endlich sei noch bemerkt , dass sich in der auch von Westphat citirten Stelle des Ammo- nius unwiderlegbar der Unterschied von Kitharis und Kithara und die Identificirung der ersteren mit der Lyra durch Arisloxenus bestätigt fin- det^}. Gewiss ist ferner anzunehmen , dass die Chelys, wo sie in der Bedeutung von Saiteninstrument auftritt, gleichbedeutend mit der Kitha- ns erscheint und insbesondere mit der aus Schild krülenschale verfertigten t] Pollux ooomast. üb. *, c. »; ed. Franeof. pag. 187. 9) Lucian, DIaE. Deor. Apoll. etVulc. p. 13S; ed. J. Tit. I^limann pag. 17 .X(XtfcvT)v itou vcKpcn etc. 8) Ammoa. de difT. voc. p. Bl : xlftapt; xal tAdpa EiaftpEt, (pi]div 'ApiiriZe- vgf ti TijiicEpi ipY^^vou. Ktftapit ^äp £<mv i] Xüpa xat o! )ip(&|icvDt ain^ xt&aptaral ä 182 Lyra^). Aus der classischen Zeit Griechenlands sind uns mithin als Hauptinstrumente mit offenen Saiten überliefert : 1) Die Kitharis = Phorminx == Lyra = Chelys (kleineres In- strument), 2) die Rithara (für die Wettk'ämpfe gebrauchtes Instrument mit mächtigerem Klange] . Hieran schliessen sich die zwar in der classischen Zeit bekannten, aber besonders in der nachclassischen Zeit gespielten Instrumente an, zunächst Die M a g a d i s ; sie diente nach Ptolemäus und Boetius als Tonmesser zur Bestinamung der Intervalle, war aber auch ein von den Lydiern er- fundenes und später besonders in Mitylene gebräuchliches Saiteninstru- ment^) in dreieckiger Form, also harfenähnlich gebaut, das wohl zugleich den Namen Pektis führte^). Dasselbe war mit 20 Saiten bezogen, die im Tonverhältniss der Octave zu einander stimmten und welche der Vir- tuos mit beiden Händen in Vibration versetzte , indem er mit der Unken Hand die tieferen, mit der rechten jedoch die höheren Saiten berührte. Hiervon unterschied sich nach Boeckh derMagadisals Blasinstrument d. h. eine zur Magadis gespielte Flöte, welche zugleich einen hohen und tiefen Ton gab. Arten der Magadis sind a) Psalterion ^), b)Nabla^), c) Trigonon®), welches letztere der Beschreibung nach besonders der Harfe gleicht und ägyptischen oder lydisch-phrygischen Ursprungs ist. Es war mit vielen Saiten bespannt und daher äusserst tonreich. Zu derselben Gattung gehören die Instrumente, welche Pollux ohne genaue Unterscheidung in seinem Lexicon erwähnt '') , wir nennen zuerst das mit vielen Saiten bezogene Barbiton®], welches besonders auf der Insel Lesbos im Gebrauch war , daher von Horaz Lesboum genannt ^) ; 4) H. Hom. Merc. 33 ; ib. 25, 453; ed. Matthiae Lips. 4805 pag. 49, p. 48, wo bei dem 25ten Verse bemerkt ist: Vs. 25 e lemmate marginali ortus, jud. Ruhnk, u. pag. 60; Ath. 44, p. 647, 648 u. 627. 2] Athen. 44, p. 634. 3) Athen. 44, p. 635 A. B. 636 ff. 6 [td-^ahi^ s. Athen. 4, pag. 482 {jidfaSt; s= iraXaiofAcCYa^ic als Blasinstrument aufgeführt. 4) Apollod. bei Ath. 44, p. 636 F. 8 vöv if]pieu \i'(0[k&i ^aXTif)piov, toöt' elvat 5) Suidas sagt il^oXr/ipiov ^p^a^ov, 57rep %a\ vaßXa xaXeixai. 6) Tplfw^ov Arist. probl. 49, 23; Ath. 4, p. 175, 482, 483; vergl. auch Pto- lem. härm. 3, 7 ; Fiat. rep. 3, 399 C und D ; Arlst. pol. 8, cap. 6 und 7. 7) Pollux, (Frankfurter Ausgabe 4 608) pag. 4 86, 25 ff. 8) Theoer. 46, 45, als Dreisaiter erwähnt bei Athen. 4, p. 483 B. 9) Her. carm. 4, 4, 34. 183 aJs dessen Erfinder figuriren Alcäus*) , Terpander^), Anacreon''). Zu- gleich führte es den Namen Barmos^) oder Bary mit on^j, welche Be- zeichnung auf den gewichtigen Kleng hindeutet. Ferner die Sambuca, ausgestattet mit hohen Tönen , gebrauchlich bei den Parthern , Syrern und Troglodyten*], von welchem Instrume*»!« berichtet wird, dass es mit sehr kurzen Saiten bespannt gewesen sei '] , jedenfalls ein der mo- dernen Zither ähnliches Tonwerkzeug. Als eine Gattung desselben gilt das auch von Pol lux erwähnte Instrument Lyrophönikion*) ; gleicher Art mag das vom Atbenäus als phönizische Erfindung namhaft gemachte Saiteninstrument Phönix gewesen sein, während die Pandnra oder Panduris als ein dreisaitiges assyrisches Instrument angeführt ist ^] . Das EpigoniOD, vom Epigonus aus Ambracia erfunden, gehörte gleich- falls zur Gattung der Instrumente mit offenen Satten, deren Zahl auf 40 angegeben wird. Zugleich erzählt uns PoUux, der Erfinder habe sein In- strument ohne Plectrum gespielt 'O) ; dasSimikionoder Simikon, wel- ches 35 Saiten hatte, scheint, der betreffenden Angabe des erwähnten Schriftstellers nach zu urtheilen, ebenfalls ohne Plectrum tractirt worden zu sein, d. h. ohnedas nach Art einer Schreibfeder zugespitzte Instrument zum Anreissen der Saiten, wodurch diese einen schärferen Klang erhielten, als durch dasBerübren mit unbewaSneten Fingern. Wahrscheinlich existirlen schon von Alters her beide Spielweisen, wie aus Ovid hervorgeht, welcher vom Apoll bezüglich des Wettstreites mit Marsyas erwähnt, dass er bald mit den Fingern, bald mit dem elfenbeinernen Plectrum gespielt habe ^') . Endlich sei noch die oben angedeutete Aufzählung der Instrumente an- geführt, welche uns Pollux mittheilt , woraus man ersehen möchte, dass 1) Hör. carm. t,31, 4. t) Alben, ft, p. SSS D. 8) Atheo. 4, p. 475 E. t) ßäp[M< Athen. It, p. 616 C. 5) Pollux 4, c. 9. pag. 186 (ed. Francof.). Der lateinische IJebersetzer schreibt Baryinitum, er liest also ßapüpLixav und legt mithin die Zusammen- setzung ßap6( und [xlTDt zti Grunde , daher Starluaiter, ein Instrument mit ge- wichtigem Klange. Im griechischen Texte sieht jedoch ßap6fiiKT0v , wns viel- leicht den SiDD geben würde, dass das Instrument eine Mischung, harraonisrhe Vereinigaog tiefer Klänge besitze. 6) Athen. 14, p. ess F. 7) Aristid. Quint. p. 401. S] Athen. 4, p. 174 D und 183. Phoenix: Athen. 14, SSS B. 637 B. 9) PotiDX 4, cap. 9, p. ISS, SO (ed. Francof.), 10) Pollux 4, C. V, p. 4SS, 40 ff. (ed. Francof.). 11) nuDcdigitlB, nunc plectro pulsat ebumo. 184 er wohl selbst bei den Instriinieuien aiit offenen Saiten keinen bedeu- tenden Unterschied im Klangcharakter annahm. Er nennt hintereinander: Lyra, Kithara, Barbiton = Barymiton (Barymikton) , Chelys, Psalterion, Trigonon, Sambuca, Pektis, Phorminx, Phönix, Spadix, Lyrophönikion, Klepsiambos, Pariambos, lambyke, Skindapsos, Epigonion und die übri- gen ; — aus den letzten Worten »und die übrigen« ist zu schliessen, dass es noch viele Instrumente ähnlicher Art gab , die aber keine besondere Rolle spielten. Für die Blasinstrumente, welche der kunstmässigen Ausübung in der Musik dienten , war bei den Lateinern die Bezeichnung »Tibiaea gebräuchlich. Eine Tibi a, griech. auXoC) war ein langes, rundes, hohles , mit Löchern versehenes Instrument , welches mit den Fingern behandelt wurde, während das Anblasen durch ein Mundstück (linguia, griech. y^u^c^aa oder '^XtoaaU) geschah. Die Erfindung wird bekanntlich bald dem Apollo bald der Pallas zugeschrieben und in der Bibel wird Jubal als Schöpfer der Blasmusik erwähnt. Anfangs aus Halmen ^) (Gala- mus) verfertigt, desgleichen aus Schilfrohr 2) , Lorberbaum ^) oder Lotos*) , Buchsbaum ^), von Sambucus oder Holunder^), Eselsknochen 7) , Hirsch- bein 8) , Elfenbein ») , Messing i«) , Silber ^^) , sogar von Gold 12) ^ versah man sie nur mit drei oder vier Tonlöchem, bis Diodorus von Theben eine Vermehrung der Oeffnungen einführte ^3) und so nach und nach die ge- bräuchliche Anzahl derselben auf 7 stieg. Man unterschied die Tibien sowohl nach ihrem Klangcharakter, als auch nach ihrer Bestimmung. Die Rohrblasinstrumente wurden nun auf verschiedene Art und. bei mannig- faltigen Gelegenheiten gespielt, z.B. spielte man mit »oflfenenLöchem«**) , wo die Finger sich von den Oeffnungen entfernt hielten ; man gebrauchte (nach Scaliger) bei Gastgeboten gleiche Instrumente ^^) , um die Gleich- h) Virg. Ecl. 6, V. 69 ff. und Ecl. 8, 24. Nemes. Ecl. 4, v. 3 ff. 3) Pollax lib. 4, c. 9. n. 6; ed. Francof. p. 489. 4) Athen. 4, p. h 82 D. 5) Ovid. Fast. lib. 6, v. 697 u. a. a. 0. Plin. ; H. N. lib. 46, c. 36. 6) Isidor. lib. 2, c. 20. 7) Plin. ibid.; Plut. sap. conv. c. 5, ed. Wyttenbach p. 4 01. 8) Philostr.Vit.Apollon. lib. 5, cap. 24, pag.204 u. 205 (ed. Olearias 4709). 9) Propert. lib. 4, Eleg. 6, v. 8: 40) Pbilostr. ibid. 44) Plin. ibid. 42] Philostr. ibid. 43) Pollux lib. 4, c. 40. n. 3; ed. Francof. p. 494. 44) Daher Tibiae apertae, Quinct. Instit. lib. 4 4, c. 3, 20. 45) Scalig. Poet. lib. 4, cap. 20. 185 heit der Gä.sle <iiiziideulen (?lj, bei den Gastmalen erklangen die Tibien zar Erheiterung der Gäste'), wobei auch zur Tibia gesungen wurde ^). Ein Hauptunterschied bei den Lateinern bestand nun in den sogenannten Rechts- undLinks-Tibien ^) . ZurEriilärung dieser Bezeichnung habensicli verschiedene Ansichten gellend machen wollen. In älterer Zeit nahm man an, dass der Grund hiervon in der Susseren Haltung des Spielers allein zu suchen sei, und man steihe daher die Behauptung auf, eine ußeclit!!- Tibieo wäre auf der rechten Seite in den Mund genommen und mit der rechten Hand gespielt worden, eine » Links- Tibi e « dagegen hätte man auf der linken Seite mit der linken Hand gespielt. Auch seien zu- weilen beide Arten zum Vortrag verbunden gewesen*). Klar bewie- sen ist gegenüber dieser nicht genügend niotivirten Behauptung , düss die »Rechts -Tibien« einen höheren, die n Links- Tibien " einen tieferen Klang gaben, weil man die »Links -Tibien a von den unteren Theilen des Rohrs, d. h. von dickerem Material mit grösserer Luftsäule, die « Rechts- Tibieno von den oberen Theilen des Rohrs, d. h. von weniger umfang- reichem Material mit kleinerer Luftsäule anfertigte'). Die »RechLs- Tibieav waren nun in der Regel die anstimmenden und melodieführenden ^) , die » Links-Tibien o die accompagnirenden ') , weshalb dieselben auch be- stimmte Plätze im Theater einnahmen und zwar die »Bechts-Tibieni' auf der rechten, die » Links-Tibien o auf der linken Seite , wonach die Be- zeichnung als eine praktisch-künstlerische erscheint^). Boeckh sagt kurz, dass die Lateiner die Tibien Links-Tibien genannt hütten, auf wel- chen ein tieferes Diapason ertonte, Bechts-Tibien, auf denen ein höheres Diapason erklangt). Bei Leichenbegängnissen gebrauchte man »Trauer- Tibienc, tbeiis zur Erhebung der Feierlichkeit '*) , theiJs zur Tröstung der 1) Quint. üb. ^,^a. 9] Quint. ibid. g) Tibiae dextrae und Tibiae sinistrae. k) Vergl. Gesneri Tbesaums Tom. Ill, pag. 789. B) Plin. B. N. IIb. ta,c. aS. S] incentivae. 7) succentivae; vergl. Varr. de R. R. Mb. t, c. t. 8) Hanut. Quaesit. Mb. S, epiat, (. 9) Boeckh, de metris Pindari lib. S, cap. 11, p. 853 oLalini aulem cas tibias, qaemm diapason est gravius, vocarunt sinistras; quaram acutius, dextras, ut alibi evicimas.a Hierzu giebt er die Anmerkung uln Anna). Hei' delberg, I Gl 0, fasc. IB. p. 1A6 sqq. Qaamquam ibi baec non lisdem verbis dicta sunt, )ta tarnen intelligi onnc velim,« 40] Claudian. de Raptu Proserp. Itb. S, \. ISO. 186 Leidtragenden ^) , worauf Boetius selbst bei Anführung der Trauer- gesänge hinzielt. Die Bestattung des Julius Cäsar ^) und anderer Per- sönlichkeiten giebt hiefür hinreichenden Beweis 3). » Schauspiel - Ti- bien« ^) gab es natürlich ebenfalls , wie oben erwähnt wurde , gleich- wie man zum Tempeldienste Tibienbläser anstellte , die , .wie Livius be- richtet, im Weingenuss nicht immer ganz enthaltsam waren ^} . Sodann sind zu erwähnen : » Hochzeits-Tibien « zum Vergnügen der Fe^ttheil- nehmer ®) , wobei gewöhnlich eine kleinere -^j und eine grössere Art figurirte^j. Scaliger macht die äusserst komische Bemerkung, man habe zwei Tibien und zwar ungleiche zusammengefügt , um die Be- wandtniss des Ehestandes auf glücklicne Art anzudeuten^) (!). »Rna- ben-Tibien« ^^) spielten die Knaben, »Jungfrauen-Tibien«^^) hatten einen hellen Klang, »Weihen -Tibien «^^j klangen wie das Geschrei der Weihen, »Pythische Tibien« ^ 3) fanden Anwendung bei den Pythischen Spielen und passten zur Ausführung von Päanen^ d. h. Lobgesängen auf Apollo. »Opfer -Tibien«!*), »Spondeischö Tibiea« mit ernstem Klange 1^), » Triumph- Tibien «^^) etc. nannte man die Blasinstrumente 4) Boetius a. b. 0. 2) Saeton. Jul. Caes. c. 84. 8) Ovid. Trist. IIb. 5, eleg. 4, v. 48. 4) Cic. de leg. Hb. 2, c. 15 ; Horat. de arte poet. v. 202. 5) Liv. Hb. 9, c. 80. 6) Claudiao. Nupt. Honor. et Mariae, v. 495; Fescenn. 44, v. 30. 7j Ovid. Met. Hb. 4, v. 760. 8) PoHpxlib. 4, c. 4 0. 9) SeaHg. Poet. Hb. 4, c. 20. 40) Tibiae pueriles, PoHuil Hb. 4, c. 4 0. 4 4) Tibiae puellatoriae. 42) Tibiae miivinae. 4 8) PoHux Hb. 4, c. 4 0. Boeckh sagt über die Pythischen T|bien: »Quae Graecis appeUantur Pythiae, ob gravitatem sunt mascolae, p^eanibus aptae : magis femineae choricae Sidl tö de ö^uTTjra eö^ep^c, adbibitae ipprimis dithy- rambis; utraeque tarnen tensione mediae: unde iUud Qrmatur, quod Pindarici chori melopoeiam dixi mediam ((xeaoei^'^) Spondiacae hymnis conveniunt, quippe ob insignem gravitatem, eaeque a dactyHcis non dififerre videnti^r. Pythiae dl- cunturesse aOXol xdXstot, hoc est, viriles (dlvSpeioi), quales sunt etiam ol 6irepT^- Xeiot, quippe graves utrique ; sed aeuti sunt auXol Tcai^ixol et napO^^Jioi ; tensione diversi omnes. AHae tibiae usu differunt, ut auXot d[jLßar/)piot, ^irod^axpoi etc.« 44) Tibiae sacrificae. Vergl. Ovid. Fast. 6, v. 659; -- Isidor. Hb. 2, c. 20. — Athen. Hb. 44, c. 2. — Gensor. de Die N^tal. c. 42. 45) OTC^v^auXoi. 46) Tibiae triumphales, Gensor. de Die Natal. c. 42 (w. oben). 187 je nach der Verschiedenheit des Gebrauchs ^) . Bei den Griechen sind 4) Uebersichtlich zusammengestellt treten uns folgende Gattungen der Ti- bien entgegen (vergl. Pollax lib. 4, cap. 9, ed. Francof. pag. 490) : 1 . Tibiae vascae, griech. TiXa^CauXci, wurden mit Directionsflöten erklärt (Solinus 5, § 49) und hatten mehr Löcher, als die praecentoriae , waren den sinistris gleich und fanden Anwendung beim Probiren von Musikstücken (Sal- mas. ad Vopisc. Carin. p. 848b und 825b ed. Lugd. Batav. a. 4674). Hingegen erklärt Boeckh die vasca als eine Flöte mit leichtfertigem Ton. 2. Tibiae spondaicae = oTi^vBauXoi = Opfertibien (sieb, ob.) 3. Tibiae serranae, entweder = Sägetibien, von Serra, wegen des schwirren- den Klanges (Turneb. Advers. lib. 28, c. 34 pag. 4 080, 45) oder von Sarra = Tyrus(Salmas. ad Vopisc. Carin. p. "828 a). Sie waren von derselben Beschaffen- heit wie die pares, gleichwie die Tibiae Phrygiae zu den imparibus in Paral- lele zu stellen sind (Serv. ad Vergil. Aen. 9, v. 618). 4. Tibiae sacrificae = Opfertibien (s. ob.). 5. Tibiae Pythiae (s. ob.). 6. Tibiae pueriles (s. ob.). 7. Tibiae puellatoriae (Solin. 5, § 49 ff). 8. Tibiae praecentoriae sollen bei den Pulvinaribus, in den Tempeln vor den Altären gebraucht worden sein , auch incentivae geheissen und dieselbe Construction wie die dextrae besessen haben, jedoch mit starkem, vollem Klange (Salmas. ad Vopisc. Carin. s. o.). 9. Tibiae Phrygiae waren bei den Lateinern krumm und aus Hörn gefer- tigt (Ovid. Fast. 4, v. 484). 4 0. Tibiae pares und Tibiae impares. Die früheren Erklärungen, welche sich an die Erörterungen Scaliger's anschlössen (Vergl. Scaliger Poet. lib. 4, c. 20) beschränkten sich auf die Angabe, dass Tibiae pares zwei verbundene Flöten gewesen seien, welche gleiche Löcher hatten, impares solche, von denen eine mehr Löcher besass, als die andere. Boeckh hat jedoch mit richtiger Quellenangabe klar gestellt, dass pares entweder zwei dextrae oder zwei sini- strae waren , die impares aber in der Verbindung von einer dextra und einer sinistra erschienen, wobei zu beobachten ist, dass die dextrae die Klänge des hohen Diapason , die sinistrae die des tiefen Diapason in sich enthielten , weil ja der Modus oder die Tonart der Griechen und Römer , mochte man die do- rische, lydische, hypodorische Tonreihe als systematische Klangunterlage an- nehmen, einen Umfang von zwei Octaven repräsentirte. Die Stelle bei Boeckh ist insofern interessant, als hier in logischer Folge diese Sache genauer betrachtet worden ist. Boeckh^sagt (de metr. Pind. p. 265) : »Pares aut dextrae ambae, hoc est acuta e, aut sinistrae, hoc est graves. Dextrae tibiae pares erant, qui Graecis sunt a6Xol napotvtqji, teste Polluce (IV, 80) Ofjiixpol p.^, toot ^'a^i^ca. Impares erant inYap.7]X(({)a6X-/]pLaTi, in quo, auctore eodem, B6o aöXol ^oav, GUfx- (povCttN fxCav {\das scripsi pro vulgato [xev : aup.<pa>viav p.iav, quippe diapason) dTio- teXouvre^, fjLe(Cc»v hk äzepo^, Sri (leCCova yj^i] töv dshpa elvai. Herum im pari um altera est dextra, altera sinistra. Jam quae inaequalitas erat inter dextram et sinistram , ea in Phrygio certe modo in ipsa sinistra conjuncta erat. Ea tota quidem gravier debebat esse quam Phrygia dextra ; sed rursus habebat duo fo- ISS jedoch ak» Hauptunlerscbiede anzuführen: die Lydische, Phr\'gische, Dorische, Aeolische , looische , Syntooolydische etc. , aas welcher Be- zeichnuDg schon herrorgeht, dass dadurch die Stimminig angezeigt ramina, qnoniin alteram graYem, alierum acutum sonani praebebat. Anctor Varro : Tibia Pbrygia, inquit, dextra nnam foramen habet, sinistra dno, quo- rom noam acotam soDom habet, altemm graYem.' Haec aliter inlelligi neque- QDt, quam debiois diapason in eadem tibia cantatis per homophoniam» qoemad- modnm in magadide fidibns intensa : ac talis tibia a Graecis Yocata est (uc]pSt^ 44. Tibiae naptiales (s. ob.). 4t. Tibiae milvinae (s. ob.). 4t. Tibiae militares (s. ob.). 4h, Tibiae ladicrae (s. ob.). 45. Tibiae fnoebrea (s. ob.). 46. Tibiae cooviYales (s. ob.). Boeckh liat eigentlich nnr die beiden Unter- schiede »dextra* nnd «sinistra« besonders ins Ange gefasst; eingehend polemi- sirend spricht er sich in einer KritilL über Bothe's Aosgabe der Comödien des Terenz mit grosser Genauigkeit Hber die Tibia dextra nnd Tibia sinistra ans. Wir müssen jedoch bemerken , dass Boeckh zwar den Salmasins ganz richtig corrigirt, in seiner Anseinandersetznng aber nichts Neues anführt ; denn schon im 18. Jahrhundert war die Forschung über diesen Gegenstand bereits zur lüarheit gelangt nnd es unterlag während der ThätigkeitBoeckh's keinem Zweifel mehr, dass die dextrae sich in der oberen, die stnistrae sich in der unteren Ton- region bewegten. Beberzigeoswerth ist indess in beregter Kritik besonders eine Stelle, welche Boeckh aus sich selbst geschöpft hat. Er sagt nämlich sehr rich- tig: »Das ganze Alterthum nennt alles Fröhliche, Heitere, Glückliche rechts, alles Düstere, Traurige, Unglückbedeutende links; sollte es in der Musik, die dem Gemüthe so nahe liegt, eine Ausnahme gemacht haben? Die dextra tibia muss die fröhliche, die sinistra die düstere, jene die hohe, diese die tiefe sein. Dasselbe Yerlangt der Gebrauch , welchen sie in den Yerschiedenen Stücken davon machten. Die Römer müssten doch sehr roh gewesen sein, wenn sie den terenzischen Eunuch, welcher tibiis duabus dextris gegeben worden, mit z^^ei tieferen Flöten begleitet hätten ; nur eine lustige Musik passte zu seiner Fröh- lichkeit, und diese hatte er, wenn dextrae Discantflöten sind. Der Heautonti- morumenos, der anfangs natürlich weniger lustig ist, hatte vornherein die Mu- sik imparinm tibiarum, welche ausDiscant undBass zusammengesetzt ist; her- nach wird er mit duabus dextris fortgesetzt. Also die glückliche Katastrophe sollte mit traurigem Tönen begleitet worden sein , als der Anfang? Unmöglich ! Dextrae müssen höhere Töne haben. Ueberbaupt giebt es kein sicheres Bei- spiel , dass eine Gomödie ganz mit paribus sinistris aufgeführt wäre , welches doch wohl vorkommen müsste , wenn sinistrae lustige Flöten wären.« Femer entwickelter, dass die drei Flötengattungen Sarranae, Phrygiae und Lydiae den drei ältesten Tonarten, der tiefsten dorischen, der mittleren phrygi- schen, der höchsten lydischen entsprechen, über deren Beschaffenheit wir weiterhin Erklärang geben werden. 18» wurde. Wollte man mit den heutzutage im Orchester gebräuchlichen FlÖlen einen Vergleich anstellen, wie dies wohl auch von neueren Histo- rikern irrthumlicherweise geschehen ist, so würde man die Vorstellung von dem Blasinstrument, welches bei den Griechen Aulos und bei den Romern Tibia hiess, nur verwirren, unsere Orchesterflöle überschreitet in ihrer tiefsten Klangregion nicht die Töne der eingestrichenen Octave, während man aus den alten Schriftstellern erkennt, dass die griechischen und römischen Äuloi undTibien, sobald «Rechts- und Linkstibien o ver- bunden wurden, beide Octaven auch der tiefsten Tonarten enthielten. Dass es sogar Äuloi oder Tibien gab, mit welchen ein Umfang von zwei Octaven auf einem einzigen Instrument herzustellen war , dürfte nach den auch von Boeckh angeführten Zeugnissen kaum zweifelhaft sein. Dieser verdienstvolle Philolog, welcher sich in den musikhistorischen Analyseo unvergängliche Verdienste erwarb, scheint nicht auf einen pas- trenden Vergleich mit neueren Blasinstrumenten gekommen zu sein ; in dem heutigen Orchester entspricht selbst die Oboe nicht den Beschrei- bungen der Allen, wie überhaupt die zum küntlerischen Ausdruck ver- wendeten Tonwerkzeuge des 19. Jahrhunderts keine Parallele mit den Koliken Tibien verstatten. Dagegen waren im 1 6. und 1 7. Jahrhundert unserer Zeitrechnung Instrumente im Gebrauch, welche unbedüigt, ihrer Construction nach zu urtheilen, mit den alten Aulois oder Tibien zu Vor- zeichen sind ; ja fast möchte man die Behauptung aufstellen , sie seien mit den griechischen Holzblasinstrumenten identisch gewesen. Auch weist ihre Heimath Italien auf eine directe römische und somit zugleich griechische Ueberlieferung hin. Diese Instrumente sind die sogenannten n Plockflötenu, von welchen Prätorius in seinem I61S erschienenen 'Syntagma musicum« eine genaue AbbUdung und Beschreibung giebt. Sie haben im Aeussem Aehnlichkeit mit den Jetzt noch vorzüglich in Baiern vielgeblasenen Flageolets, sie waren aber in der Bohrung und Einrichtung vollkommener als diese. Gleich den Aulois und Tibüs unterschied man tiefere und höhere Ploclcflölen, worüber uns Prätorius in folgender Weise belehrt : »Flock- flöten (Latinis Pistula), so von den Italiänern Flauto, von den Engelen- dern Recorder genennet werden, haben durch alle Stimmen in jedem Corpore sieben Löcher Tomen, und eins hinten. Denn ob gleich fomen gar unten zwey Löcher neben einander sein, so sind doch dieselbe beyde eineriey am Thon, und allein dahin gerichtet, dieweil etliche Instrumen- listen die lincke, etliche aber die rechte Hau dt unten brau- cbena u. s. w. Sodann giebt dieser Autor des 17. Jahrb. acht ver- 190 schiedene Arten an, mit welchen ein Tonamfang »Tom Contra-D bis über das dreigestrichene e hinaus herzustellen war , wenn man nämlich die einzelnen Gattungen zusammenstellte.« Hieraus ist leicht begreiflich, wie auch die Griechen mit ihren dorischen, phrygischen , tydischen Au- lois und mit denen, welche auf die Plagaltonarten gestimmt wurden, die Grenzen des bei ihnen erlaubten und gebräuchlichen Tongebietes errei- chen konnten. Mit der Meinung Richard ToQunann's^), dass die romische Tibie oder der griechische Aulos mit der Clarinette vergleichbar sei, können wir als Musiker durchaus nicht übereinstimmen ; denn gerade dieses Instrument ist eine Errungenschaft der neuem Zeiten und lasst keine Parallele mit dem Alterthume zu. Jedenfalls darf man doch nicht tou dem Gebrauch, das Mundstuck in ein Futteral zu stecken — wie dies unsere Clarinettisten thun — darauf schliessen, dass auch dieGlossa (']fXa>aaa = Mundstück] der Griechen, welche in dem Glossokomeion (YXoKjaoxofjeTov = Mundstückbehälter) ^j aufbewahrt wurde, ein Clarinettenschnabel ge- wesen sei. Die PlockflÖtenbläser hatten ebenfalls ihre Taschen für die Fistulen, d. h. die kleinen Mundstücke, welche sie Yor dem Gebrauche der Instrumente ansteckten, und sie ersetzten die ausgeblasenen ^) und unbrauchbar gewordenen durch neue. Zu den Blasinstrumenten ge- hörten auch die Tuben, welche jedoch gleich den Hörnern mehr Signal- instrumente waren und keine künstlerische Bedeutung im Alterthume er- rangen. Es dürfte hierüber die kurze Angabe genügen, dass die Tuba, griech. Salpinx, ein aus Erz ^) gefertigtes Instrument in gerader Richtung war und vom einen weiten Schallbecher hatte. Sie wurde geblasen ver- mittelst eines Mundstückes von Knochen^) und bestand mögticherweise aus sechs verschiedenen Arten ^, d. h. Grössen ; man gebrauchte sie im Kriege ^) , bei Leichenbegängnissen ^j , für die Schauspiele ^) und auch bei Opfern *^) . Sie soll zuerst von den Tyrrhenem oder Tusciem erfunden 4 ) Vergl. R. Volkmann, de organis sive instrumentis veterum mnsicis epi- metrom, p. 143 in seiner Aasgabe von Plntarch's de musica. %) Vergl. Pollax Hb. 7, cap. 33, p. 362 ed. Frf. 3) l^i>X7]fxf^at oder nape^uXr^fx^vai von i^auXios oder Ttape^auXioB. 4) Soph. EI. V. 744. 5) Vgl. Pollax Üb. 4, c. 44. 6) Dies ist jedoch zweifelhaft. 7) Horat. Carm. 4, 4, 23. 8) Pers. Sat. 8, v. 403; Virg. Aen. Hb. 44, v. 492. 9} Vergl. Virg. Aen. 5, v. 4 43; Juvenal. Sat. 6; PHn. Hb. 2. epist. 7. 10) Varro de L. L. Hb. 5, c. 24, § 4 47 ed. Müller. 191 «Orden seiü ') . Möglicherweise kamen aucli zu Olympia und bei andern Festspielen Weltkämpfe der TuLabtäser vor^). Unter den »Instrumen- len, welche mit Gebrauch des Wassers bewegt werden ,« verstellt Boe- lius die sogenannten Wasserorgeln , über deren Cunstruction wir kurz Folgendes angeben wollen : Die Wasserorgel, vom Ctesibius [um 150v. Chr.} erfunden, wel- cher nach dem Zeugnisse des Aristocies bei Athen. 4 , p. t Regierung des Ptolemäus Enei^etesÜ, lebte (fürdenMancheEuergetes I. bezeichnen, cf. Butimann in Conuuent. Äcad. Berol. a. 1811, p. 169), wird auch zuweilen dem Archimedes zugeschrieben, wofür TerluUian de anima, c. 1 4, als Zeuge anzuführen ist. Athenäus schildert sie lib. i am bezeichneten Ort als ein Instru- ment mit süssem Tone, und die Beschreibung ihrer Construction befindet sich ausser in den Schriften des Hero auch noch bei Vitruv de Architec- tura lib. 1 0, cap. 1 3 , Die Zeichnung in meiner Geichjchte des Claviers«, Leipzig, A. H. Payne, Seite 43 (Fig. I], l-isct leicht erkennen, dass der grossere Behälter unter der Windlade , auf welcher die sieben Pfeifen stehen, ein Wasserbehälter ist, in welchem sich eine hohle, unten auf beiden Seiten offene Halbkugel befindet ; aus dieser fuhrt eine HÖhre in die Windlade. Das Wasser im Behalter dient dazu um den in die Halb- kugel durch eine mit dem Windbehälter -serbundene Rohre strömenden Wind in seinem Drucke zu reguliren. Der W md selbst w ird durch e IQ den Windbehälter vermittelst eines Hebels kräftig getriebenen StSssel hervorgebracht. Bei der vom Hero beschriebenen pneumatischen Orgel fällt der Wasserbehälter fort*) , ihr Ton wird deshalb wahrscheinlich staiier , aber ungleichmäss^er gewesen sein , weil zu damaliger Zeit sicherlich noch keine Windproben in unserm Sinne exi.stirten. Orgel und Windorgel sind also neben einander gebraucht worden ^] 184 A: T'jf.i>TiväJv B'doT ^) Stal. Theb. lib. 6, v. I prjjia xlpaxä -K Kai TOXmi^EC. 9) Boeckb, Oecon, pubi. 1, p, S61. S) Vergl. Paul, Gesch. des Claviers S. (i, Fii;. 2. 4) In meiner Gesch. des Clav, sind die Zeichnungen den Abbildungen des vortrefflichen Manuscriptes vom Hero entnommen, welches die Leipziger Sladtbibliotbek aufbewahrt. Bezüglich der Windorgelo ist noch zu bemer- ken, dass durch die Verse des Julian ihr Gebranch im 4. Jsbrh. n, Chr. a Zweifel gea tollt wird (dXXotijv ipdio Bovctiuiv ij uoiv f(~o"j An' SÜifi etc.]. Vgl. über Wasser- und Windorget auch die alleren Analysen von Schurtzfleisch Anliqu. Eccl. Conirov. 49, g 4, § 9, § 11, g 13, § (6 u. Wilb. Matmesburiensis ap. Salmaa. ad Lamprid. Heliog. in Verblödung mit den Quellen zeugnis! Auch Sponsel's üistorie von der Orgel ist nicht /u übergehoi t92 Was nun endlich die Schlaginstrumente betrifft, welche in einem hohlen ehernen Gefösse bestehen und mit dem Klöppel geschlagen werden, so ist schon aus diesem kurzen Gharacteristicum zu ersehen, dass Boetius Tonwerkzeuge im Sinne hatte, welche unseren Schlaginstrumen- ten im Wesentlichen entsprachen. In der That finden wir auch be- stimmte Zeugnisse , die solche Erklärung bestätigen. Drei Hauptarten von Schlaginstrumenten sind in Kürze namhaft zu machen, weil an diese drei Boetius gedacht haben mag : nämlich die Gymbaln, Tympanen und Symphonien. Die Gymbaln hatten Aehnlichkeit mit unseren »Becken« in den Orchestern, waren aber so tief ausgehöhlt, dass man bequem aus diesen »erzenen Gefässen«^) trinken konnte. Dass die Gymbaln^) im Zusammenhang mit den Tympanen erschienen, mithin eine ähnliche Be- stimmung hatten wie bei uns, dürften die Worte des Seneca^) beweisen, in welchem er auseinandersetzt, dass die Tympanen und Gymbaln musi- kalische Töne von sich geben, und zwar, indem jene Luft enthalten, die geschlagen wird, diese aber allein in Folge ihrer materiellen Beschaffen- heit erklingen. Allerdings war der Klang der Gymbaln mehr ein rhyth- misches Geräusch^), gleichwie auf demiTympanum kein reinerer Klang zu erzeugen war , als auf der Handpauke , welche ja bei allen antiken Völkern vorkommt. Das Instrument wurde mit der einen Hand ge- schlagen und mit der andern bewegt , so dass es als ein mit dem Tam- burin identisches erscheint ^) . Auch diente dasselbe bei den Barbaren als Kriegsinstrument , wogegen die Symphonien mehr zu künstlerischen Zwecken verwendet wurden, weü sie als vollkommenere Tonwerkzeuge einen nach Höhe und Tiefe zu abgemessenen Ton enthalten konnten. Isidorus Hispalensis giebt uns eine ziemlich genaue Beschreibung ^) , aus welcher man ersieht , dass die Symphonien mit einem Felle bespannt waren und mit Klöppeln tractirt erklangen ; jedoch mögen diese Pauken meist aus Holz gefertigt worden sein^). — Nach den allgemeinen Vor- ausschickungen über den Werth und die Bedeutung der Tonkunst geht Boetius in 1) Joseph. Antiq. 7, 42, 8 ; ed. Oberthür 4782 p. 809. 2) Giern. Alex. Paedag. lib. 2, cap. 4. (ed. Par. 4641) pag. 464. 3) Senec. Quaest. nat. lib. 2, cap. 29. 4) gr. «I^^o«, lat. tinnitus. Virg. Georg. 4, 64 ; Arnob. 7, 32. 5) Isid. Etym. 2, 24 ; vgl. Ferkel, Gesch. der Mus. B. 4, 420. 6) Auch bei Gerbert, Script, eccles. Tom. I, p. 24 B. 7) Dies zeigt der Ausdruck an: lignum cavum. 193 Cap. ni za den akustischen Principien über, welche er in Cap. IV, V, VI, VII, Vin und IX hinreichend klar und ausführlich entwickelt ; und dabei sucht er besonders den Grund der Consonanzen mit Bezugnahme auf die mathematischen Ausdrücke , wie er sie in seiner Arithmetik exponirte, festzustellen, damit der Leser zunächst einen Ueberblick erhalte. Höchst interessant ist die Gegenüberstellung der Consonanzen und Dissonanzen , welche von moderner Anschauung gar nicht so weit ent- fernt erscheint. Zu näherer Begründung der historischen Bedeutung des Consonanzverhältnisses citirt er in Cap. X die Forschung des Pythagoras, dessen ErfiodaagderConscmanzendem von Plutarch^) — welcher den Aristotedes als Schüler das Plato citirt — ange- gebenen Verhältmss vollkommen entspricht. Bbenso finden wir dieselbe Zahlenlheorie in Plato*s Timäus, wo die bereits oben auseinandergesetzte Entwickelang der Verhältnisse den Grund der Gonaonanaen in Verbindung mitderWeltseele enthält. Das» hier ia der fabelhaften Erfindtmg des Pytha^ goraseiii akustischer Irrthum vorliegt) hat schon Galilei Galilei bemerkt; denn erstens wäre es ein ganz merkwürdiger Zufall gewesen, wenn die Scfanaiedehämmer das angegebene Verhältniss besessen hätten, und dann würde Pythagoras auch nur durch vier Saiten von ungleicher Länge und Dicke, näaüieh nach den Verhältnissen 6 : 8 : 9 : 4 2 die richtigen Töne ge- wonnen haben, nicht aber durch die Verschiedenheit der Gewichte . Uebri- gens ist durdi die Forschung des Vincenzo Galüei, des Vaters von Galileo Galilei, klar gestellt worden, dass man diese Erfindung, hauptsächlich nach dem Zeugniss des Suidas, auch einem gewissen Diocles zuschrieb , wel-* eher bei etu&m Spaziergange, der ihn vor das Haus eines Töpfers führte, die Verhältnisse aus dem Anschlagen verschiedener Töpfe heraushörte^). Die Darstellung des Boetius ist jedoch trotz des akustischen Irrthums und des Fabelhaften in der ganzen Erzählung insofern sehr lehrreich, als man erkennt, mit welchem Eifer man sich im Alterthume den Gesetzen der Transversal- und Longitudinaischwingungen zuwandte. In Cap. XI weist Boetius bestimmt darauf hin , dass man sich mit Erforschung der Saitenschwingungen und des Wesens der klingenden Luftsäule in den 4) Plutarch, de musica cap. 4 8, bei R. Westphal cap. 46. 2) Dialogo della Musica antica e moderna, pag. 427, ed. 4584 u. 4602. Boetini. 4 8 194 Pfeifen eingehend beschäftigte. Die Methode der akustischen Messung ist zwiir nicht ganz klar zu erkennen, jedoch ersieht man aus der Stelle, dass bei Berechnung der Intervalle der Cyathus und das Acetabulum ge^ braucht wurden. Der Gyathus war eigentlich ein Mass für Flüssigkeiten und zwar der zwölfte Theil eines Sextarius, welcher tO Unzen an Wein und Wasser wog. Mithin war der Gyathus ein Mass von 1 y^ ^^^^^ ^^ Wasser und Wein, während das Acetabulum als ein Mass in Form eines glocken- ähnlichen Gefässes erscheint, welches den achten Theil eines Sextarius oder Ys Unzen in sich fasst. Es geht daraus hervor, dass die Zahl zwölf als Ausgangspunkt diente und jedenfalls durch die Yergleichung yon \ 2, 9, 8 und 6 Cyathen Flüssigkeit in den mit einem Klöppel angeschlagenen Acetabulen die Verhältnisse festgestellt wurden ^) . Nach der Darstellung des Boetius unterliegt es keinem Zweifel, dass der griechische Philosoph Pythagoras die Luft als Vehikel und die in den Theilen eines klingenden Körpers erzeugte Bewegung derselben als die Ursache des Schalles ansah. Dieser Schall ist nun höher und tiefer , je nachdem die Erzitterungen schneller und langsamer sind ^) . Pythagoras wusste also schon das Grundgesetz der Höhe und Tiefe , er kannte aber auch die Grundtheorie des musikalischen Klanges, dessen Schall messbar sein muss ; denn die Quelle des Schalles, d. h. der tönende Körper, und die Leitung desselben, d. h. die Luft, sind nur dann zur Hervorbringung eines musikalischen Klanges befähigt, wenn die regelmässigen Bewe- gungen beider in einer gewissen Gleichartigkeit zu einander in Beziehung stehen. Die Regelmässigkeit der Bewegungen entsteht nun dadurch, dass eine- Bewegung der anderen in gewissen gleichen Zeitabschnitten und in gleichartiger Weise richtig folgt, weshalb man dieselben auch periodische Bewegungen genannt hat. Daher fasst Helmholtz seine Definition so zusammen : » Die Empfindung eines Klanges wird 4) Sonst war Acetabulum eigentlich ein Essiggeschirr, Essignäpfeben für den Tisch, welches die Griechen 6£6ßa^ov nannten, von 6^ Essig und ßairctiv eintauchen, weil man Brot in Essig tauchte. Vergl. Suidas in ö^ßa^ov, auch als musikalisches Spielzeug in Form eines Glockenspiels mag es Verwendung gefunden haben. Friedrich Bellermann citirt in seinem Anonymus den Zeitgenossen des Boetius, nämlich den Cassiodorus mit diesen Worten : »Ace- tabula Cassiodorus quoque in definitione instrumentorum , quae pulsantur, exhibet: Percussionalia , ut sunt acetabula aenea et argentea , vel alia quae metallico rigore percussa , reddunt cum suavitate tinnitum , quem locum ex- scripsit Isidorus Hispal. in origg. Wbr. 2, pag. 897 Gothofr.« 2) Porphyr. Comment. in Ptolem. Harmon. p. 192 ed. Wallis. 196 durch schnelle periodische Bewegungen der tönenden Körper hervor- gebracht, die eines Geräusches durch nicht periodische Bewegungen.« Die Akustik bedient sich fiir die Art solcher regeUnässigen Bewegungen des Ausdruckes Schwingungen, welche, wie schon gesagt, in glei- chen Zeitabschnitten, d.h. periodisch, erfolgen müssen. Aus die- sem Grunde nennt man die Länge der gleichen Zeitabschnitte , d. h. die Dauer von einer Schwingung zur nächstfolgenden, die »Schwingungs- dauer« oder die »Periode« der Bewegung, für welche jetzt die Se- cundenmessung besteht. Dass nun auch dem Pythagoras das akustische Yerhältniss mit Bezug auf Länge und Dicke der Saiten nicht unbekannt war, darf nach den Worten des Boetius , welcher unter der harmoni- schen Regel das hölzerne Tonmass , das Monochord, verstand , gar nicht zweifelhaft sein. Aus dem weiteren Verlaufe der Abhandlung ist klar ersichtlich, dass für die Gonsonanzen: Octav, Quinte und Quarte (Diapason, Diapente und Diatessaron) die antike Theorie der Griechen und des Boetius mit der modernen Akustik übereinstimmt. Letztere stellt bekanntlich folgende Hauptgrundsätze auf : ^) » 4 ) Die Schwingungszahl einer Saite verhält sich umgekehrt wie ihre Länge, d.h. wenn eine Saite auf irgend einem Instrumente , wie einer Violine, einer Guitarreetc, aufgespannt ist und in einer gegebenen Zeit eine bestimmte Anzahl von Schwingungen macht , so macht sie in derselben Zeit zweimal, dreimal, viermal u. s. w. so viel Schwingungen, wenn man bei unveränderter Spannung nur 1/2» Vs» V4 ^^' ^^^ ganzen Länge schwingen lässt ; sie würde ^2 > Vs ™^ ^^ schnell schwingen, wenn man nur ^/j, ^4 ^®r ganzen Länge schwingen Hesse. » t) Die Zahl der Schwingungen einer Saite ist der Quadratwurzel aus den spannenden Gewichten proportional , d. h. wenn das Gewicht, welches die Saite spannt, viermal, neunmal , sechszehnmal so gross ge- macht wird, während ihre Länge unverändert bleibt, so wird die Ge- schwindigkeit der Schwingungen zweimal, dreimal , viermal so gross. » 3) Die Schwingungszahlen verschiedener Saiten derselben Materie verhalten sich umgekehrt wie ihre Dicke. Wenn man z.B. zwei Stahl- saiten von gleicher Länge nimmt, deren Durchmesser sich wie \ : t ver- halten , so wird die dünnere bei gleicher Spannung in derselben Zeit doppelt so viel Schwingungen machen als die dickere. Für Darmsaiten ist dieses Gesetz wohl nicht immer genau wahr , weU sie nicht immer absolut gleichartig sind. 4) Vgl. Johannes Müller, Lehrb. d. Physik. 43* 196 » 4) Die Schwingungszahlen von Saiten verschiedener Materien ver- halten sich umgekehrt wie die Quadratwurzeln ihrer specitiscben Ge- wichte. Wenn z.B. eine Saite von Rupfer, deren specifisches Gewicht 9 ist 7 und eine Darmsaite, deren specifisches Gewicht 4 ist, gleiche Länge und gleichen Durchmesser haben und wenn beide durch gleiche Ge- wichte gespannt sind, so schwingt die Kupfersaite dreimal langsamer als die Darmsaite. » Es versteht sich von selbst, dass diese Gesetze nur für solche Sai- ten gelten, die ihrer ganzen Dicke und Länge nach homogen sind , dass sie also nicht auf Darmsaiten, weiche mit Metallfäden übersponnen sind, angewendet werden können. Die metallische Hülle ist hier eine träge Masse, welche durch die Elasticität der Saite in Bewegung gesetzt wer- den muss und welche also die Schwingungsdauer vergrössert.a Als das erste Instrument der Schöpfung gilt allen musikalischen Schriftstellern die menschliche Stimme, und von dieser geht auch Boetius in Cap. XII aus, wo er die stetige Stimme und intervallartige unterscheidet. £s stimmt nun die Definition unseres Autors genau mit dem überein, was wir aus den griechischen Schriftstellern über die »Bewegung der Stimme« M erfahren. Nach der Ansicht der Alten entsteht der Klang durch eine Xhatigkeit der Stimme, und zwar ist diese keine regellose, sondern sie ist einem bestimmten Gesetze unterworfen. Die regellose Thätigkeit der Stimme würde zwar ein Hörbares, z.B. Laut, Schall, Geräusch u. s. w., wo das klingende Element mehr oder weniger bemerkbar wäre, hervor- bringen, sie würde aber nie im Stande sein , einen reinen musikalischen Klang frei von jedem Nebenbegriffe zu erzeugen. Die geregelte Thätigkeit besteht nun darin, dass die Stimme bei Erzeugung des Klan- ges ein gewisses Yerhältniss der Höhe und Tiefe erfassen muss, und dieses . Yerhältniss wird Klanghöhe genannt^]. Höhe und Tiefe sind allgemeine Begriife, Klanghöhe ist das Besondere des Allgemei- nen , das Bestimmbare des Unbestimmten. Daher sagt Aristoxenus : ü) Klang ist Fall der Stinmie auf eine Klanghöhe ; denn der Klang scheint erst dann für das Melos verwendbar zu sein, wenn die Stimme auf einer 9 >■ I ** *^' 1) Vgl. Paul, Absol. Harmonik der Griechen S. 4 u. 2. 2) Höhe und Tiefe = ö^^ttjc %a\ ßap6TT]c , Stimme = «ov^ , Klanghdhe 197 KlaDghöhe zu stehen scheint « ^) . Da es Höhe und Tiefe giebt , so giebt es auch heuere und tiefere Klänge. Wenn nun die Stimme von einem höheren 2u einem tieferen, oder umgekehrt von einem tieferen zu einem höheren Klange übergeht, so nennen dies die Grriechen : » die Bewegung der Stimme« ^) . Die klangliche Bewegung der Stimme ist aber wohl zu unterscheiden von derjenigen, welche beim Sprechen bemerkbar ist. Die Rede bedarf keiner bestinmiten Klanghöhen, sie ist niemals gebunden an gewisse Platze , wie sie der musikalischen Stimme durch Kiangver* h'älinisse angewiesen sind. Die Stinome bewegt sieh in der Kode stetig ohne Festhaltung bestimmter Klanghöhen ^) . Im Melos muss ^ich aber die Stimme von der Höhe zur Tiefe und umgekehrt demOrte nach^), d. h. in bestimmten Klangverhältnissen bewegen; sie hat hier Klangt höben zu durchlaufen, von denen eine jede auch bei der schnellsfen Be- wegung für das Gehör zur Erscheinung gelaCkgen muss. Daher heisst diese Bewegung im Gegensatz zu der stetigen^ d. h. zti der niiigends feststehenden: eine intervallartige ^). Wie nun Boetius erzählt, habe Albinus noch eine Bewegung der Stimme angenommen, welche zwischen dem Gesänge und der prosaischen Rede im Ausdruck die Mitte halten sollte , nämlich die zur Recitation von Gedichten branchbare. Man weiss, dass die Redner gern in einem bestimmten Tcmumfange ihre Stinune ertönen Hessen, um stets das rechte Mass in der Modulation ihres 4) Aristoxenus p. 15. ISuvTÖfAoc ftev ouv eiTceiv, cpcov^c Tcrdiat« iizl (iCav Tocatv a{A,£vov, 8ton if) ?pcovi?j 9^'^i ^öTotvai M fxiä; Taöec»;* 6 (x^v wv ^O^yT®^ toioüt(5; dort. 8) 7Civ7)0ic o^seyiiz cpoivtjc. 4) xaTol TÖitov xiveToOat , vgl. Aristoxenus, pag. 8, 8, 9, 40; Aristid.Quint. pag. 8, 9; Nicomacbus p. 3, 4 ; Gaudentius pag. 2, 3 ; Euclid. pag. 2. Auch Ptolemäus pag. 46, n unterscheidet ähnlich die ungleich tönenden Geräusche (tj^öcpoi dlvioÖTOvoi) in stetige (auve^eic) und getrennte (5ta>ptO|jL£vot) , und er lehrt, dass jene der Harmonie fremd (apfiovixfjc dXX^ptot) , diese derselben eigen foixeiot] seien. Aristides Quintil. pag. 7 setzt ebenso wi6 Boetius lib. 1, cap. 42 zwischen die genannten Bewegungen die mittlere (x(vY]ot( fJiioY]], welche diejenigen in Anwendung bringen, deren Aufgabe es ist, ein Gedicht zu reci- tiren. 5) x(v7]0ic hiaavrwtaxixii. Diese Bewegung der Stimme müsseo die Sänger (ol (AeXcpSoiWTEc) anwenden; sie kann also auch eine melodische Bewegung »xt- vT]9ic {isXtpSixV)«, im Gegensatz zur Bewegung der Stimme beim Sprechen »x(- vTjoi« XoYW^ « genannt werden , weil von denen, welche erstere gebrauchen, gesagt wird, nicht dass sie sprechen » X^Y^tv «, sondern dass sie singen » ^Becv «. Aristoxenus pag. 9, 40 ; Euclid. pag. 2 ; Nicomachus pag. 8 ; Gaudentius pag. 2. 198 Organs festzuhalten , weshalb ein Bl'äser zum Tonangeben angestellt wurde. Da nun bei den Römern namentlich zu Anfang der Kaiserzeit die Sitte aufkam und diese in Augustus einen eifrigen Förderer fand, dass die Autoren ihre schriftlichen Werke, Gedichte, etc. vor Versanun- lungen im Theater , auf dem Forum , in Tempeln, Gärten, Bädwn vor- lasen, resp. recitirten, so ist leicht einzusehen, wie Boetius es für nö- thig hält, auch diese Art der Stimmmodulation zu erwähnen. Er citirt hierbei Albinus, welchen einige unserer Historiker für Aristides Quinti- lianus gehalten haben , weil dieser allerdings pag. 7 bei Meibom die beregte Art der Stimmbewegui^ ausdrücklich anführt. Jedoch beruht eine solche Annahme, den citirten Albinus mit Aristides Quintüianus zu identificiren , auf subjectiver Willkür , da jene Bewegung der Stimme beim Reden gewiss allgemein als ästhetisches Gesetz bekannt war. Viel- mehr ist mit Wahrscheinlichkeit anzunehmen, dass jener genannte Al- binus der von Gassiodorus ^) , dem Freunde des Boetius, als bedeutender Mann aufgeführte 3) gewesen sei. Gassiodor sagt dabei, das Werk des Al- binus sei auf der Bibliothek in Rom vorhanden, und er habe dass^e auch mit grosser Aufmerksamkeit gelesen. Die gesammte Modulation ist/ auf ein gewisses Mass reducirt , wie in Uebereinstinunung mit den griechischen Autoren Boetius in Cap. xm darlegt. Durch den Athem wird die stetige Stimme begrenzt, d. h. sie hat aur die Kraft , eine gewisse Anzahl von Worten in einem Athem vorzutragen, durch die natürliche Beschaffenheit der Singstimme ist wiederum in Bezug auf Hohe und Tiefe der Klangregion eine Grenze ge- setzt. Es dürfte hier der Platz sein, kurz auseinanderzusetzen, welche Ansichten im Alterthum und gewiss auch zur Zeit des Boetius über die Natur des menschlichen Stimmorgans sich geltend machten. Nach dem Galeuus (geb. 131 n. Ghr.) wurde die Luft von den Intercostal- muskeln mit Gewalt gegen den Larynx und durch die Stimmritze getrie- ben 3) . Der Larynx ist nun der Hauptsitz der Stimme. Je mehr die Glottis sich verengt, desto feiner d.h. hoher wird die Stimme , je wei- ter, desto tiefer. Die Verengerung der Stimmritze wird durch die Ac- 4) De musica Tomus II, pag. 557 b (ed. Venet. a. 4729). 2) Vir magnificus. 8) Claudii Galeni opera omnia ed. D. Gar. Oottl. Kühn: Tom. 11, 844 ; III, 402, 525, 554—557, 558, 562, 563, 577, 584 ff., 589; IV, 278, 279; V, 284, 748; VI, 424 ; VIII, 45, 50, 58 u. 267 ; X, 866; XI, 305; XII, 293; XIV, 579 U. 628 ; XV, 828, 798 ; XVI, 204 ; XVIU B, 950. 199 tion der Muskeln bewirkt y welche den Luftröhrenkopf aufwärts ziehen, und die Erweiterung geschieht durch das Herabziehen desselben ^) . Weiin nun eine beträchtliche Luftmasse mit Schnelligkeit bewegt wird, so ent- steht die starke Stimtne ; die schwache aber wird erzeugt, wenn sich nur eine geringe Menge Luft langsam bewegt. (Daraus erklärt er den Ausspruch des Hippocrates ^) , dass die Thiere die stärkste Stimmehaben , welche die meiste eingepflanzte Wärme oder die thätigste Lebenskraft besitzen.) Nach A r i s 1 1 e 1 e s 3) ist die Stimme ein Schall , der durch geisti- gen Antrieb und durch Hülfe der Imagination erzeugt und vollbracht wird ^) . Den Unterschied der Stimme und Sprache erklärt er so : » Der Ton ist vom Schalle unterschieden, und von beiden unterscheidet sich die Sprache. Ausser der Luftröhre wird in keinem Gliede des Körpers die Stimme hervorgebracht. Demnach sind die Thiere ohne Lungen stumm. Die Sprache aber ist die Articulation der Töne mit Hülfe der Zunge ^).a Von den Gliedern, welche zur Hervorbringung der Stimme gehören, nennt Aristoteles die Lunge, die Luftröhre und den Mund. Die Lungen, deren Gefässe bis ans Herz reichen ^) , enthalten eine Menge luftigen Geistes^ — sie seien gewissermassen der Blasebalg und hätten insofern auf die Modulation der Töne Einfluss, als sie nach ihrer ver- schiedenen Grösse, Härte, Weichheit und Zusanmienziehungsfahigkeit die Luft, welche in der Luftröhre enthalten ist, auf verschiedene Weise erschüt- tern. Zur Hervorbringung aller Modulationen seien die Lungen am ge- schicktesten, welche recht gross und weich, auch gehörig getheilt wären, weil sie in solchem Zustande viel Luft aufnehmen und wieder ausstossen könnten, der Weichheit und leichteren Compressionsfähigkeit wegen. Bezüglich der Luftrohren-Construction sagt er , dass diese von grossem Nutzen für die Stimme sein könne. Er nennt sie Arterie, auch Pha- rynx ; die Arterie besteht aus knorpligen Körpern , die nicht nur des Athmens, sondern auch der Stimme wegen glatt und fest sind ^) . Durch viele Beispiele., die von der Einrichtung geblasener Werkzeuge herge- nommen sind, sucht er zu erweisen, dass die Stimme in der Luftröhre nach denselben Gesetzen gebildet werde, wie die Töne in einer Pfeife^). 4) Galen, comment. Tom. 1564, 562, 566, 568, 569, 575. 2) Galen, comment. 4 in Hb. 6. Tom. XVII B, 204. 5) Aristoteles, geb. zu Stagira 884 v. Chr. 4) Aristotel. de anima Hb. 2, c. 8. 5) Aristotel. histor. animal. Hb. 4, c. 9. ed. Weise. 6) Aristotel. histor. animal. Hb. 4, c. 4 3. 7) Aristotel. de partib. animal. Hb. 8, c. 3. 8) Aristotel. de partib. animal. Hb. 3, c. 8. 200 Aristoteles kannte natürlich nicht genau die Function derSUnmdränder und der Stimmritze ; die neuere Forschung hat ja klargestellt, dass die normalen Sümmbänder wie durchschlagende Zungen erscheinen, wogegen sich der sehr sdiarfe Stimmklang mit unangenehmer Tonfarhung darauf zurück- führen lasseo dürfte, dass die Ränder der Stimmbänder nicht glatt oder gerade genug sind, um sich zu einem engen geradlinigen Spalte zusam- menlegen zu können , ohne dabei an einander zu stofisen, und dass da- durch der Kehlkopf sich mehr den aufschlagenden Zungenwerken nä- hert, die eine viel schärfere Klangfarbe haben ^) . Aristoteles sagt nun weiter, dass zu einer starken Stinune die Erschütterung der Luft in der Luftröhre gehöre , welche die Lungen zu bewirken hätten. Der T^n, meint er, ist desto voller, je kräftiget die Luft ausgetrieben wicd, wes- halb auch die Stimme der Männer am vollsten und stärksten erscheint. Dabei setzt er klar aus einander , dass die Verschiedenheit der Töne in Rücksicht auf Höhe und Tiefe nicht von der Bewegung überhaopt, sondern von der Schnelligkeit der Vibrationen und der zitternden Schwingungen herrühre. Er leitet nun die Tiefe und Höhe des Tones von der grösse- ren oder geringeren Schnelligkeit der zittornden Erschüttersngen der Luft, die Stärke oder Schwäche des Schalles aber blos von der Menge der erschütterten Luft her ^) . Sodann widerlegt er die Theoretiker, welche die Schnelligkeit der Erschütterungen als eine von der grösseren Luftmenge ausgehende betrachten, weil die Langsamkeit der Bewegungen immer von der grösseren Masse der Körper herrühre^ die also beide Zustände mit einander verwechseln. Wenn dies sich so verhielte , so könnte niemals ein tiefer Ton zugleich schwach, ein. hoher Ton stark sein. Daher behauptet er , dass die Stärke des Tones allein von der Menge der erschütterten Luft herrühre , dass die Höhe und Tiefe des Tones nicht allein von der Menge , sondern auch von der Gewalt ab- hänge, mit welcher die Luft erschüttert werde , und dass man zugleich auf das Verhältniss der Kraft und der Masse Rücksicht zu nehmen habe. Wenn z. B. bei Thieren wegen der verschiedenen Länge des Luftcanals die Menge der bewegten Luft grösser oder geringer ist , so sucht er die Entstehung der Höhe oder Tiefe des Tones in denselben aus der ver- schiedenen Anstrengung der Kräfte herzuleiten , womit die Luft durch die Stimmritze getrieben wird 3) . 4) Helmholtz, die Lehre von den Tonempfindungen, 4. Aufl. S. 464. Hierbei beachte man die Theorie der Obertöoe bei den Klängen der Vocale. 2) Aristotel. de generat. anim.al* Hb. 6, c. 7. 3) Aristotel. 1. c. 201 Zur Erklärung von d«r Natur des Stimmorgans fügt Boetius in Cap. XIV die Art uad Weise des Hörens, weiche Anwehten davon Zeagniss able- gen, dass ihm der Grund der Schwingungsgesetze nicht unbekailnl war. Ein besonderes Interesse erregt hierbei das Zusammentreffen in den Mei- nungen des Boetius und des neuesten hervorragendsten Forschers atif dem Gebiete der Akustik. H e Imh o) t z , der bedeutende Physiologe be- dient sich nämlich zur Yeranschaulichung der Schwingtingsgesetie fast ganz desselben Bildes, welches Boetius zur Erläuterung anwendet. Es werden von ihm die Wasserwellen in Parallele gestellt zu den Luftw^ len, und in Bezug auf diese Wellenbewegungen erklärt nun Hebaholtz ganz übereinstimmend mit Boetius ^) : » Man denke sich in eine ebene ruhige Wasserfläche einen Stein geworfen. Um den getroffenen Punkt der Fläche bildet sich sogleich ein kleiner Wellenring, welcher nach allen Richtungen hin gleichmässig fortschreitend sich zu einem immer grösser werdenden Kreise ausdehnt. Diesem Wellenringe entsprechend geht in der Luft von einem erschütterten Punkte der Schall aus und schreitet nach allen Richtungen fort, so weit die Grenzen der Lufmasse es erlau- ben. Der Yoi^ang in der Luft ist im Wesentlichen ganz derselbe , wie auf der Wasserfläche, der Hauptunterschied ist nur , dass der Schall in dem räumlich ausgedehnten Luftmeere nach allen Seiten kugelförmig fortschreitend sich ausbreitet , während die Wellen an der Oberfläche des Wassers nur ringförmig fortschreiten können. Den Wellenbergen der Wasserwellen entsprechen in den Schallwellen Schichten , in denen die Luft verdichtet ist, den Wellenthälem verdünnte Schichten. An der freien Wasseroberfläche kann die Masse nach oben ausweichen , wo sie sich zusammendrängt und so die Berge büdet. Im Innern des Luft- meeres muss sie sieh verdichten, weil sie nicht ausweichen kann. Die Wasserwellen also schreiten beständig vorwärts ohne umzukehren ; aber man muss nicht glauben, dass die Wassertheilchen, aus denen die Wellen zusammengesetzt sind, eine ähnhche fortschreitende Bewegung haben, wie die Weilen selbst. Die Bewegungen der Wassertheilchen längs der Oberfläche des Wassers können wir leicht sichtbar machen , indem wir ein Hölzchen auf dem Wasser schwimmen lassen. Ein solches macht die Bewegungen der benachbarten Wassertheilchen vollständig mit. Nun wird ein solches Hölzchen von den Wellenringen nicht mitgenommen, sondern 4) Helmboltz, Lehre von den Tonempfindungen, S. 46. 202 nur auf und ab geschaukelt und bleibt schliesslich an der Stelle ruhen ^ an der es sich zuerst befand. Wie das Hölzchen , so auch die benachbar- ten Wassertheilchen. Wenn der Wellenring bei ihnen ankonunt, wer- den sie in Schwankungen versetzt ; wenn er vorüber gezogen ist , sind sie wieder an ihren alten Stellen und bleiben nun in Ruhe, während der Wellenring zu immer neuen Stellen der Wasserfläche fortschreitet und diese in Bewegung setzt. Es werden also die Wellen , welche über die Wasseroberfläche hinziehen, fort und fort aus neuen Wassertheilchen aufgebaut, so dass dasjenige, was als Welle fortrückt , nur die Erschüt- terung, die veränderte Form der Oberfläche ist , während die einzelnen WassertheUchen in vorübergehenden Schwankungen hin- und hergehen, sich aber nie weit von ihrem ersten Platze entfernen.« Nach dem vergleichsweise angeführten Bilde kommen wir in Cap. XV zu der Ordnung der Theoreme, für welche Boetius feststellt, dass er zu- nächst die Proportionen der Consonanzen, dann das allmälige Wachsen der Zahl der Saiten , sodann als Hauptsache die Klanggeschlechter bespre- chen wolle; letztere gehören zur Lehre der harmonischen Erfindung, d.h. zur Lehre über das Modulationswesen der Tonverbindungen, und greifen unmittelbar in die musikalische Praxis ein , da eine jede Tonweise in ihrer Bewegung an das Gesetz von den Klanggeschlechtem gebunden sei. Vor Entwicklung desselben kommt er in Cap. XVI, xvn, xvm, xix übersichtlich auf die Proportionen der Consonanzen, des Ganztones und Halbtones zu sprechen, welche Auseinandersetzung keiner Erklärung bedarf, da sie sich an allgemein Angenommenes anschliesst. Die Octav (Diapason, d. h. durch alle Töne 8ia Tcaocov scU. cpOo^Ycov) hat das Ver- hältniss von \ : 2, d. h. während der Grundton eine Schwingung macht, finden im Octavton 3 Schwingungen statt; die Quinte (Diapente=sSia ic^vte = durch fünf Töne) steht in der Proportion von 2:3; die Quarte (Diatessaron ss 8ta Teooap«ov = durch vier Töne) hat das Verhältniss von 3:4; der Ganzton als Differenz von Quarte und Quinte ^/^ : ^2' die Proportion 8:9; der Halbton 243 : 256. Es ist hier mm bei Boe- tius besonders der Beweis geführt, dass 243 : 256 nicht die genaue Hälfte eines Ganztones, sondern etwas kleiner sei, jedoch ist nicht ge- sagt, wie man auf das Halbtonverhältniss gekommen sein mag. Die Er- klärung ist nicht schwer, sobald man sich vergegenwärtigt, dass die 203 ■V.» Alten von einem Tone ausgingen und zwei Quinten der Reihe nach auf- stellten und dann mit drei Quarten der Reihe nach verglichen, z. B. A— e — h (2 Quinten), A — d — g — c' (3 Quarten), c' war nun 9 64 256 4 das Yerhältniss von h rr = :rrr, Oder 27 248' vier Quarten und Quinte mit Octave, z. B. : A — d — g — c' — f (i Quarten) X — e e' (Quinte mit Octave) , woraus sich das Yerhältniss ergab : 256 £ 256 84 ' T 243 und damit war zugleich gefunden, dass das Diapason aus fünf Ganztönen und zwei kleineren Halbtönen bestand, d. h. solchen Halbtönen, welche nicht die genauen Hälften eines Ganztones waren ; das Yerhältniss des Diapason war also : A — H — c — d — e — f — g — a während wir den diatonischen Halbton als Unterschied der grossen Terz Y4 und der Quarte ^3 i^i ^^^ Zahlen verhältniss 4 5:46 finden, dieHalb- töne e : f und H : c also in der Proportion 4 5:46 stehen. Nach jenen übersichtlich aufgestellten akustischen Yerhältnissen geht er in Cap. XX zu den Erfindern und Yerbesserern musikalischer Systeme über. Hier benutzt Boetius einen Bericht des Nicomachus , welcher weit vollständiger erscheint, als die kurze Erzählung des Nicomachus in der Ausgabe von Meibom. Dieser verdienstvolle Herausgeber macht schon in den Noten i) darauf aufmerksam, dass Nicomachus auch andere Bücher über Musik geschrieben habe, deren Inhalt Boetius excerpirte. Es ist zu bedauern, dass derselbe uns nicht den Titel der ihm vorgelegenen Schrift des Nicomachus nennt. Möglicherweise ist aber die von Boetius benutzte Abhandlung dieselbe, welche Meibom in seine Sammlung der griechischen Musiker aufnahm ; denn offenbar fehlt in dieser nach den Worten , dass Orpheus der Schüler des Lyra-Erfinders Hermes , Thamyris und Linus die Jünger des Orpheus , Hercules und Amphion die Schüler des Linus gewesen seien , dass ferner die Lyra zum Terpander über das Meer ge- kommen wäre und dieser mit den ägyptischen Priestern, die Lyra ver- 4) Meibom, auct. sept. p. 42. 904 bessernd, verkehrt hätte, altere Schriftsteller jedoch die Lyra-Erfindung von Cadmus , dem Sohn des Agenor , herleiteten , ein weiterer histori- scher Excurs, welcher mit dem Vorhergehenden im logischen Zusammen- hange stehen müsste. Hier sind jedenfalls die Manuscripte unzureichend gewesen, wie jeder mit der Sache Vertraute sofort erkennen wird *) . Die Kithara- Stimmung^) d^s Orpheus wird nun vom Boetius in folgender Weise angegeben : e-a-h-e'. Denn unbedingt ist das älteste dorische System hier anzuneh- men, welches wir mit dem Klange e beginnen , um auch in der mo- dernen Musik die Einfachheit dadurch auszudrücken, dass vnr keine Vorzeichen zu gebrauchen nöthig haben. Wollte man behaupten , dass auch das e wirklich genau ein e nach der Leipziger Stimmung gewesen wäre, so würde dies jeder Musiker vom Fach für Phantasterei erklären. Sind doch in der neuesten Zeit an verschiedenen Orten auch verschie- dene Stimmungen im Gebrauch, warum sollte die griechische Stimmung genau einer der neueren entsprechen? Palestrina componirte mit Zu- grundelegung der ionischen Tonart im regulären System stets in C-dur und im transponirten System in F-dur; er überliess dann ruhig den Sängerchören die Transposition , nur musste das System gewahrt blei- ben, — und auf dieses, nicht auf die absolute Klaughöhe kommt es hier hauptsächlich an. Jeder Ton erhält im Verhältniss zu anderen Tönen, im Tonartensystem erst seine verständige Bestimmung und Bedeutung, zu welcher die absolute KlangliÖhe nur den Ausg ngspunkt bietet. Möge man nun f oder e = < setzen , die Verhältnisse werden sich dann ge- mäss dem akustischen Consonanzengesetze als geordnete ergeben, so dass bei richtigem Quellenverständniss ein Irrthum unmöglich ist ^) . Die Stimmung des Orpheus , welcher nach dem Plutarch Reinen nachgeahmt haben soll, weil vor ihm nur Auleten vorhanden waren, zu denen die Weisen des Orpheus in keiner Beziehung standen *) , ist jeden- i) Die Worte p. 80 bei Meibom Eiaiv oijv ol dpi^fi.o( etc. schliessen sich durchaus nicht naturgemäss an die vorhergehenden TrapaXaßeiv r^jv xaTap^-^jv an ; es fehlt hier sicherlich ein längeres Stück , welches vielleicht Boetius als Unterlage benutzte. 9) Es ist hier nicht genau zu unterscheiden, ob Boetius die Kitharis, d. b. das kleinere Instrument, oder die Kithara, das Instrument für den Agon , im Auge hatte. 8} Auf die eigenthümHche und musikalisch recht sonderbare Anschauung Friedrich Bellermann's kommen wir weiterhin zu sprechen. 4) Die Kunstschulen vor der Zeit Homers gehören der Fabel an, nachwel- 205 falls eine Annahme der späteren Musikgeschichtasohreiber , um die fint* stehung der Geschlechter zu beweisen ; denn auf diese wird sicherliqh im Folgenden Bezug genommen, wo es heisst , dass Torrebus ^] die^5te, Hyagnis die 6te, Terpander die 7te und Lichaon aus Samos die 8te Saite hinzugefügt habe. Wenn wir annehmen, dass die Stimmung e~a-h-^' von Torrebus um den Klang f, von Hyagnis um den Klang g und von Ter- pander um den Klang d' bereichert worden ist und Lichaon aus Samos zwischen Paramese =;= h, die auch Trite genannt wurde , und Paranete = d' die richtige Trite = c' setzte , so ist die Erklärung auf einfache Weise gefunden. Dass hier aber in dem Berichte mit der Unterschei- dung der Trite und Paramese eine Ungenauigkeit vorliegt , geht aus der Gegenüberstellung des Terpandrischen Heptachords und des Octachordes des Lichaon hervor, welche beweist, dass unter dem Heptachord Terpan- ders die Reihe e-f-g-a-b-c'-d', d. h. ein System von zwei verbundenen Te- cher man allerdings zwei Kunstschulen in die älteste Zeit versetzen kann, von denen die Thracische mit Orpheus und Amphion als kitharodische, die Phrygische aber des Olympus alsauletische gelten. Aus beiden soll die Lesbische Schule des Terpander hervorgegangen sein, von welcher die dori- sche Musik imPeloponnes hergeleitet werden könnte. Der Phrygischen Schule wird ausser der Kunst des FlOtenspieles noch das später anzuführende enhar- monische Geschlecht, sowie das phrygische und lydische Diapason zu- gesprochen. Zu den phrygischen Musikern gehörten die in der Fabel genannten Hyagnis, Marsyas, Olympus, während Strabo lib. 4 0, cap. 3, § 44 (ed. G. Kramer Volumen II, pag. 383) fUr Hyagnis den Seilenos anführt, obschon derselbe bei anderen Schriftstellern bald mit Corybantes , bald mit Marsyas selbst identifi- cirt wird. Hierzu kommt Babys, Bruder des Marsyas, welcher ein so geringer Musiker war, dass ihn Apollo nicht einmal einer Strafe für werth hielt. Athen. iA, 624; Zenob. 4, 84. Cf. Leutsch in Paroemiog. graec. 2 pag. 689. So- dann ist Agnes, ein phrygischer Musiker , von welchem (bei Betrachtung der Erfindungen musikalischer Instrumente und anderer Dinge) Clemens Alex. Strom, lib. 4, pag. 307 (ed. Paris. 4644) überliefert, dass er die diatonische Harmonie erfunden habe. Die Reihe schliesstCotalus, dessen FlOtencomposition bei Athen. 4, p. 476 C erwähnt ist. Vgl. Rhein. Museum für Philol. berausg. von Welcker u. Ritschi, Jahrg. 4, Seite 359 (unter Cap. II »Glauce citharistriaa). Noch andere Namen phrygischer Musikerfinden sich bei Athen. 4 4, p. 624 B. Die älteste Dorische Schule führt die delphische Tempelsage auf die Sänger Chrysothemis und Philamon zurück. Vergl. Paul, Absol. Harm. S. 42. 4) Nicht Chorebus, wie Friedlein mit Glarean schreibt (vergl. Paul, Absol. Harm. , wo die Zeugnisse zusammengestellt sind) . Denn es ist hier derselbe Torrebus (T6ppT]ßoc) gemeint, von welchem Plutarch de mus. cap. 45 sagt, dass er nach dem historischen Zeugnisse des Dionysius lambus die lydische Tonart zuerst in der Harmonie gebraucht habe. 206 traohorden, unter dem Octaehord des Lichaondie Reihe e-f-g-a-h-c'.-d'-e', d. h. ein System von zwei getrennten Tetrachorden, zu verstehen ist. Es muss also der Klang b bald in die Reihe hineingekommen , und zur Bildung des von Terpander angenommenen Systems benutzt worden sein. Was wir früher schon aussprachen hinsichtlich der harmonischen Erfin- dungen Terpanders dürfte kaum anzuzweifeln sein , obgleich alle dem- selben zugeschriebenen Erfindungen mit Fabeln durchsetzt sind ; denn von Terpander ^) an beginnt erst die historische Zeit, von welcher wir wohl 4) In der Absol. Hannen, bemerkten wir Folgendes: »Dass neben jenem Heptachord mit der Trite, welches von manchen Schriftstellern , so auch vom Aristoteles, bis in die ältesten Zeiten hinauf versetzt wird , noch eine andere Stimmung des Terpander existiri haben muss, zeigt die Slelle des Aristoteles Problemata 49, 8S : liä xi (td itaooiv xaXeixai, dXV o6 xaxd xöv dptdfiöv hi dxTi6, &97rep xal hiä Tercdipaiv xal 5id nhrzt ; *H 8x1 iirxd -^aav al ^op^al xi dp^aiov ; clx' ^EeXflbv x9)v xptT7)v T£p7rav5poc , x^v v/jxtjv 7rpo;i^x£ , xal inl xo6xtp i7tXV|d7j hiä Traotbv, dXX' o6 hi 6xxf6" hC iitxd ^dp x^v. »Die Stimmung kann nach diesemBerichl keine andere als e-f>g-a-c'-d'-e' gewesen sein ; denn Aristoteles kann mit der Entfernung der Trite nur die alte Paramese oder Trite a b, und mit der Hinzufügung der Nete nur die bei PLu- tarch angeführte dorische Nete es e' gemeint haben. Vergl. Plutarch de musica cap. SS: ol fäp loxopi^oavxe; xol xoiaüxa TepTcdivSptp (ji^v xy)v xe Acbptov vifpQv icpocexldeoav o6 ^pY^oaftdvcuv aOx^ x&v Iftnpoodev xaxd x6 {jiiXoc. Es würde diese Stimmung den Uebergang bilden zum Octachord des Lichaon aus Samos , wel- cher die achte Saite, d. h. die eigentliche »Paramese«, im diazeuktischen Sy- stem der Lyra oder Kitharis zutheilte.« Dass Terpander auch das Heptachord e-f-g-a-b-c'-d' mit der dorischen Nete verband und somit als Erfinder dermixo- lydischen Octavengattung gelten kann (Plutarch ebendaselbst : xal x&v M1S0X6- (tov tk x6vov 6X0V 7rpo;egEupfJodat Xl^e^O» ist möglich, obgleich x6voc 8X0; Trans- positionsscala bezeichnet. »Es ist dies ein Punkt , in welchem wir von Westphal abweichender Mei- nung sind, da dieser Historiker angiebt, dass Terpander bereits zwei Hepta- chorde vorgefunden habe, nämlich : 4. h-c-d-e-f-g-a, welches er das »dorisch- plagalische« Heptachord nennt, und 2. e-f-g-a-h-c-d, dem er die Bezeichnung »tiolisch-plagalisch« beilegt. Abgesehen von der ungenauen Bezeichnung, da man nicht weiss, welcher Octave die Klänge angehören, halten wir auch in der Sache Beides für unerwiesen, ja für unrichtig. Allerdings wurde, wie man aus den Theoretikern nach Aristoxenus erkennt, die Octavengattung von e zu e' do- risch genannt; diese Benennung gehört aber erst der Zeit nach Terpander an, wo das getrennte System in Gebrauch kam. Denn wenn Westphal die Stelle bei Plutarch de mus. cap. 28, wo gesagt wird, dass die »Geschichtsschrei- ber dem Terpander den Gebrauch der dorischen Nete beilegen«, so versteht, als habe Terpander zu e die höhere Octave zwar hinzugefügt, aber aus der Scala den Ton c entfernt , »um der alten einfachen Weise möglichst treu zu bloiben und die herkömmliche Zahl von 7 Saiten oder 7 Tönen festzuhalten«, so scheint uns diese Conjectur nur gemacht zu sein , um die historisch beglau- 207 glauben dürfen, dass schon zu Anfong das verbundene System (Systema synemmenon) und das getrennte System (Systema diezeugmenon) ge* bigte Thatsache nicht zu verletzen, dassTerpander ein System von 7 Saiten be- nutzt habe. »Warum sollte aber der Virtuose Terpander auf seinem siebensaitigen In- strumente nicht auch den achten Klang, welcher nach der Zeit des Pythagoras die dorische Nete hiess , hervorzubringen im Stande gewesen sein , da diese Klangerzeugung durch das Drehen des Wirbels ja leicht bewerkstelligt werden konnte? Vielleicht dürfte unsere Ansicht um so gerechtfertigter erscheinen, als es gleich darauf im Plutarch heisst, dass Terpander der Erfinder des ganzen mixolydischen Tones sei. Jedenfalls stammt auch hier wieder der Name »mixolydisch« aus späterer Zeit. Die Geschichtsschreiber konnten aber wohl sagen, dass Terpander den ganzen mixolydischen Ton erfunden habe, weil die Scala Terpanders e-f-g-a-b-c-d'-e' ihrem Systeme nacbspäter dasmixoly- dische Diapason oder der mixolydische Ton genannt wurde. Nach den spater zu erörternden Tabellen des Claudius Ptolemäus ist der Klang e' die t he- tische und dynamische Nete diezeugmenon im dorischen Ton der hy- podorischen Tonart und die the tische Nete diezeugmenon im mixoly- dischen Ton der dorischen Tonart, weshalb der Ausdruck »dorische Nete« vollkommen gerechtfertigt ist. Die Stelle des Aristoteles, wonach Terpander seiner Kitharis zuweilen mit Hinweglassung der Trite ss b (nicht gleich c, wie Westphal meint) die Stimmung e-f-g-a-c'd'e' gegeben hat, ist bereits angeführt worden, und somit glauben wir die subjective Anschauung Westphal's widerlegt zu haben.« Bryennius (lib. 2, sect. 5; lib. 4, sect. i ; lib. 8, sect. 4 etc.) wendet übri- gens ein Octachord an, in welchem die Hyperhypate vorkommt, nömlich : Hyperhypate s d Hypate =e „^, Parhypate = f § o ® Lichanos = g g ^ ? Mese = a Trite =bB^oH Nete =d'öf^' Paranete *= c' § 2 S 3 und dieses nennt er die achtsuitige Lyra des Pythagoras (fludaY^pou äxrdt^opEoc X6pa), während es bei den übrigen als eine Verbindung des Tetrachord meson und diezeugmenon erscheint. Bryennius bezeichnet auch den Siebensaiter, welcher aus der Verbindung des Tetrachord meson und synemmenon entsteht, die siebensaitige Lyra Mercurs (dp^au^Tpoiro« iirrol^op5o< X6pa 'Epptou) Bryen. lib. 4, sect. 4. Das aus 45 Saiten bestehende vollkommene System will Bryen- nius entstanden wissen aus zwei wechselseitig zusammengesetzten Lyren , von welchen er die eine von Proslambanomenos bis Mese als die tiefere (IIudaYÖpou ^xd^opio^ X6pa ßapuxdpa), die andere als die höhere des Pythagoras (Ilada- 7^pou iwzdjQ^loi Xupa i^ripa). ansieht. Aehnlich nennt er auch das Hepta- cbord (H-c-d-e-f-g-a) von Hypate hypaton bis Mese die alte tiefere siebensaitige 208 kannt waren. Es ist also mit Wahrscheinlichkeit anzanehmen, dass Ter- paader das System synemmenon e-f-g-a-b-c'-d' gebraucht hat und zugleich jene Tonreihe e-f-^-a-c'-d'-e' in Anwen- dung brachte. Von der ganzen Tonreihe, wie sie nach und nach in einer Ausdehnung von Proslambanomenos bis Nete hyperbolaeon entstand, er- halten wir nicht allein durch den Text, sondern auch durch die hin- zugefügte Figur voUgültigen Beweis, dass sidi dieselbe in folgenden Systemen gestaltete : A) System diezeug ^menon. Proslambanomenos — A Hypate hypaton — Hl Parhypale hypaton — c Lichanos hypaton — d Hypate meson — e - Parhypate meson — f Lichanos meson — g Mese — a ^ Paramese — hl Trite diezeuguienon — c' Paranete diezeuguienon — d' Nete diezeugiuenon — e' Trite hyperbolaeon — r Paranete hyperbolaeon -g' Nete hyperbolaeon — a' J in welchem von H zu e das Tetrachord hypaton , von e zu a das Tetra- chord meson , von h zu e' das Tetrachord diezeugmenon und von e' zu a' das Tetrachord hyperbolaeon liegt ; Lyra de» Mercur ('EpfioO TpicfAeY^aroa dp^ae^Tpoitoc] ßotpurlpac lirra^opSoc und das Heptacbord Yon Paranlese bis Nete hyperbolaeon die höhere siebensaitige Lyra des Mercur (Ep\t.oO T<pi;fi.e^(oTou lirröf^op^oc Xijpa ö^urlpa). Nach anseren Angaben wird Jedermann erkennen, dass wir über den hoch- verdienten Forscher Westphal, dessen Arbeiten wir als ganz bedeutende Er- rungenschaften der modernen Musikwissenschaft betrachten, keinen Tadel aus- sprechen, sondern nur zur Klarstellung einzelner schwieriger Punkte beitragen wollen. Auch unsere Ansicht Über Terpanders harmonische Systeme ist nur Hypothese; sie dürfte aber die grösste Wahrscheinlichkeit für sich in Anspruch nehmen. B) System synemmenon. Proslauibanomenos — A Hypate hypaton — H- Parhypate hypaton c Lichanos hypaton — d Hypate meson — e- Parhypate meson — f Lichanos meson — g Mese — a- Trite synemmenon — b Paranete synemmenon — c' Nete synemmenon — d'-J in welchem die drei Tetrachorde hypaton, meson und synemmenon ver- bunden erscheinen. Ueber Orpheus, Torrebus, Hyagnis, Terpander, Lichaon , Theophrastus ^) , Histiäus aus Colophon , Timotheus aus Milet haben wir uns schon früher^) so weit als thunlich ausgesprochen; die von Fabeln umgebenen Darstellungen ihrer Wirksamkeit helfen jedoch nichts zum Verständniss der griechischen Harmonik, mit welcher wir es hier allein zu thun haben. Fassen wir nun zusammen, was die griechischen Theoretiker unter Harmonik verstehen, und setzen wir dies in Beziehung zu den Erörterun- gen des Boetius bis zur Aufstellung der eben erwähnten Tonsysteme, so finden wir kurz Folgendes: Die »Musik« im Allgemeinen wird von Ari- stoxenus*^) aufgefassl als die Wissenschaft, welche sich mit dem Meios beschäftigt, gleichwie Aristides Quintilianus ^) sie als »die Wissenschaft des Gesanges und der Dinge, welche das Melos betreffen« definirt. Schon Meibom hat in den Noten zum EucUd^) nach dem Porphyrius die Theiie der Musik aufgezählt ; sie waren nach dieser Anschauung : Harmonik, Rhythmik, Metrik, Organik, Poetik, Hypokritik, während Alypius ^) Harmo- i) Friedlein schreibt mit einigen Manuscripten Prophraslus; es heisst aber io richtiger Lesart Theophrastus, welcher auch von Nieomachus (Meibom. Ni- com. Hb. t, p. 35) mit den Worten erwähnt Ist: &cnep t^ xat Beö^paoTÖ^ %) Vergl. Psttl, Absol. Harm. d. Griechen. 3) Aristox. p. i iiept pidXou« iitionfjfiT]. 4) Aristid. Quint. p. 5 dniorV^piT] (jl^Xou^ xal t&v rcepl fi^Xo^ oupißatvövTO)^. 5) Euclid. p. 44. 6) Alyp. introduct. mas. pag. i. Boetius. i 4 nik, Rhythmik und Metrik als HauptabtheilnlH^n der Musik namhaft macht, Aristoxenus jedoch mit diesen dreien noch Oiiganik verbindet. Von die- sen handelt nua die Harmonik über Systeme und Tonarten i). Zu- nächst gehört in ihr Bereich die Betrachtung der Stimme und des Ver- hältnisses von Höhe und Tiefe der Klänge^), daher auch Ptolemaus^) die Harmonik als die Auffassungskraft der Differenzen in den Klängen hin- stellt. Man erhält nach den Ansichten des Aristoxenus eine Klanghöhe, wenn der musikalische Klang auf einen bestinmiten Grad von Höhe und Tiefe gebracht wird , oder wörtlich genonunen : Klang ist der »Fall der Stimme auf eme KlanghÖhe« '^] , und eine solche Klanghöhe wurde je nach der Stellung im System durch bestimmte Namen ausgedrückt; mithin bezeichnete man durch Proslambanomenos , Hypate hypaton etc., kurz, durch die Benennungen der Töne , die Klanghöhen , welche im System brauchbar waren. An die Definition der Klanghöhe ^) knüpft sich der »Unterschied« verschiedener Klanghöheii, welcher als musikalisches »Intervalla erscheint^). Das Intervall ist also gewissermassen der Platz, welcher zwischen zw«) Klangfaöhien liegt. Aus der Zusammensetzung der Intervalle entstehen die Systeme und aus diesen erkennt man dann den Unterschied der Intervallgattungen je nach der Grösse , der Conso- nanz und Dissonanz , dem Geschlechte etc. , auf welchen Boetius spä- ter zu sprechen kommt. Das Grundsystem ist das Tetrachord , dessen fiintheilung in drei Geschlechter in Cap. XXI angefühlt wird. In Uebereiustimmung mit dieser Anordnung befinden sich auch die griechischen Theoretiker : AristOxenns ^) , Gaudentius ^) , Euclid ^ etc. ; sie stellen ebenfalls das diatonische , chromatische und enharmonische Geschlecht auf, von wdchen das erste aas dem Halbton und zwei Ganztönen, z. B. e-f-g-a, das zweite auä zwei Halbtönen und 4) Aristox. pag. 4 irpo; v^s töjv ouaT7](xä^T(ov xe xal tövojv %£to{Äas\ vergl. die Thoile der Mus. Hb. ü, p. 82. 2) 6{6tt)< xal ßQtp6rr)c ^6r^0is. Z) Ptolem. öd. Wallis pag. 4, 'A()fi.ove«V| j/l^v i^rt Ä6vdfjitc xataXTjiwxV) t^v ti Toic <|M(pot( icepl xb 6Su xal t6 ßap6 ^lacpopftv. 4) Aristox. pag. 45 cpoovfj; itt^dt; M. [das rdats. 5) Vgl. Aristox. pag. 40,41,42,48; ArJBtid. Qtfint. pag. 8, 9 ; Enclid. pag.2. 6} (laopopd T&v Tdioeuiv = hidvzri\LOL. 7) pag. 49, 44. 8) pag. 5. 9) pa«. 8, 9, 4 0. 211 der übermässigen Secund, z. B. e-f-ges-a, das dritte aus zwei Diesen und dör grossen Terz, z. B. e-fesfes*-f-a, bestand^). In Bezug auf diese musikalische Eintheilung sind äWe Theoretiker einig, nicht so in der akustischen Zahlentheorie und In den Klangtar- bungen, welche Boetius in den folgenden Büchern eingehender ausein- andersetzt und dabei die Ansichten der Aristoxener und Pythagoreer einander gegenüberstellt. In Cap. XXII giebt er noch einmal die ganze Reihe der Töne in besonderer Beziehung zu den drei Geschlechtern an. UebereinsCiiuinend mit Arisloxenus be- merkt er dabei, dass Lichanos diezeugmenon im diatonischen Geschlechte auch Diatonos diezeugmenon , im chromatischen aber Diatonos chroma- tice oder Lichanos diezeugmenon chromatice , und im enharmonischen Diatonos diezeugmenon enharmonios oder Diatonos hypaton enharmonios genannt werden könne , gleichwie ein ähnliches Yerhältniss bei den ent- sprechenden Tönen in den übrigen Tetrachorden stattfindet. Die Reiben in den drei Geschlechtern sind also, auf unsere MoUscala ohne Vorzeichen • i Übertragen, folgende : A) Diatonisches G e s c h 1 e c ht: Proslambanomenos — A Hypate hypaton — H Parhypate hypaton — c Lichanos hypaton diatonos — d Hypate meson — e Parhypate meson — f Lichanos meson = g Mese — a Trile synemmenon — b Paranete synemmenon oder Lichanos i svnemmenon •> oder Diatonos synemmenon — c' 4 ) Dass die akustische Berechnung der Tonhöhen theilweise eine «Modere war, als bei uns, leuchtet sofort ein, wenn man in Erwägung zieht, wie die Griechen das ursprüngliche diatonische Geschlecht , z. B. H-c-d-e , wel- 46 9 16 4 ches in unserer Musik die Verhältnisse besitzt —x—x -^ = ^, in den Propor- l5 8 V 6 256 9 9 4 tionen -r— X—X — =— aufstellten, und die Theilung des Halbtones in Viei^els^ 843 8 8 3 töne bei uns keinen Ausdruck findet. 44* H\i Mete synemmeuon Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon oder Lichanos diezeugmenon oder Diatonos diezeugmenon Nete diezeugmenon Trite hyperbolaeon Paranete hyperbolaeon oder Diatonos hyperbolaeon Nete hyperbolaeon B) Chromatisches Geschlecht: Proslambanomenos Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton chromatice oder Diatonos chromatice Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson chromatice oder Diatonos meson chromatice Mese Trite synemmenon Paranete synemmenon oder Diatonos synemmenon chro- matice oder Lichanos synemmenon chromatice Nete synemmenon Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon chromatice oder Diatonos die- zeugmenon chromatice Nete diezeugmenon Trite hyperbolaeon Paranete hyperbolaeon oder Hyperbolaeon chromatice Nete hyperbolaeon C) Enharmonisches Geschlecht: Proslambanomenos Hypate hypaton Parhypate hypaton (enharmonios) Lichanos hypaton enharmonios Hypate meson Parhypate meson (enharmonios) h c' d' e' f g A H c des e f ges a b ces' d' h des' e' r ges' a' = A H cesces* c e fesfes * 213 Lichanos meson enharmonios oder Diatonos meson en- harmonios Mese Trile synemmenon (enharmonios) Paranele synemmenon (enharmonios) oder Diatonos syn- emmenon enharmonios oder Lichanos synemmenon enharmonios Nete synemmenon Paramese Trite diezeugmenon (enharmonios) Paranele diezeugmenon (enharmonios) oder Diatonos diezeugmenon enharmonios oder Diatonos hypalon enharmonios Nete diezeugmenon Trite hyperbolaeon (enharmonios) Paranete hyperbolaeon enharmonios oder Hyperbolaeon enharmonios Nete hyperbolaeon f a bb* b h cesces e' fesfes'* = a' Wir haben hier deswegen die Klanggeschlechter noch einmal zusammen- gestellt y um auch die verschiedenen Benennungen ein und desselben Klanges, z. B. der Lichanos in den drei Geschlechtern deutlich hervorzu- heben , weil dies zum Verständniss der griechisclien Autoren unbedingt nothwendig ist und die neueren Forscher darauf keine Rücksicht genom- men haben, z. B. Friedrich Bellermann in seinen Tonleitern und Musiknoten der Griechen y wo auch die moderne Bezeichnung im chro- matischen und enharmonischen Geschlechte gar nicht der griechischeo Anschauung von den feststehenden und beweglichen Klängen entspricht, welcher Gegenstand weiterhin behandelt wird. Aus der Anordnung geht hervor, dass im diatonischen Geschlecht das Trihemitonium, welches wir z. B. zwischen Hypate hypalon = H und Lichanos hypa- ton = d finden , kein unzusammengesetztes Intervall ist , sondern dass PS als ein aus Halbton und Ganzton zusammengesetztes erscheint, mithin der modernen kleinen Terz in der musikalischen Darstellung entspricht, die in der akustischen Berechnung bei uns das Yerhältniss von 5 : &, bei 243 8 den Griechen die Proportion rr^X-r- = 27 : 3Ä enthielt. Es ivSt dies 256 9 aber dasselbe Yerhältniss, welches auch wir im Tonsystem und zwar in derselben Proportion von 27 : 3S als kleine Terz empfinden; denn haben 214 wir z.B. das Dur*Sy$teni mit dea Hauptmann* sehen Buchstaben ausge- drückt D|FaGeGbD|F so steht D : F im Verhällniss von 27 : 32, welches ebenfalls als kleine Terz bezeichnet wird. Chladni bat somit Unrecht, wenn er jenes Ver- h'ältniss zu den »G rubel terzen« der Griechen zählt, weil doch ohne jeg- liche Grübelei sich auch in unserer Musik das Verh'ältniss vorfindet ^) . Das chromatische und enharmonische Geschlecht wird in den fol- genden Büchern ebenfalls eingehender erläutert , während er hier nach Cap. XXIII in Cap. XXIV und XXV noch einmal klar die Bedeutung der Synaphe, d. h. der Verbindung zweier Tetrachorde, und der Diazeuxis, d. h. der Trennung, veranscbauticht und dann ia Cap. XXVI wieder den Albinus und seine Uebersetzung der griechischen Nanaei» in das Lateinische erwähnt. Aus diesem Albinus, den Boetius citirt, hat wahrscheinlich auch Martianus Gapella *^) seine lateinische Namen- übersetzung geschöpft; dieselbe ist mit Hinzufügung der deutschen Uebersetzung folgende : Deutsch nach dem Griechisch. Lateinisch. Grieofaisehea. Proslambanomenos s Adqnisitus ss Hinzugenodimener KJang Hypale hypaton =» Principalis principa- »=: der erhabenste der erba- liom benen, d. h. der tiefste der tiefen. Parbypate hypaton = Subprincipalis prin- = der neben dem tiefsten cipalium liegende. Nypato meson £= Princtpatis media-^ » der tiefste der initiieren rum Klänge, parbypate meaoii ==; Subprincipalis me- = der neben dem tiefsten diaram der mittleren Klänge lie- gende. LIcbanos meson oder Diatonos raeson es Mediarum entenla =x Zeigefingerklang der mitt- leren. Mese <is Media = Mitte. 4) Gerade darch dieses Verhäitatss dürfte der Beweis geliefert sein, dass die Griechen ihre praktische Musik in denselben Ganzton- und Halbtonverhält- nissen empfanden, als wir, und dass nur die Berechnung in dieser Hinsicht tfaeilweise verschieden war. t} Mefftom, Marti^o. Cap. 6. 17* and 18«. 315 Griechisch. Trite syaemmenoa Paraoete syoemmeiicvo oder Synemmenon diatonos Latei nisch. Conjaoctanmi ex- tcnta Dänisch nach dem Griechischen. = Tertia conjnncUnui = der dritte klang der ver- bandenon. = der uebea dem lelxten lie- gende, der vorletzloKlanj: der verbundenen. Nete synemmenon = Ultima conjonclarum = der letzte klang der ver- bmideneu. = der klang neben der Mese, = der dritte Klang \on den getrennten. Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon oder Diatonos die- zeugmenon Propemedia Tertia divisanim = Divisarum exlenfa = der Klang neben der Nete diezeugmenon. Nete diezeugmenon s^ Ultima divisanim = der letzte Klang der ge> getrennteji. Trite hyperbolaeon = ..Tertia excellcntium = der dritte der darüber hinausgehenden Klänge. der vorletzte Klang von den darüber binausgehendeii. Paranete hyperbohieon oder Diatonos hyper- bolaeon Nete hyperbolaeon Excellentium ex- ten ta s Ditima exeeNentium der letzte Klang von den darüber hinausgehenden. Nach Hindeutung auf diese Namen geht Boetius in Cap. XXVU auf diß astronomische Symbolik über, welche sich auch in ähnlicher Weise bei Nicoipachus findet ^] . Hier sind zwei Ordnungen angegcbcny nämlich : Hypate für Saturaus , Nete für Lima, Mese für Soi , Parhy- pate für Jupiter, Paramese für Venus , nicht für Mercur. Oder auch Paramese für Müirs, Trite für Venus, tlipgekehrt theiien einige der Luua die Hypate und dem Saturn die Nete zu, Cicero^) giebt die Vergleichung in der von fioetiue iiberli^erten Forip af) , w^s aus der bezeichneten Stelle hervorgeht, Cap. X^CVni und XXIX behandelt das Wesen der Gonsopanzen, welches in d^n lutervallen Dia- 1} Nicom. apud Meibom, lib. 2, p. 33. Vergl. auch Boeckh, welcher nach Porpbyrius, Theon u. A. die astronomische Symbolik entwickelt. Studien von Daub und Greuizer, Band 111, S. 87 bis 95. S) Cicero, de republica Üb. 6 (Fragm.) cap. 48, ed. Orellius, Volumen IV, Parsl. pag. 489. Friedlein schreibt unrichtig : una sede semper haeret, anstatt : i m a sede semper haeret. 216 pason (Octav), Diapente (Quint) , Diatessaron (Quart), Diapason mit Dia- penteund nach Ptolemäus auch Diapason mit Diatessaron, Bisdiapason ge- gefunden wird. Terzen und Sexten, welche für die moderne Musik consonirend sind, gehören bei den Griechen und Römern zwar zu den melodischen Intervallen, aber nicht zu den symphonischen, d. h. con- sonirenden. Hinsichtlich der Schwingungstheorien stellt Boetius nun in Cap. XXX und XXXI die Ansichten des Plato und Nicomachus gegen einander. Wir haben schon oben erklärt , dass die Griechen als Grundlage der Musik die Klänge ((pOo^YOi) annehmen und sie zunächst nach Höhe (oEott)^) und Tiefe (ßapo-nj;) beurtheilen ; erstere rührt von Anspannung (inkaoiq) , letztere vom Nachlassen (avfeai^) her. Die gemessene Entfernung zweier Klänge oder ihr Zwischenraum ist das Intervall ^] und dieses ist entweder emfach (aauv&etov) oder zusammengesetzt (oovöexov). Die Mischung zweier Klänge so, dass ihr Unterschied ganz oder zum Theil schwin- det, heisst Uebereinstimmung, Consonanz (oo^tf u)v(a) . Kurz berührt nun Boetius diese Verhältnisse in Cap. XXXII und XXXIII, welche nur übersichtlich das andeuten sollen , was er später akustisch genauer entwickelt. Zugleich zielt er in Cap. XXXIV darauf hin, inwiefern er den Stand des Musikers abgeschätzt wissen wiH ; denn nach seiner Meinung sind weder Virtuosen noch Componisten, welche nur instinctiv musiciren, wissenschaftlich gebildete Musiker, son- dern diejenigen allein dürfen auf jene Ehre Anspruch erheben , deren Ürtheil durch wissenschaftliche Forschung gereift ist. Dies stimmt mit den Ansichten Plato's überein , welcher zur Bestimmung der Harmonie zwei Mittel unterscheidet, nämlich